十大高中平面几何几何定理汇总与证明【精】整理版

1、高中平面几何定理汇总及证明1 .共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立：PAB的面积：QAB的面积=PM:QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证SJAPAB=(密PAM-SXPMB)=(SAPAM/SAPMB-1)XAPMB二(AM/BM-1)X£PMB(等高底共线，面积比=底长比)同理，SQAB=(AM/BM-1)SAQMB所以,S4PAB/SQAB=SPMB/S4QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比)定理得证！特殊情况：当PB/AQ时，易知PABtQAB的高相等，从而SAPAB=SQAB

2、,反之、SPAB=SQAB、贝1PB/AQ。2 .正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=R(r为外接圆半径，R为直径)证明：现将ABC,做其外接圆，设圆心为O。我们考虑/C及其对边a一AB。设AB长度为co若/C为直角，则AB就是。的直径，即c=2r。(7=¥(特殊角正弦函数值)隼2曲1aR若/C为锐角或钝角，过B作直径BC交。于C',连接C'A,显然BC'=2r=R若/C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时/C'=ZC（同弧所对的圆周角相等）

3、在RtAABC中有息!忘亘若/C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a,此时/C'=/A,亦可推石_丁_二出，注:UrsinAo考虑同一个三角形的三个角及三条边，同理，分别列式可得-aEc1二二二作二ALULdHiXLllilH_CC3.分角定理在ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD,贝U有BD/CD=(si也BAD/sinZCAD)*(AB/AC)证明：SJAABD/SAACD=BD/CD(1.1)SJAABD/SAACD=(12)XABXAD>sBAD/(1/2)XACXADMSCAD=(sin/BAD/sinZCAD)x(AB/AC

4、)(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sinZBAD/sinZCAD)_x(AB/AC)ACHABo4.角定理在ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么证明:设/1=/BAD,Z2=ZCAD由分角定理，SAABD/SAABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin1/sin/BAC)一(BD/BC)*(snBAC/AD尸sn1/AC(1.1)SAACD/SXABC=CD/BC=(AD/AB)*(sihZsin/BAC)f(CD/BC)*(si叱BAC/AD尸si叱2AB(1.2)(1.1)式+(1.2)式即得sin_/1/AC+sin/_2/AB=sin/_BAC/AD5.帕普斯定理

5、直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F设AE,BD交于G,AFQCfc于I,BF,E改于H,则G,I,H共线。花音新爱理；小嬴a4&F分别是西条直线上三，交于mBF、CE女:不折卬肝I，则；G,八用t缱3医。正三：生慢行乩i二打年GH二J匕.摩二.C位5口“tW国"共通比例定得：生用"3A壮行SAC函市寸入Ai丽飞A8GSA.4FG区“诚SA.WG=mwdg'saht"mcdg以BCABwl比疝*6C设S为圆弦AB的中点，过S作弦CF和DE设CF和DE各相交AB于点M和N,则S是MN的中点。证明：过O作OLLED,OTXCF,垂

6、足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明AESDscSFES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2ES/CS=EL/CT又:/E=/C.ESLsCST ./SLN=/STM .S是AB的中点所以OSLAB ./OSN=/OLN=90 .O,S,N,L四点共圆，（一中同长）同理，O,T,M,S四点共圆 ./STM=/SOM,/SLN=/SON ./SON=/SOMvOSXAB .MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。证明：若L、IMN三点共线，连结BP,CP,则因PL&#

7、177;BCPMLACPN!AB有B、L、P、N和P、MCL分别四点共圆，有人故A、EkP、C四点共圆。若A、P、RC四点共圆，则/NBP=/MCP因PL.XEC,PMLAC,PNLAE,有RL、P、N和P、MC、L四点共圆，有/NEP=/NLP=/MCP=/MLP.故L、MN三点共线。西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明：PMLACPNLAE,所以A,M,N,P共圆设P、Q为4ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BCCAAB的对称点分别是U、V、W且QUQVQM别交三边BCCAAB或其延长线于DE、F,则DE、F在同一直线上.证明

