2022年北京市房山区高考第一次模拟数学试卷及答案解析

1、2022年北京市房山区高考第一次模拟数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1. (4 分)已知集合 4=%62|?<4, B= - 1, 2,则 AU8=(A. - 1B. - 1, 2|C. -1,0, 1,2D. - 2, -1,0, 1,212. (4分)函数的定义域为()如(x+1)A. (0, +8)B. 0, +8)C. ( - 1, +8) D. - 1, +8)3. (4分)下面是关于复数z=-3 (i为虚数单位)的命题，其中假命题为()A. |z|=V2B. ?=2/C. z的共知复数为1+iD. z

2、的虚部为-14. （4分）函数/（x） =/nx+4x- 13的零点一定位于区间（A. (1, 2)B. (2, 3)5. (4 分)已知 a=log23, b= (-) 3, c=logA. a>b>cB. b>a>c6.(4分)已知等差数列为的前项和为是()A. 679 = 0C. d<0C. (3, 4)D. (4, 5)13,则a, b, c的大小关系为()2C. c>b>aD. c>a>b且S7>S8, S8 = S9S10，则下面结论错误的B. Si5>S14D. S8与S9均为S的最小值7. （4分）函数/（x）

3、=cosx - cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为299C.奇函数，最大值为三D.偶函数，最大值为a88 T_>TtT-»T8. （4分）已知非零平面向量a, b,则Ta + ）=|a|+|b|"是"存在非零实数入，使b =Xan的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. （4分）如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD, ADA.DC, E是CD的中点0c=1, ABT ->=2,则氏4=()A. V5B. -V5C. 1D. - 110. （4分）袋子里

4、有编号为2, 3, 4, 5, 6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球.教 师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编 号.甲说：“我无法确定乙说：“我也无法确定甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A. 一定有3号球B, 一定没有3号球C.可能有5号球D.可能有6号球二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分.把答案填在题中横线上.）11. （5分）若角0的终边过点P （3. - 4）.贝！J sin （。-丑）=.12. （5分）设斯为等比数列，其前项和为S, «=2, S2-3ai

5、=0.则小的通项公式 是 ; 5”+即48,则的最小值为 .13. （5分）函数/'（x） = sin（2x +苧）的最小正周期为；若函数f （x）在区间（0, a） 上单调递增，则a的最大值为.x + a, - 2 < x <0o<x<i14. （5分）设函数/（x）的定义域为0, 1,能说明若函数f（x）在0, 1上的最大值为f （1）,则函数f（x）在0, 1上单调递增”为假命题的一个函数是 .15. （5分）设函数/（x） （xCR）的周期是3,当在-2, 1）时，/（%）=-13ay（万）=若f（x）有最小值，且无最大值，则实数。的取值范围是三、解答题

6、(共6道小题，85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. (14 分)已知函数/ (x) =2cos2x+2V3sinxcosx - 1.71(I)求/(一)的值； 6TC(H)求函数/(x)在区间与，n上的最小值和最大值.17. (14分)如图，在四棱柱A8CD-48C1。中，AAi_L平面A8CD,底面A8CD满足AOBC,且 A5=AO=AAi=2, BD=DC=2y/2.(I )求证：48_1_平面4。14；(II)求直线48与平面& CO所成角的正弦值.18. (14分)已知8为等差数列斯的前项和，且m = l, S3=6.(I )求数列即的通项公式：(II)设-

7、= 2%, 及为数列岳的前项和,是否存在mN*,使得7=S2o+44?若存 在，求出，的值；若不存在，说明理由.19. (14分)在ABC中，若a、b、c分别是内角4、B、C的对边，已知ABC同时满足 下列4个条件中的3个： sin ? = 4；a2+Z>2 - c2+a/>=0； b = 25/3; c=3.(1)请指出这3个条件，并说明理由；(2)求 sinA.20. (15 分)已知函数f(x) - x, g (x) =2x - 3.(I )求曲线y=f (x)在点(1, /(D)处的切线方程；(II)求函数f (x)在0, 2上的最大值；(III)求证：存在唯一的xo，使得

8、了 (xo)=g (xo).2022年北京市房山区高考第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1. (4 分)已知集合4 = 2"<4, B=- , 2,则 AU8=()A. - 1B. - 1, 2C. -1,0, 1,2D. - 2, - 1, 0, 1, 2)【解答】解：集合 A = k6Z*<4 = - 1, 0, 1, B= - 1, 2),.AUB= - 1, 0, 1. 2).故选：c.2. (4分)函数尸 1 的定义域为()加 0+1)A. (0, +8)B.

