全称量词与存在量词附答案

1、1.4全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词情景设计：已知p(x):x2x20,q(x):sinxcosx,(1)语句p(x),q(x)是命题吗？为什么？(2)如果在语句p(x)或q(x)前面加上“对所有xR”或“存在一个xR"，它们是命题吗？为什么？点拔提示：(1)在x未赋值之前，语句p(x),q(x)不能判断其真假，所以它们不是命题；(2)在语句p(x)或q(x)前面加上“对所有xR”或“存在一个xR”后，p(x),q(x)的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累：1 .短语“"、"”逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示。对所有的对任意一个2

2、.短语“"、"”逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示。存在一个至少有一个3 .含有全称量词的命题称为;含有存在量词的命题称为.全称命题特称命题4 .全称命题形式：;特称命题形式：。其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题。xM,p(x)xM,p(x)问题与思考：题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.(1)对任意的nZ,2n+1是奇数(2)所有的正方形都是矩形(3) (4)都是特称命题(2) xR,有x2x102(4) xZ,使x5正(3)真命题(4)假命题(3)有的平行四边形是菱形(4)有一个素数不是奇数答案：(1)(2)都是全称命题；(题2:判断下列命题的真假吗

3、？4(1) xN,有x1(3)xR,使x2x1答案：(1)假命题(2)真命题合作学习与问题探究难点疑点方法问题1:你能用符号"”与“”表达下列命题吗？自然数的平方大于或等于零圆x2y21上存在一个点到直线yx1的距离等于圆的半径基本不等式:对于数列总存在正整数n,使得an与1之差的绝对值小于0.01：解：xN,x2220;（x,y）x,y/xyab;10.01名师讲析：一般地，全称命题写成“xM,p(x)”，特称命题写成“xM,p(x)”，其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题。问题2：你能判定下列全称命题的真假吗？(1) p：所有的自然数是正整数(2) q:xR,x22x1

4、0(3) r:对每个有理数x,6一定是无理数解：(1)Q0是自然数，但不是正整数，命题p为假命题22(2) Q因为x2x1(x1)0,命题q为真命题(3) Q4是无理数，但是J42是有理数，命题q为假命题名师讲析：要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题问题3：你能判定下列特称命题的真假吗？(1) p:xR,使2x2x10(2) q：存在两条直线既不平行也不相交rr(3) r:有一个向量a,a的方向不能确定；解：(1)Q(1)242170,2x2x10无解命题p为假命题

5、(2) Q在空间中，两条直线为异面直线时，它们就既不平行也不相交，命题q为真命题r(3) Q0的方向不能确定，命题r为真命题名师讲析：要判定特称命题“xM,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题新理念典题探究题型一：判断下列命题是全称命题还是特称命题。例1:判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题(1)中国的所有江河都流入太平洋；(2)0不能作除数；(3)有一个实数a,a不能取对数；(4)每一个向量都有方向吗？审题指导：含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题

6、.但要注意有些命题可能省略了量词.解析：(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题，其中(1)全称命题；(2)既不是全称命题也不是特称命题；(3)特称命题；变式备选2:判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数；(2)三角函数都是周期函数吗？(3)有一个实数x,x不能取倒数；(4)有的三角形内角和不等于180解：(1)全称命题；(2)不是命题；(3)特称命题；(4)特称命题;题型二：判断全称命题或特称命题的真假例2:(2004年湖北，15)设A、B为两个集合.下列四个命题：AB对任意xCA,有xB;A£BAAB=;AEB毕B;摩B存

7、在xA,使得xB.其中真命题的序号是.(把符合要求的命题序号都填上)审题指导：要判定一个特称性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x,使命题p(x)为真；否则命题为假。要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0,p(xo)为假。解析：A?B存在xCA,有xB,故错误；错误；正确.亦或如下图所示.BAnBA释BA衣B不成立的反例如下图所示.反之，同理.真命题的序号是变式备选2:(2005年春季上海，15)设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题：若存在常数M,使得对任意xCR,有f(x)WM,则M是函数

8、f(x)的最大值；若存在x°CR,使得对任意xCR,且xwxo,有f(x)Vf(x°),则f(x0)是函数f(x)的最大值；若存在R,使得对任意xCR,有f(x)Wf(x°),则f(x0)是函数f(x)的最大值.这些命题中，真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解：错，原因：可能“=”不能取到.都正确，选C.思维创新探究课题：设语句q(x):x11x(1)写出q(1),q(2),并判断它是不是真命题.(2)写出“aR,q(a)”，并判断它是不是真命题.(3)写出“aR,q(a)”，并判断它是不是真命题.分析：语句q(x)不是命题，给x赋值1,2,则成为命题q(1)