8、:A、B、P、C四点共圆，因此/PCEWABP点P和V关于CA对称所以/PCV=ZPCE又因为P和叱于AB对称，所以/PBW=2ABP从这三个式子，有/PCVWPBW另一方面，因为/PC®/PBCtB是弦PQO寸的圆周角，所以/PCQ=PBQ两式相加，有/PCV+PCQ=PBW+PBQ即/QCV=QBW_AP9AQ，&8u_HPUQSdQCUCP,CQ“P*AP»AQ于是反EA,窃融QEMSbQCM/(MWS&QCD瓦AV5gM毛砂4PB狈叫SgA卡AQBW£&QCu|根据梅涅劳斯定理的逆定理，DE、F三点在同一直线上三圆定理：设三个圆C1

9、,C2,C3交于一点0,而M,N,P分别是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B,直线PA交C3于C。那么B,N,C这三点共线。公逆定理：如果是三角形，M,N,P三点分别在边AB,BC,CA上，那么AMPABMN4CPN的外接圆交于一点O彳完全四线形定理(4如果ABCDE是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点/0,称为密克点。密苜然之二理四圆定理设C1,C2,C3,C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,

10、B3,B4四点共圆。证明：在4ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N对AMNBWNf口4CW册别作其外接圆，则这三个外接圆共点。该定理的证明很简单，利用“圆接四边形对角和为180度”及其逆定理。A现在已知U是四和巴2的公共点。连接UMff口UN 四边形BNUW3四边形CMU吠别是叫和叫的接四边形，丁./UWB+UNB=UNB+UNA=18(g( ./UWB=UNA同理/UWB+UWC=UWC+UMC=18度丁./UWB=UMC ./UMC+UMA=18度 /UNA+UMA=18fi,这正说明四边形ANUM1一个圆接四边形，而该圆必是四，U必在四上。圆接四边形ABCD勺对角线AC

11、7;BD垂足为MEF，BC且M在EF上。那么F是AD的中点。证明：.ACLBDMELBC ./CBD=CME ./CBD=CAD/CME=AMF ./CAD=AMF .AF=MF ./AMD=90,同时/MAD+MDA=90 ./FMD=FDM；MF=DF即F是AD中点逆定理：若圆接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。证明：,.MALMDF是AD中点 .AF=MF ./CAD=AMF ./CAD=CBD/AMFWCME ./CBD=CME ./CME+BME=BMC=90 ./CBD+BME=90 .EF，BC11.托勒密定理圆接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线

12、所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.圆接四边形ABCD求证：ACBD=ABCD+ADBC证明：过C作CP交BD于P,使/1=/2,又/3=/4, .ACDABCP得ACBC=ADBP,AC-BP=ADBC。又/ACBWDCP/5=/6, .ACBADCP彳导ACCD=ABDP,AC-DP=ABCD。+得AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即ACBD=ABCD+ADBC12 .梅涅劳斯定理当直线交匹两三边所在直线匹匹迎于点巴三时,证明：过点C作CP/DF交AB于P,则POPBOCE两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、DE分别在边三角形

13、的三边ABBCCA或其延长线上，且满足AF/FBXBD/DCXCE/EA=1则F、DE三点共线。证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得:(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。v(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。AP/PB=AF/FB;.(AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB;AB/PB=AB/FB;PB=FB;即P与F重合。D、E、F三点共线。13 .塞瓦定理在ABCffi取一点0,延长AOBOCO别交又t边于DE、F,则(BD/DC)X(CE/EA)乂(AF/FB)=1。.ADCt直

14、线B0所截，(CB/BD)*(D0/0A)*(AE/EC)=1.ABDt直线C0所截，(BC/CD)*(D0/0A)*(AF/FB)=1/约分得：(DB/CD)X(CE/EA)X(AF/FB)=114 .圆哥定理0相交弦定理：如图I,ABCD为圆0的两条任意弦。相交于点P,连接ADBC,由于/B与/D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：/B=/D,同理ZA=ZC,所以皿立三五修。所以有：割线定理：如图H,连接ADBC可知/B=/D,又因为/P为公共角，所以有&PADAPS,同上证得PA五PB=PCkFDI。切割线定理：如图田，连接ACAD/PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，

15、因此有/PBCWD,又因为/P为公共角，所以有图IV,PAPC均为切线，则/PA0=PC0=90,在直角三角形中：0C=0A=RP0为公共边，因此尸。三APT0。所以PA=PC所以Pa2=pcq综上可知，PAxPH=PCxPPb是普遍.成立的。弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。点对圆的幕P点对圆O的幕定义为WM点P在圆OHP对圆O的幕为负数；点P在圆O外一P对圆O的幕为正数；点P在圆O上一P对圆O的幕为00三角形五心：心：三角形三条角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三

