动态几何变化问题

1、动态几何变化问题（）以运动的观点探究几何图形部分变化规律的问题，称之为动态几何问题动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形的形状等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻号杼，1 .了解动态几何问题涉及的常见情况；2 .掌握讲义中涉及的动态几何变换的思考策略与解题方法；3 .数形结合、空间想象能力和综合分析能力的训练。知识结构*本部分建议时长5分钟“知识结构”这一部分的教学，老师在

2、教学时刻根据每种情况进行简单例举，也可让学生进行回顾例举考点一、建立动点问题的函数解析式动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.下面结合中考试题举仞分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立函数解析式。三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。考点二、动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：

3、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题。（一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态几何问题的常见方法有：1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。三、专题二总结，本大类习题的共性：1 .代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查；四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数.2 .以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。考点三、双动点问题点动、线动

4、、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题1以双动点为载体，探求函数图象问题。2以双动点为载体，探求结论开放性问题。3以双动点为载体，探求存在性问题。4以双动点为载体，探求函数最值问题。这类试题信息量大，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。考点四、函数中因动点产生的相似三角形问题考点五、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载

5、体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。典例箱泼.本部分建议时长25分钟例疑11.()如图，在边长为4的正方形ABCD43,动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BOCD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间为t,4APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是()【分析】二动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BOCD方向运动,，点Q运动到点C的时间为4+2=2秒。由题意得，当0WtW2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t,BQ=2t,11-2S=，APB

6、Q=，t，2t=t2,为开口向上的抛物线的一部分。22当2vtW4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t,AP上的高为4,cl1，八，一S=AP4=-t4=2t,为直线(一次函数)的一部分。22观察所给图象，符合条件的为选项Do故选D=答案：D2. ()如图，正方形ABCD勺边长为4cni动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿ZBfC和A-AC的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s),四边形PBDQ的面积为y(单位：cmf),则y与x(0<x<8)之间函数关系可以用图象表示为()【分析】0WxW4时，y=SAabdSaapq=X4X4?x?x=-x2+8,222

7、4WxW8时，y=SAbcd-SaCPQ=1X4X4-1?(8x)?(8-x)=-(8x)2+8,222.y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合。故选Bo答案：B33. ()直线y=-x+6与坐标轴分别交于AB两点，动点P、Q同时从O点4出发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线。一B-A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；“、48,（3）当$=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第5四个顶点M的

8、坐标.解：（1）A（8,0）B（0,6）（2）；OA=8,OB=6.AB=108:点Q由O到A的时间是一=8（秒）1，点P的速度是6机=2（单位/秒）8当P在线段OB上运动（或0&t03）时，OQ=t,OP=2tS=t2当P在线段BA上运动（或3ct08）时，OQ=t,AP=6+102t=162t,如图，作PD_LOA于点D,由空二"，得PD=f8二更，BOAB513o24SOQPD=-t2t255824P1224g12一，一，M3I一，,555二824，I1，一，M55551、解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。2、

9、解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系3、动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系我来试一试！1. （）如图为反比例函数y=l在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点x分另作AEJ±x轴和ACLy轴，垂足分别为B,C.则四边形OBAC长的最小值为（）A.4B.3C.2D.12. （）如图，在梯形ABCD43,AD/BC,ZA=60°,动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着Z

10、B-CfD的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知PAD的面积s（单位：错误！未找到引用源。）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）3. （）如图（1）所示，E为矩形ABCM边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的ycR.已知y与t的函数关系图象速度都是1cm/秒.设P、Q同发t秒时，BPQ的面积为如图（2）（曲线O皿抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5cos/ABE罡；当05VtW5时，y=2t2；当t=*秒时，54序号）.ABaQ

11、BP其中正确的结论是（填图4.（）在RtAABC,/C=90°1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点图,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ且交PQ于点D,交折线QBBCCP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).(1)当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是;(2)在点P从C向A运动的过程中，求APQ勺面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的

12、过程中，四边形QBEtlB否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)当D脚过点C时，请直接.写出t的值.答案：1.A2.4+2/33.4.解：(1)1,8;5(2)作QACT点F,如图3,AQ=CFt,，AP=3t.由AQ/AABCBC=J5232=4,阳QFt4付=.一QF=t.4551 4.S=(3t)-t,25即$=刍2昌.55(3)能.当DE/QB寸，如图4.DELPQ.PQLQB四边形QBEDi直角梯形.此时/AQP90.由APQABC彳导AQ=空ACAB't3-t9即一=.解得t=一.358如图5,当PQ/BCM,DELBG四边形QBE偎直角梯形.此时/AP

13、Q=90.由AQPsABC彳导幽=型ABAC'即工=3zl.解得t=15.53855,45(4)t=一或t=.214点P由C向A运动，DE经过点C.连接QC彳QG_BC于点G如图6.图4PC=t,QC2=QG2+CG2=3(5t)2+45t)2.55由PC2=QC2,得t2=3(5-t)2+4,(5-t)2,解得t=-.552点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.2324245(6-t)2M-(5-t)2+4-(5-t)2,t=455514*2、以圆为载体型营例题21. ()如图所示，已知A点从点(1,0)出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以QA为顶点作菱

14、形OABC使B、C点都在第一象限内，且/AOC=60,又以P(0,4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切，则t=答案：43-12. ()如图，C为。O直径AB上一动点，过点C的直线交。O于D,E两点，且/ACD=45,DFLAB于点F,EG!AB于点G当点C在AB上运动时，设AF=x,DE=y,下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是()答案：A3.()如图，边长为6的正方形ABC咕部有一点P,BP=4,/PBC=60，点Q为正方形边上一动点，且PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.【分析】如图，符合条件的Q点有5个。当BP=BQ寸，在AB,BC边上各有1点；当BP=Q