9、0, +oo)C. ( - 1, +8) D. - 1, +8)【解答】解：由题意得：既+1)>°,解得>。，lx + 1 >0故选：A.3. (4分)下面是关于复数z=-1 (i为虚数单位)的命题，其中假命题为()A. |z|= V2B. ?=2jC. z的共辗复数为1+iD. z的虚部为-1【解答】解：复数z= = 72L T - 十 I (一1 十 1)(一 J.-1)所以|z|=应正确；?= ( - 1 - j) 2=+2i+i2=2i正确，z的共枕复数为：-1+i,所以C 不正确；z的虚部为-1,正确；故选：C.4. (4分)函数/(x) =/nr+4x

10、- 13的零点一定位于区间()A. (1, 2)B. (2, 3)C. (3, 4)D. (4, 5)【解答】解：函数/(x) =ltvc+4x- 13, ：.f (2) =ln2 - 5<0, f (3) =ln3 - l>0, 根据函数零点的判定定理可得函数/(x) =/nx+4x- 13的零点一定位于区间为(2, 3), 故选：B.5. （4 分）己知。=log23, b= c=log 13,则 a, b, c 的大小关系为（A. a>b>cB. h>a>cC. c>b>aD c>a>b【解答】解：a=log23>log2

11、2=l,c=log 13V0, 2所以a>b>c,故选：A.6. (4分)已知等差数列斯的前项和为S，且S7>S8, Sg=S9Vsio,则下面结论错误的是()A. 9 = 0B. S15>S4C. d<0D. S8与S9均为S”的最小值【解答】解：因为等差数列”, S7>S8, S8 = S9<S1(),所以的-58= -。8>0，S9 - 58 = 49=0，S10 - S9 = a0>0，即“8<0，09=0, aio>o, d>0,故A正确，C错误；S15-S14 = «15>O,即 S15>

12、S14,故B正确；由“8<0，49 =。，。10>0可知S8与S9均为Si的最小值，。正确.故选：C.7. (4分)函数/(x) =cosx - cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为299C.奇函数，最大值为:D.偶函数，最大值为:88【解答】解：由题意，/ ( - x) =cos ( - x) - cos ( - 2x) =cosx - cos2x=/ (x),所以该函数为偶函数，_91)9又 f (x) =cosx - cos2x= - 2cos/jr+cosx+1 = - 2 (cosjv«) +g，,1 .a ,9所

13、以当COSX=4时，f (x)取最大值3故选：D. TfTT-»T8. （4分）已知非零平面向量a, b,则”|a + b|=|a|+|b|"是“存在非零实数入，使b =M” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若向+否=1|+向,则;,%方向相同， T TT T:.a, b共线，.存在非零实数入，使b=M.A a|a + fc|=|a|+|6|w是"存在非零实数入，使，江”的充分条件；T T T T（2）若存在非零实数入，使b=M,则a, b共线， T TT T T T当q, b方向相同时，a

14、+ b=a+bf T TT T T T当Q, b方向相反时，|Q + b|V|a|+|b|,T T t TT T. “|a + b|=|a|+|b|"不是“存在非零实数入，使b =Xa"的必要条件.故选：A.9. （4分）如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD, AD1.DC, E是CO的中点0c=1, AB =2,则日1 .6=（）【解答】解：过E作EFLAB,垂足为F,则 AF=DE= CD= I，- >> EA - AB = -AE AB = AE9AB*cosEAF= - AB*AF= - 2x = 1.故选：D.C10.（4分）袋子里有编号为2, 3,

15、 4, 5, 6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球.教 师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编 号.甲说：“我无法确定乙说：“我也无法确定甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A. 一定有3号球B. 一定没有3号球C.可能有5号球D.可能有6号球【解答】解：由于编号和不能确定，故而两球编号和为7或8或9,两数为2, 5或3, 4 或 4, 5 或 3, 6,或 2, 6 或 3, 5；由于编号积不能确定，故而两球编号积为12,两数为3, 4或2, 6.故两球编号为3, 4或2, 6.故选：D

16、.二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分.把答案填在题中横线上.）411.（5 分）若角。的终边过点 P （3, -4）,贝ijsin （0-tt）= - .一5一【解答】解：.角 8 的终边过点尸（3, -4）, .”=3, y=-4, r=|OP|=5, .'.sing4则 sin （0 - n） = - sin0=耳，4故答案为：12. （5分）设斯为等比数列,其前项和为,图=2, 52-30=0.则仅）的通项公式 是 如=2"；S+a>48,则n的最小值为 6 .【解答】解：设等比数列。“的公比为q，贝aiq=2, S2 - 3。1=2+。1 - 3。=0,

17、解得，tzi 1, q=2,故 a”=lX2"l=2"l,一 一2 一乙i，%+a”=2"- l+2”7>48,即 3*2"'1>49,故"的最小值为6,故答案为：a=2n t, 6.13. (5分)函数= sin(2r +9的最小正周期为n ；若函数/ (x)在区间(0, a)TT上单调递增，则a的最大值为-.-8-【解答】解：函数/0) = 5讥(2%+学)的最小正周期为；若函数f(x)在区间(0, a)上 单调递增，当X0时，2x+7=7：当x=u时，2x+7=2a+才，2a+.W, .,0V4 患，7T故答案为：7T