16、条高线的交点旁心：三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心九点圆心：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆的圆心15 .根心定理三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：(1)三根轴两两平行；(2)三根轴完全重合；(3)三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。根轴定义：A与B的根轴L1:到A与B的切线相等的点。B与C的根轴L2:到B与C的切线相等的点。证明设A、BC三个圆，

17、圆心不重合也不共线。考察L1与L2的交点P。因为P在L1上，所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离。因为P在L2上，所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离。所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离。也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上所以：三个根轴交于一点。16 .鸡爪定理设ABC勺心、为I,/A的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC证明：由心和旁心的定义可知/IBC=ZABC/2,/JBC=(180°-/ABC)/2./IBC+/JBC4ABC/2+90-/ABC/2=90=/IBJ同理，/ICJ=

18、90°./旧J+/ICJ=180°IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径.AK平分/BAC .KB=KC(相等的圆周角所对的弦相等)又/IBK=/IBC+ZKBC=ABC/2+ZKAC=ABI+/BAK=KIB .KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点 .KB=KI=KJ=KC逆定理：设ABC中/BAC的平分线交ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ其中I在4ABC的部，J在ABC的外部。则I是4ABC的心sJMAABC的旁心。证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。取ABC的心I'和旁心J,根据定理有KB=KC=KI'=

19、KJ'又=KB=KI=KJ.I和I'重合，J和J'重合即I和J分别是心和旁心17.费尔巴哈定理三角形的九点圆与其切圆以及三个旁切圆相切设4ABC的心为I,九点圆的圆心为V。三边中点分别为L,MN,切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,Fo不妨设AB>AC假设OI与。V相切于点T,那么LT与。I相交，设另一个交点为S。过点S作。I的切线，分别交AB和BC于V,U,连接AU又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT的同侧。由假设知/XTL=/LDT而TX和SV都是。I的切线，且与弦ST所夹的圆弧相同，于是/XTL=/VST因此/LDT之VST则Z

20、UDT+UST=180这就是说，S,T,D,U共圆。而这等价于：LUXLD=LS<LT又LP2=LS<LT故有LP2=LIXLD另一方面，T是公共的切点，自然在。V上,因此L,D,T,N共圆，进而有/LTD=ZLND由已导出的S,T,D,U共圆，得ZLTD=ZSTD=180-/SUD=VUB=/AVU-/B/LND之NLB-/NDB=ZACB-ZNBD=ZC-ZB(这里用了LN/AC,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)所以，就得到/AVU=C注意到AV,ACCUUV均与。I相切，于是有/AIR=/AIQ/UIS=/UIP/RIS=/QIS三式相加，即知/AIU=180

21、6;也即是说，A,I,U三点共线。另外，AV=AC这可由AAIV4AIC得到。(这说明，公切点T可如下得到：连接AI,并延长交BC于点U,过点U作。I的切线，切点为S,交AB于V,最后连接LS,其延长线与。I的交点即是所谓的公切点To)连接CV与AU交于点K,则K是VC的中点。前面已得到：LP2=LIXLD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即lp=1Bv然而LK是CBV勺中位线于是lk=舀bv因之LP=LK故LK2=LIXLD由于以上推导均可逆转，因此我们只需证明LK2=LIXLD=往证之这等价于：LK

22、与圆KUD®切于是只需证：/LKU=/KDU再注意到LK/AB（LK是4CBV的中位线），即有/LKU4BAU又AU是角平分线，于是/LKU4CAUhCAK于是又只需证：/CAK=KDU即证：/CAK+CDK=180这即是证：A,C,D,K四点共圆由于AKLKC（易得），ADLDC所以A,C,D,K确实共圆。这就证明了。I与。V切。旁切圆的情形是类似的。证毕另略证：OI2=R-2RrIH2=2r2-2Rr'O牛F2-4Rr'(其中r'是垂心H的垂足三角形的切圆半径，Rr是三角形ABC外接圆和切圆半径)FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与切圆切(九点圆半径为外接圆半径一半。F是九点圆圆心，I为心)18.莫利定理将三角形的三个角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设ABCt,AQ,AR,BR,BP,CP,CQfc各角的三等分线，三边长为a,b,c,三角为3a,33,3丫，则a+B+丫=60。在4ABC中，由正弦定理，得AF=csinB/sin(a+B)。不失一般性，ABC