15、P寸，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2,至ijCD的距离为4,到BC的距离为2%3,至iJAD的距离为6-23,故在BC,CDDA边上各有1点；当BQ=PQ寸，BP的中垂线与AB,BC各交于1点，故在AB,BC边上各有1点。又当Q在BC边上时，由于BPQ是等边三角形，故3点重合。因此，符合条件的Q点有5个。答案：54.()在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=1x2+mx+n的图象经过点4A(2,0)和点B(1,-),直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q.4(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t(t>0

16、)的变化规律为yi=-3+2t.现以线段OP为直径作C.4当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线i与Lc是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由；若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为丫2=_1+3"则当1在什么范围内变化时，直线l与|_C相交？此时，若直线l被|_C所截得的弦长为a,试求a2的最大值.3答案：解：(1)将点A(2,0)和点B(1,?)的坐标代入412mn=0m=03,解得mn-1二二次函数的表达式为y=1x2.14(2)当点P在点B处时,直线l与C相切。理由如下:.上

17、3点P（1：一）413_.圆心的坐标为c(一,一一)，Uc的半28奉十|一3|2又抛物线的顶点坐标为(0,1),即直线l上所有点的巫坐标均为一1,35从而圆心C到直线l的距离为d=(1)=r。88，直线1与uc相切。在点p运动的过程中，直线1与Lc始终保持相切的位置关系。理由如下:设点P(xo,-+2t),则圆心的坐标为C(x-,-+t),42835圆心C到直线1的距离为d=(-3+t)-(-1)=-+to883 122.又一一+2t=-x0-1,/.Xo=8t+1。4 4则口C的半径为r=,（勺）2+|-+t|2=竺！+t2-t+W=J（tT2=t+5=d。28446488直线1与LIc始终

18、相切。5由知uC的半径为r=t+28，又圆心C的纵坐标为-3+t,直线1上的点的纵坐标为-1+3t,8.（i）当一3+t>-1+3tJPt<时，圆心C到直线1的距离为8163555d（+t）（1+3t）=2to则由dMr,信2t<t+,解信t>0,8888，此时0<tw-5-05>一16圆心C到直线1的距离为16（ii）当3+tv1+3t,即t835d=（一1+3t）（+t）=2t。8855555则由d<r,得2t-<t+,解得t(一。.此时一vt<一。8841645综上所述，当o<t<5时，直线1与Uc相交。4,555:当0&

19、lt;t<5时，圆心C到直线1的距离为d=|2t|,又半径为=1十一，488a2i一94吗车H2H也75o+165275当t=一时，a取得取大值为8161 .关于圆的动点问题要考虑圆的对称性；2 .建立函数模型解决动点问题是很好的突破口;3 .空间想象能力的培养注重平时的积累。本部分建议时长10分钟1. ()如图，OO1和。O2内切于A,。01的半径为3,0O2的半径为2,点P为。O1BP上的任一点(与点A不重合)，直线PA交。O2于点C,PB切。O2于点B,则PC的值为()(A)23(C) 2.6(D) 22. ()如图，菱形ABCD,AB=2,/A=120°,点巳QK分别为

20、线段BC,CDBD上的任意一点，则PK+QK勺最小值为()ADBA.1B.73C.2D.73+13. ()如图，已知直线l经过点收1,0),与双m曲线y=(x>0)父于点R2,1).过点P(p,p-1)(px>1)作x轴的平行线分别交双曲线y=g(x>0)和yx='(xv0)于点MN.x(1)求m的值和直线l的解析式；(2)若点P在直线y=2上，求证：PMaPN>A(3)是否存在实数p,使得Sam尸4Samf?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.4. ()已知抛物线y=ax2+bx+c经过P(J3,3)E'53,0j及原点O(0,0

21、).2(1)求抛物线的解析式.(由一般式得抛物线的解析式为y=_2x2+E3X).33(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC,是否存在点Q,使得4OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结OQ,矩形OABC内的四个三角形OPC,PQB,OQP,OQA之间存在怎样的关系？为什么?答案：1.B2.B3.解：(1)由点B(2,1)在y=±,有2=m，即m

22、=2。x1设直线l的解析式为y=kx+b,由点A(1,0),点B(2,1)在y=kx+b上，得kb=02k+b=1,，解之，得k=1,b=-1，所求直线l的解析式为y=x-1。(2) "丁点Rp,p1)在直线y=2上，P在直线l上，是直线y=2和l的交点，见图(1)。，根据条件得各点坐标为N(1,2),M(1,2),P(3,2)。，NA3-（1）=4,MF31=2,A22+22=通=2点,BP.l2=2在PM丽PNA,/MPB=/NPA空二竺=2MPBP.PM明PNA1(3) &AM后-fl+1)2=2。下面分情况讨论:当1vp<3时，延长M胶X轴于Q,见图(2)。设直线MPy=kx+b则有2=1kb解得p1=pkbk二八P-1hP1b二p-1则直线M吻y=Es3x-Ep-1p-1当y=0时，x=卫二！，即点Q的坐标为（H,0）。3-p3-pMiS_SS/p卡121/p+11._-p2+4p-3SAMPSAMQ-SAPQ-二-12-1p-1-，2 3-