18、:-.14. (5分)设函数/(x)的定义域为0, 1,能说明若函数f(x)在0, 1上的最大值为f(1),则函数/(x)在0, 1上单调递增”为假命题的一个函数是f(x) = (x-1)2+pxC|O, 11，(答案不唯一).【解答】根据题意，要求函数f(x)的定义域为0, 1,在0, 1上的最大值为/(I), 但f(x)在0, 1上不是增函数，可以考虑定义域为0, 1上，先减后增的函数的二次函数，函数/ (x) = (x-1) 2+1, xGO, 1符合，故答案为：f (x) = (x4) +*, x0, 1> (答案不唯一,x + a, - 2 < x VO15. (5分)设

19、函数f(x) (xR)的周期是3>当入包2, 1)时，/(x) = i(同。0<%<1若f(x)有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是_LL_|【解答】解：/ (x) (xR)的周期是3,13I111a/2,V(T)=/(6+j) =/<-)=(-)2 =今当 OWxVl 时，f (x)=($ x为减函数，则g q(x)Wl,当-2WxV0时，函数/(x)=x+a 为增函数，贝ij - 2+af (x) <a,：f (x)有最小值，且无最大值,.d-2 + a-l(a>l解得1<七|,5故a的取值范围为(1, -1，故答案为：A(L |j三、解答题

20、(共6道小题，85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. (14 分)已知函数f(x) =2cos2x+2V3sinxcosx - 1.7C(I)求/(二)的值;671(II)求函数/(X)在区间，n上的最小值和最大值.【解答】解：(I)因为/(x) =2cos2x+2V3sinxcosx - 1 =cos2x+V3sin2x=2sin (Zr+Q,， 7Tjr -tt7T所以/ (一) =2sin (2x、+召)=2sin =2；(II )由题意，xG, tt, , yr 77rl37r所以2¥+大厂-，"T- 066令2x+ = 3,解得x=n,此时/(x)

21、取得最大值为/ (tt) =2s吟=1,令2x+5 =竽，解得犬=等 此时f (x)取得最小值为/ (q)=2sin = -2.17. (14分)如图，在四棱柱ABC。-A18C1。中，AAi_L平面A8CD,底面A8CD满足AOBC,且 A8=AD=AAi=2, BD=DC=2y2.(I )求证：AB,平面4"Mi；(Il )求直线A8与平面BiCCi所成角的正弦值.【解答】解：(I )证明：.在四棱柱A8CO-48C0 中，AAiJ_平面ABCQ, 底面 48co 满足 AO8C,且 A8=AD=7L4i = 2, BD=DC=242.：.AB±AAi, AB2+AD2

22、=BD2, C.ABLAD,'：AAHAD=A,，AB_L平面AOZMi.(H)解：以A为原点，AB为x轴，A。为)，轴，A4i为z轴，建立空间直角坐标系, A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), Bi (2, 0, 2), C (2, 4, 0), D (0, 2, 2),AB = (2, 0, 0), CBX = (0, - 4, 2), CDt = ( - 2, - 2, 2),设平面BCD的法向量为/=(x, y, z),则E = -4y + 2z = 0 ，取 y=,得 Ji, I, 2),设直线AB与平面BCD所成角为0,则直线A8与平面BCD所成角的正弦值为：

23、.c AB-n2y6sm6= + = T-7= = -z- |Z16|-|n|2Y6d一 D -18. （14分）已知S”为等差数列而的前项和，且m = l, 53=6.（I ）求数列斯的通项公式;（H）设% = 2而，力,为数列岳的前项和，是否存在mN*,使得7=S2o+44?若存在，求出加的值；若不存在，说明理由.【解答】（本小题13分）解：（I）设等差数列小的公差为",则 S3=ai+a2+a3=3ai+3d=6,又 1 = 1,所以 d=l, an=n,（II ）因为与=2® = 2n,所以与为等比数列.所以4 = 2（；二,=2n+1 - 2.假设存在 mN*,使

24、得 7m=520+44, S20 = 20x+20）= 210,所以 2，”+i _ 2=210+44,即 2'"+l=256,所以，”=7 满足题意.19. （14分）在ABC中，若“、b、c分别是内角A、B、C的对边，已知ABC同时满足 下列4个条件中的3个： sin 3 =-/+序 _ c1+ab=0- b = 2 V3： c=3.（1）请指出这3个条件，并说明理由；（2）求 sinA.【解答】解：（1） ZVIBC同时满足条件，.（1分）理由如下：若A8C同时满足，.因为且一E （0，一），所以一=一,即8=为（2分）因为cosC1 -2且 C6 (0, n),所以C = * (4 分)所以B+C=tt,矛盾（5分）所以AABC只能同时满足，.因为b>c,所以B>C,故48C不满足故ABC满足，（7分）（2）在ABC 中，b = 2V3, c=3, 8=为又由正弦定理知：,所以sinC =镖坦 T （9分） sinB sinCb 4又因为8>C,所以C（0, J）,所以cosC=? （10分）所以si几4