二元函数极限不存在性研究

1、二元函数极限不存在性研究1引言二元函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难以理解和掌握的知识.二元函数极限虽然从定义形式上与一元函数极限差异不大，但由于二元函数的自变量有两个，其变量变化过程要比一元函数的变量变化过程复杂的多，这就使得极限问题发生了质的变化，存在性的判定和极限的计算方法也变得非常困难.二元函数极限在多元函数微分学中具有举足轻重的作用，探讨其不存在性及计算方法是进一步学习多元函数微分学有关概念和方法的基础.本文就二元函数极限问题进行了讨论.2二元函数极限的定义2.1重极限定义11(P92)设f是定义在DR2上的二元函数，Po为D内一个聚点，A是一个确定的实数，若对任给的，总

2、存在某正数，使得当PUo(P0;)D时，都有f(P)A<，则称f在D上当PPo时，以A为极限，记作limf(P)A.PPo当P,P0分别用坐标(x,y),(xo,yo)表示时，常记作limf(x,y)A,这种极限也称重极(x,y)(x0,y°)限.例1(P93)依定义3证lim(x2xyy2)7.(x,y)(2,1)'证因为x2xyy27=(x24)xy2(y21)=(x2)(x2)(x2)y2(y1)(y1)(y1)x2xy2|y1|y3先限制在点(2,1)的=1的方邻域(x,y)|x21,y11内讨论.于是有y31y141y145xy2(x2)(y1)5x2y157

3、所以x2xyy277x25y17(x2y1).设为任意的正数，取min(1,),则当141,(x,y)(2,1)时就有22_xxyy714所以(*(2,1仆2xy例2证明lim(x,y)(0,0)则当02.2因为x,y累次极限0,0时,时,定义21(P97)设Ex,Ey上有定义，若对每一个y|x2y-22xy2xy22xyxy(J”,。)0.R,x0是Ex的聚点，y0是Ey的聚点,二元函数f在集合DExEyEy,yy0,存在极限limf(x,y)x/(y),而且进一步存在极限L=lim(y),则称此极限为二元函数yy0f先对x(x0)后对的y(y0)累次极限，并记作Llimlimf(x,y).

4、yy°x%类似地可以定义先对y后对x的累次极限Klimlimf(x,y).例3求函数点的累次极限.解limlimx0y0y0人-7=lim=0,x2y2x0x202ylimlimt2-2y0x0xy2y.=limF=1.y0y2x%yy°3二元函数重极限与累次极限之间的关系及其应用3.1 重极限与累次极限的区别与联系累次极限与重极限是二元函数极限的不同概念，二者之间没有必然的蕴涵关系，但在某些特殊条件下两者又存在着某些联系.例4设f(x,y)为定义在点(x°,y°)附近的二元函数，试讨论重极限limf(x,y),累次极限xxyy0limlimf(x,y)

5、与limlimf(x,y)三者之间的关系.x&yy°yy0xxq解(1)重极限limf(x,y)存在，累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)可能不存在.x%xx。yy。yy。x%yy。1.1例如函数f(x,y)(xy)sinsin,因为xy11f(x,y)(xy)sin-sinxy0.xy11所以(Mof(x,y)0,但hm°f(x,y)limQxsin,limf(x,y)limysin-都不存在，从而limlimf(x,y)与ljqlim0f(x,y)都不存在.累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)都存在也可能不相等.x%y

6、y°yy°x为3x例如函数f(x,y)x3y_3y3xlimlim3x0y0x3x30x30-1，33xylimlim-33=limy0x0x3y3y03y_0y3(3)累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)都存在且相等，重极限limf(x,y)也可能yy。x%xx0yy()不存在.例如函数f(x,y)xy2xlimlimxy22xylimlimxy-2x但lim(x,y)(0,0)ykxk五这个极限与k有关，所以重极限1k2(xm(0,0)f(x,y)不存在.(4)若重极限lim(x,y)f(x,y),累次极限limlimf(x,y)与limlim&q

7、uot;")yy°x%yy°f(x,y)三者都存在，则它们一定相等.则对任给的正数，总lim(x,y)(M,y。)f(x,y)A,存在正数，使得当P(x,y)U0(p0；)时，有(i)f(x,y)A另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式limf(x,y)(x)(2)yy0回到不等式(1),让其中yy0,由(2)可得(x)A,从而证得lim(x)A,即xx0limlimf(x,y)limf(x,y)A,同理limlimf(x,y)=A,证毕.x%yy°(x,y)(1。)yy。x%若limf(x,y)=A存在，且limlimf(x,y)的内层极限limf(

8、x,y)在x0的某个1(x,y)(x。,y。)xx。yy。yy。邻域里存在，(1>0),则limlimf(x,y)存在且等于A.(另一个累次极限亦然)xxoyy。证因>。，>。，(取<i),当xx。，yy。时，有Af(x,y)A,.在不等式里令yy。取极限，记limf(x,y)g(x),得yy。Ag(x)A(x:xx。),此即表明Alimg(x)limlimf(x,y),证毕.Xx。xx。yy。3.2 二元函数极限的应用利用偏导数的定义，有些关于偏导数的问题可以转化为相应的极限问题.例52(P653654)设Jfy',fyx"在d，y。)的某邻域内存在

9、，fyx"在点(x。，y。)处连续，证明"""，、fxy(x0,y。)存在，且fxy(x。，y0)=fyx(%,y。).证(1)将混合偏导数转化成累次极限.根据偏导数的定义fxy(x。)fxXx。）。y）fx'd,y。）limy0ylimy。y.f（x。limx。.f（x。limx。x,y。）f（x0,y。）xWlimlim,y。X。xy其中Wf（x。x,y。y）f（x0,y。y）f（x。x,y。）f（x。，y。），同理可证fyx（x。，y。）limlimx0y0W,(2)证明重极限lim存在，且等于fyx(xo,y。).y。xy(y)f(x0x