9、,q(2),判断其真假，即看x1,2时，等式x11x是否成立；要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可；要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可答案：(1)q(1):1111,真命题；q(2):|2112,假命题(2) aR,a11a由(1)知q(2)为假命题，所以“aR,|a11a”为假命题(3) aR,a11a由(1)知q(1)为真命题，所以“aR,a11a”为真命题思维误区警示例题：考察以下推导：设ab,则有a2aba2b2abb2(ab)(ab)b(ab)abb2bb21以上推导错在哪里？请你从逻辑角度去找出问题并分析原因走出误区：由ab命题真，可以导出以下三个命题真：

10、a2ab,a2b2abb2(ab)(ab)b(ab).但下一步导出abb是错误的，由于它引用了一个不真的全称命题，“dR,等式两边可以除以d"(因为d0时它是假命题).同样的错误是由2bb导出2=1评注：全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某性质，使所给语句真.因此，当给出限定集合中的任一个特殊元素时，自然应导“这个特殊元素具有这一性质”(类似于“代入”思想)；例如，由于“a,bR,(ab)(a2abb2)a3b3”真，因此，当a2,b3时，(23)(469)2333自然是正确的，以上思想要注意准确理解并运用.课时标准测控时量30分钟，满分30分1 .下列全称命题中真命

11、题为()2A.一次函数都是单倜函数B.xX/X是无理数，X3是有理数C.任何一条直线都有斜率D.a,b/，都有a/b答案：A2 .下列特称命题中假命题为()A.空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直B.仅存在一个实数b2,使得9,b1,b2,b3,1成等比数列C.存在实数a,b满足ab2,使得3a3b的最小值是62D.a(4,0,axax10恒成立答案：A3 .判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题(1)有一个实数a,a不能取对数；(2)存在一个函数f(x),使f(x)既是奇函数又是偶函数；一一，、一2，.一一(3)对任何实数a,b,c,万程axbxc0都有解；(4

12、)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？答案：(1)(2)(3)是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题，(4)为疑问句，不是命题.4 .用量词符号“，”表示下列命题：(1) 有的实数不能写成小数形式；(2) 凸n边形的外角和等于2；(3) 任一个实数乘以1都等于它的相反数；22(4)对任息实数，都有sincos1解：(1)xR,x不能写成小数形式；(4) x凸n边形,x的外角和等于2；(5) xR,x(1)x；,、_.22.(6) R,sincos15 .判断下列命题的真假：(1) xR,x2x10；121(2) xQ,-x-x1是有理数；32(3) ,R,使sin()

13、sinsin;(4) x,yZ,使方程3x2y10;(5) a,bR,方程axb0恰有一个解o1o3解:(6) Qxx1(x-)-0命题为真命题4(7) 命题为真命题(3) Qsin()(4) Qx0;0时，sin()0,sinsiny10时，3x2y10,命题为真命题sinsin,命题为真命题(8) Qa0,b1时，axb10,a0,b1时，axb0无解命题为假命题6 .设语句q(x):sin(x一)cosx.2(1)写出q(-),并判断它是否为真命题？2(2)写出“R,q()”，并判定它是否为真命题？(3)写出“R,q()”，并判定它是否为真命题？(1) q()：sin()cos,即sin

14、02222(2) R,sin(x)cosx.由(1)知,2(3) R,sin(x)cosx.2Q当0时,sin(0-)1,而cos0,cos为真命题2它为假命题第2课时：含一个量词的命题的否定它为真命题课时栏目：自主学习与问题发现情景设计：对于下列命题：(1)所有的人都喝水；(2)aR,|a|0；(3)某些平行四边形是矩形；(4)xQ,使x230；上述命题属什么命题？试对上述命题进行否定、你发现有何规律？点拔提示：命题(1)的否定为：并非所有的人都喝水，或：至少存在一个人不喝水命题(2)的否定为：“aR,都有|a|0"命题(3)的否定为：每一个平行四边形都不是矩形；命题(4)的否定为

15、“x,x230”；注意命题被否定后，原来的全称量词要变为存在量词，而原来的存在量词要变为全称量词阅读与积累：1 .全称命题p：xM,p(x)的否定p：;全称命题的否定xM,p(x)特称命题2 .特称命题p：xM,p(x)的否定p：；特称命题的否定xM,p(x)全称命题问题与思考：题1：设集合M1,2,3,4,5,6,7,试写出下列命题的非(否定)：(1) nM,n1；(2)n是质数，使nM答案：(1)nM,使n1.(2)n质数),nM题2:写出下列命题的非，并判断它们的真假：(1)任意实数x,都是方程3x50的根；2(2)xR,x02(3)xR,x202(4)xR,x是万程x3x20的根答案：

16、(1)命题的非：xR,使3x50.Qx3时，3350,命题的非为真(2)命题的非：xR,使x20.Qx0时，020,命题的非为真.(3)命题的非：xR,使x220.Qx1时，x21,命题的非为假.(4)命题的非：xR,x不是方程x23x20的根.Qx1时，123120,命题的非为假.合作学习与问题探究难点疑点方法问题1：你能写出下列命题的非？(1) p：矩形有一个外接圆.(2) q:若石是有理数，则4>3.(3) r：存在角，使tancot1.解：(1)p：存在矩形没有外接圆.(2) q：若J3不是有理数，则43.(3) r：R,tancot1名师讲析：求命题的非的时候，要注意原命题中是

