动点产生的面积问题

1、例1.已知ABC中，AB=4,BC=6,AC>AB,点D为AC边上一点，且DC=AB,E为BC边的中点，联结DE,设AD=Xo设曲边形ABEDy,求y关于x的函数关系式，并写出定SCDE义域。【解法点拨】：-.寻找题目中的已经条件：1 .边：AB=4,BC=6,DC=AB;2 .特殊点：E为BC边的中点；3 .动点：点D为AC边上一动点。(2)求面积比S四边形ABED:SCDE方法一：用含x的代数式单独表示四边形ABED和三角形CDE的面积;方法二：用面积比求解,S四边形ABEDSABDSbDESABDCDECDE又因为出SDBCSABD2SCDE)即24SCDEXr-一，即可求得。2【

2、满分解答】：连BD,二点E为BC中点，SBDESCDESABDSBDESCDESABD1SCDESABDDBC多整即2SCDE4SABDSCDE1(0vxv6)例2.如图,已知在直角梯形ABCD中,BD/BC,ABBC,AD11,BC13,AB12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ2DP.线段PQ与BD相交于点E,过点E作EF/BC,交CD于点F,射线PF交BC的延长线于点G,设DPx.CF(2)当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积So【参考教法】：可参考以下教法，以问题式引导

3、学生分析题目、解决问题一.寻找题目中的不变条件或特殊条件，让学生找找看。1.让学生从角、边、相似基本图形方面寻找一下题目中的已知量。提示：角的关系：AABC90°；边的关系：AD11,BC13,AB12,BQ2DP;相似基本图形：八字形+A字型。PD/EF/BC产生的；注意相等的边：BQCG2x,QGBC13。二.求解型的值，由相似基本图形得：DFDEDPCFCFBEBQ2三.求EFGQ的面积:1.2.3.AD/BGDEBEDPBQEF/BC,DEBE又BQ=2DPDFCFDFcF12(2)不发生变化.在“。以.EF/BC,空BC而BC=13,EFDE1DB313该图形为什么图形？提

4、示：为梯形。怎么求解该图形的面积？怎么计算？提示：求梯形的底边和高线。让学生计算。【满分解答】：(1)在梯形ABCDK又.PD/CG.CG2PD.PDDF1CGCF2.CGBQ即QCBC=13.作EMLBC垂足为点可求得EM=8.13（万13）20883例3.把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图11-1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B,射线DE与射线AB相交与点M,接着把三角形板ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为.其中0°60°,射线DF与线段BC相交与点N(如图11-

5、2示)。()(1)求AMCN的值；(2)设AMx,两块三角形板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析式并求定义域。【参考教法】：可以通过以下方式引导学生分析题目、解决题目。一.寻找题目中的已知条件或特殊条件：(1) 题目中有哪些边的长度是已知，让学生找找？提示：两个等边三角形的边长为4。(2) 有没有出现特殊图形？提示：两个等边三角形。AEDFC形成一线三角相似三角形；(3) 旋转角：0°60°。1 .求AMCN的值，让学生观察，能否定求解？提示：用AMDs'CDN得AMCNADCD,即可求解。2 .求重叠部分的面积：1 .重叠部分为什么图形？提示：四边形2 .这个

6、地方怎么求解？提示：直接发，面积和差关系；3 .该题用哪个方法求解比较好？为什么？提示：用面积和差关系求解比较好，因为该四边形形状不规则，不好直接求解。四,怎么计算？提不：SMBNCSABCSAMDSCDN,可让学生计算看看。五.注意求解定义域。【满分解答】：(1) .ABC和DEF是等边三角形，.Z3=ZC=ZA=60o.1+Z3=Z2+ZC,/1=/2.AMDCDN.,AMCDADADCNAMCNCD2,AMCN(2)过点D作DPAB,DQBC,垂足分别是点P、Q,在RtAPD中，得PDJ3。同理：DQJ3.-4AMx,CN-x一SMBNCy4、,3=x2(1x4).2x我来试一试例4.如

7、图，直角梯形ABCD中，AB/DC/DAB=90,AD=2DC=4AB=6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线CDA向点A运动。当点M到达点B时，两点同时停止运动。过点M作直线l/AD,与折线ACB的交点为Q。点M运动的时间为t（秒）。若PCQ勺面积为y,请求y关于t的函数关系式及自变量的取值范围。（）【参考教法】：可以通过以下方式引导学生分析题目、解决题目。二.寻找题目中的已知条件或特殊条件：1 .题目中有哪些边的长度是已知，让学生找找？提示：AD=2DC=4AB=6。2 .有没有出现特殊图形？提示：直角梯形ABCD。3 .哪些点在动？

8、是否有运动速度？提示：点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；点P以每秒1个单位长的速度，从点C沿折线CDA向点A运动。1 .求解PCQ的面积：2 .与点的运动位置有怎么样的关系？提示：因为点P是从点C沿折线CDA向点A运动，所以应该分点P在线段CD和在线段AD上两大类。3 .怎么求解？（可以让学生分析看看）当点P在线段CD时：即0<t<2,因为PCQ的底边和高都可以直接求解，可利用直接法求解；当点P在线段AD时：t>2,需要通过证明求解出PCQ的底边和高，因此也可利用直接法求解；【满分解答】：当0vtv2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点EQMAD一八

9、由（1）可得.即QM2t.Q曰4-2tAMCD-12.SPQC=-PC-QE=t2t1分2即yt22t当t>2时，过点C作CF，AB交AB于点F,交PCH1点H.PADADP4(t2)6t.由题意得，BFABAF4.CFBF.CBF45.QMMB6t.QMPA.四边形AMQ的矩形.PQ/AB.CHLPQHF=AP6-tCH=AD=H=F-22分1,1.2,Sapqc=PQ-CH=-t2t22rr12即y=tt21C综上所述yt22t(0t2)或y=-t2t动点产生的面积关系的解题方法和策略：1 .注意题目中的已知量和特殊条件；2 .找到：动点、自变量、所求图形面积；3 .观察所求图形面积

10、是否可以直接求解，如不能，则添加辅助线或利用面积转化求解;4 .注意求解面积的一般方法：直接法、面积和差关系、比例法等求解；5 .利用好以下定理：勾股定理、相似三角形的性质等【备注】：该题具有综合性，需要学生在15分钟内独立完成，并给出学生得分，之后老师再讲评。满分14分。1.如图，已知矩形ABCD,AB8,BC6,现将一把三角尺放在矩形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动（点P与A、C两点不重合），两条直角边分别交线段AB、BC于点E、F,且PEAB、PFBC.设CP的长为x。（满分14分）（1）求线段PE、PF的长；（用含x的代数式表示）（4分）（2）过点E作BEHACB,交线

11、段BC于点H。如点H在线段BF上（点H不与点F重合），设四边形PEHF的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;当HF1时，求CP的长。（4分）(6分)()（图1）【解法点拨】：一.寻找题目中的已知量和特殊条件:1.2.3.角度：很多直角，让学生找找；边:AB8,BC6,CP有相似基本图形“A字型”；x；二.求线段PE、PF的长的长，用相似基本图形可直接求解;三.求面积关系式：1 .注意BEHACB又产生一个相似基本图形；2 .注意四边形PEHF为直角梯形；1.万法一：直接求解，yS四边形PEHF=_2HFPEPF;方法:用面积和差关系求解：yS四边形pehf二SABCSapeSpcfSBEH，并且母个三角形的二面角都可以求解，可让学生试试。3.注意求定义域。四.当HF两类讨论。1时，根据点H的位置分类讨论：分点H在线段BF上、点H在线段CF上解：