10、,y)f(X0,y).W1(y°y)(y。)xyxy1y'(y。1y)(011)x1、fy(x。x,y。1y)fy(x0,y。1y)xfyx"(x。x,y。1y)(01)因fyx"在(x0,y。)处连续，故limx0y0x,y01y)=fyx"(x),yo).limfyx"(x0x0y0(3)因为fx',fy'在(x0,y0)的邻域内存在,y充分小时，limW存在，由累次极限定理即x0x例4中结论(5),得fxy"(x0,y0)limlimy0x0.w，x*0”%(%，%)4二元函数极限的不存在性根据重极限与累

11、次极限的关系，证明二元函数极限不存在，通常方法是：(1)特殊路径判别法;(2)累次极限判别法；(3)极坐标判别法；(4)证明某个特殊路径的极限不存在等.下面就这几种方法进行具体的讨论.4.1 特殊路径判别法二元函数重极限定义中，动点P(x,y)可以沿任意路径趋于定点F0(x0,y0),若二元函数的重极限存在，则P(x,y)沿任意曲线趋向于P0(x0,y0)时极限都存在而且相等.反之，若点P沿不同路径趋于P0时极限不存在或存在但不相等则可断定重极限不存在，因此通常可以利用特殊路径法判别二元函数极限不存在.4.1.1 选择直线路径22例6问极限lim一xy是否存在？并说明理由."x2当k

12、1时，上式极限为1;当k1时，上式极限为0,故lim22xy不存在.x0xy(xy)y2(xy)2I24一kx呵丁722x0kxx(1k)22解令(x,y)沿直线ykx趋于(0,0),得lim2Jy2ykxxy(xy)2222xyxy一汪易知limlim-二一2limlim20,再一次表明两累次极限存在x0y0x2y2(xy)2y0x0x2y2(xy)2且相等，重极限不一定存在.4.1.2 选择二次曲线路径例7证明limxy的极限不存在.证limx0y0xy=limxy(xy12当(x,y)沿曲线x0xyy0xyyxkx2(k0)趋于(0,0)时，有limx0,2yxkxxyx(xkx2)kx

13、2lim01kxk取不同值，上式极限有不同结果，所以lim不存在，而y0xy2存在，故.xylim.y0,xy11不存在.例8求limx1y0(x1)2y(x1)4解因为f(x,y)(x1)2yy0(x1)242(x1)y(x1)22k(x21)，则f(x,y)k1k2当(x,y)沿曲线yk(x1)2趋近于(1,0)时，有lim(x1)2y1°(x421)ylim1k(x1)2y0(x1)20132(x1)随着k的取值不同,2取不同的值，所以极限不存在.4.1.3选取分式曲线路径当f(x,y)为分式函数时，有时可将分子、分母变形，反过来推导y与x的函数关系，从中找出恰当的分式曲线路径

14、.,一、,xy11解由于f(x,y)xy(xy)(.xy11)xyxy1一一一，-,因此只需讨论12.xylim-x0、y0xxyxy的分子.分母只有y的一次哥.故令”=k(kxy0),解得kxk0时有0,因此沿曲线ykx/日得xk.xy11limx0xvy0xylim0kxxklimx0kxyxkxy(xy)(,xy11)随着k的取值不同，1k没有固定值,2因此极限不存在.对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形,再选取适当路径来证明极限不存在.例10验证limx0y022、1cos(xy)/2(xy2、22)xy不存在.解先将函数变形，有22、1cos(xy)22xy、22(sin2y)/

15、22、22(xy)xy(x22、22y)xysin()222xyO222xy令f(x,y)(22.xysin2_f22)'xy222g(x,y)个方面limf(x,y)=10,另一方面当动点P(x,y)沿直线yx趋于原点(0,0)时，有甲yxg(x,y)lim当x02xJRg(x,y)=yx0,从而xim0f(x,y)g(x,y)=y0.这表明limx0y022、1cos(xy)(x22、22y)xy不存在.4.2累次极限判别法若二元函数在点(x°,y0)某邻域内连续而二累次极限存在不相等,则该重极限不存在.累次极限般不是特殊路径的极限，但在某空心邻域里若函数连续，则累次极限

16、实为沿坐标轴方向的极限.33例11证明函数f(x,y)x3y3在(0,0)处重极限不存在.xy证f(x,y)在除(0,0)点外处处连续，但limQlimQf(x,y)limUx0x30limlimf(x,y)lim4y0x0y00y31,所以limf(x,y)不存在.y04.3极坐标判别法4.3.1证明径向路径的极限与幅角有关.例12设f(x,y)是区域D:x1,y1上的有界k次齐次函数(k1),问极限limx0y0f(x,y)(x1)ey是否存在？若存在，试求其值.解令xrcos,yrsin.由于f(x,y)是区域D上的有界k次齐次函数，所以f(x,y)f(rcos,rsin)f(cos,s

17、in)krM(M0)而limrkM0,所以limf(x,y)x0y0limf(rcos,rsin)0,limf(x,y)(x1)ey1.r0x0y024.3.2f(x,y)中含x若函数rcosrsin例13f(x,y)中含有“验证limx0y0x证作坐标变换存在.(1)取路径(2)取路径r(例14证明limx0y0证作坐标变换f(r,)(cossin2，或为f(x,y)的齐次有理分式函数y2”或为f(x,y)的齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换2,然后适当选取不同路径.2y22yrcosrsincos23yx22xy不存在.22xy化为、x2y21cos3y2-不存在.0;cos所以cos22.xylimx02y0xx不2yxrcos,函数f(x,y)yrsin)(cossinrrsin(1)取路径0,当