17、否有省略的量词，要理解原命题的本质含义.问题2:你能写出下列命题的非，并判断它们的真假吗？(1) p：对所有的正实数p,Jp为正数且J6p.(2) q:存在实数x,使得x11或x24J21(3) r：xQ,-x-x1是有理数32解：(1)p：pR,Jp0或Jpp.p为真命题.(2) q：xR,都有x11且x24.q为假命题.121.一,(3) r：xQ,-x-x1不是有理数.r为假命题.32名师讲析：当命题的非的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的非为假，当原命题为假时，命题的非为真问题3:你能举反例说明下列命题是假命题吗？(1)a,bR,方程axb都有唯一解；

18、(2)xR,都有x1x1(3)xR.Vx2x解：(1)如a0,b1等；(2)如x2等；(3)如x1等名师讲析：要判定全称命题“xM,p(x)”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立.新理念典题探究题型一：写出全称命题的非，并判断其真假例1：写出下列全称命题的非，并判断其真假(1) p：xR,2x1021(2) q：xR,xx04(3) r：所有的正方形都是矩形(4) s:一切分数都是有理数审题指导：注意命题被否定后，原来的全称命题要变为特称命题，在判定全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(

19、x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题解：(1)p：xR,使2x10.p为真命题21_一(2)q：xR,使xx-0.q为假命题421,1、2，这是由于xR,xx-(x-)0恒成立42(4)r：至少存在一个正方形不是矩形s：有些分数不是有理数；或：.r为假命题.x分数,使xQ.s为假命题.变式备选1：判断下列全称命题的真假，并写出其否定:(1) p:对所有的正实数，都有&x2(2) q：xR,2x3x17解：(1)假命题，如x等.其否定为：xR,Vxx100.，一，_2_(2)假命题，如x1等.其否定为：xR,2x23x17题型二：写出特称命题的非，并判断其真假例2：写出下列特称命题的

20、非，并判断其真假2(1) p：xR,x2x203(2) q:至少有一个实数x,使x10r：有些三角形是锐角三角形2(4)s：xR,xxx2审题指导：注意命题被否定后，原来的特称特称命题要变为全称命题，要判定特称命题“xM,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题解：(1)p：xR,x22x20.p为真命题(2) q：xR,x310.q为假命题.这里由于x1时，x310.(3) r：所有三角形不是锐角三角形；或r：x三角形,x锐角三角形.r为假命题2(4) s：xR,xxx2.r为假命题变式备选2：

21、判断下列特称命题的真假，并写出其否定：(1) p：xR,x222(2) q：xR,x4x50解：(1)真命题，如x0等.其否定为：xR,x22(2)真命题，如x1等.其否定为：xR,x24x50思维创新探究课题：证明命题“xR,yR,使x(y1)J2”为假命题.分析：从整体看，这是一个全称命题，要证明它是假命题，只需举出一个反例即可xR,yR,使答案：如x0,则yR,x(y1)J2都不成立.这说明命题x(y1)、.2"为假命题.思维误区警示q对应的x值的集合.1例题：已知p:3x42,q:0,求xx2典型错解：由p:3x42得p：3x42ccc2cr223x42,一x2.即p：x-3

22、3,1m由q:-0得x2x2q:1x2x20,走出误区：若条件p中的元素，组成的集合为M,那么对p的否定p组成的集合就是1q:-0的错误,xx213的补集，在上例中，学生容易出现由由q:-0得xx2应先求出满足q的x的值，再求其补集.正确解答：由p:3x42得p：3x42八八八2八r2c23x42,一x2.即p：x-x233,1由q:-0得q：x2或x1,xx2q:1x2.即x课时标准测控时量30分钟，满分30分1 .对下列命题的否定错误的是()A. p:负数的平方是正数；p:负数的平方不是正数B. p:至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；p:每一个整数，它是合数或素数32-32C. p

23、:xN,xx;p:xN,xxD. p:2既是偶数又是素数p:2不是偶数或不是素数答案：A2 .下列语句中，判断是真的个数是()全称命题"nZ,2n1是奇数”是真命题特称命题“xR,x2是无理数”是真命题命题“nZ,2n1是奇数”的否定是“nZ,2n1不是奇数”命题“xR,x2是无理数”的否定是“xR,x2是有理数”(A)1(B)2(C)3(D)4答案：D3 .设集合A1,2,4,6,8,10,12,试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1) p:nA,n12；(2)q:n奇数，使nA解：(1)p:nA,使n12,p为真命题(2) q:n奇数,nA4 .写出下列命题的否定：(1)存在一个三角形是直角三角形；(2)至少有一个锐角，使sin=0；(3)在实数范围