十字相乘法进行因式分解详案精选

1、十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】(1)理解二次三项式的意义；(2)理解十字相乘法的根据；(3)能用十字相乘法分解二次三项式；(4)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.【重点难点解析】1 .二次三项式多项式ax2bxc,称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项.例如，x22x3和x25x6都是关于x的二次三项式.在多项式x26xy8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b27ab3中，把ab看作一个整体，即2(ab)27(ab)3,就是关于ab的二次三项式.同样

2、，多项式(xy)27(xy)12,把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2 .十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2pxq,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积，并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式2x(ab)xab(xa)(xb)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常

3、数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式ax2bxc(a,b,c都是整数且aw0)来说，如果存在四个整数ai,a2,C1,c2,使a1a2a，C1C2c，且aiC2a2c1b，那么ax2bxca1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数

4、，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如：_2_2,_、，_、5x6xy8y(x2)(5x4)3 .因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下：“

5、首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：(1) x22x15；(2)x25xy6y2.点悟：(1)常数项15可分为3X(-5),且3+(5)=2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(2y)(3y),而(2y)+(3y)=(5y)恰为一次项系数.解：(1)x22x15(x3)(x5)；(2) x25xy6y2(x2y)(x3y).例2把下列各式分解因式：(1) 2x25x3；(2)3x2点悟：我们要把多项式ax2bxc分解成形如(ax1c1)(ax2c2)

6、的形式，这里a1a2a,jc2c而a1c2a2clb.解：(1)2x25x3(2x1)(x3)；(2) 3x28x3(3x1)(x3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：(1) x410x29；(2) 7(xy)35(xy)22(xy);(3) (a28a)222(a28a)120.22点悟：(1)把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式；(2)提取公因式(x+y)后，原式可转化为关于(x+y)的二次三项式；2

7、2(3)以(a28a)为整体，转化为关于(a28a)的二次三项式.解：(1)x410x29(x21)(x29)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3).(2) 7(xy)35(xy)22(xy)(xy)7(xy)25(xy)2=(x+y)(x+y)-17(x+y)+2=(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2).(3) (a28a)222(a28a)1202_2_(a8a12)(a8a10)(a2)(a6)(a28a10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能

8、分解，要分解到不能再分解为止.例4分解因式：(x22x3)(x22x24)90.点悟：把x22x看作一个变量，利用换元法解之.解：设x22xy,则原式=(y-3)(y-24)+902_y27y162=(y-18)(y-9)2_2_(x2x18)(x2x9).点拨：本题中将x22x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果.此外，2y27y162(y18)(y9)一步，我们用了“十字相乘法”进行分解.例5分解因式6x45x338x25x6.点悟：可考虑换元法及变形降次来解之.1 1斛：原式x6(x)5(x)38xx2 121x6(x-)5(x-)50,xx人1-令x-y,则x

9、原式x2(6y25y50)2_-x(2y5)(3y10)x2(2x25)(3x310)xx22(2x25x2)(3x210x3)(x2)(2x1)(x3)(3x1).点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.但是,品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.例6分解因式x22xyy25x5y6.点悟：方法1:依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(xy)的二次三项式.方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式.解法1：x22xyy25x5y6,2_2、，_、_(x2xyy)(5x5y)6(xy)25(xy)6(

10、xy1)(xy6).解法2：x22xyy25x5y62_、2_x(2y5)xy5y6x2(2y5)x(y6)(y1)x(y6)x(y1)=(xy6)(xy+1).例7分解因式：ca(ca)+bc(bc)+ab(ab).点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组.解：ca(ca)+bc(bc)+ab(ab)ac2a2cb2cbc2ab(ab)222c(ab)c(ab)ab(ab)2c(ab)c(ab)(ab)ab(ab)(ab)c2c(ab)ab=(ab)(ca)(cb).点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组.此题展开四项后，根据字

11、母c的次数分组，出现了含ab的因式，从而能提公因式.随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.例8已知x46x2x12有一个因式是x2ax4,求a值和这个多项式的其他因式.点悟：因为x46x2x12是四次多项式，有一个因式是x2ax4,根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是x2bx3(a、b是待定常数)，故有x46x2x12(x2ax4)(x2bx3).根据此恒等关系式，可求出a,b的值.解：设另一个多项式为x2bx3,则x46x2x1222一(xax4)(xbx3)432-x(ab)x(34ab)x(3a4b)x12,424.32x6xx12与x(ab)x(34ab)x(3a4b)x12是同

12、一个多项式，所以其对应项系数分别相等.即有%+5=0,，3十4十厘3=6,%+4b=L由、解得，a=-1,b=1,代入，等式成立.a=-1,另一个因式为x2x3.点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.【易错例题分析】例9分解因式：5a2b223aby10y2.错解：-10=5X(-2),5=1X5,原式=(5ab+5y)(-2ab+5y).5=1X5,10=5X(-2),5X5+1X(2)=23.警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解:原式=(ab+5y)(5ab-2y).【

13、同步练习】一、选择题21. 如果xpxq(xa)(xb),那么p等于()A.abB.a+bC.abD.(a+b)，一2,、2_，2 .如果x(ab)x5bxx30,则b为()A.5B.-6C.-5D.63 .多项式x23xa可分解为(x5)(xb),则a,b的值分别为()A.10和一2B.10和2C.10和2D.10和一24 .不能用十字相乘法分解的是()2_2_2_A.xx2B.3x10x3x2八2-2C.4xx2D.5x6xy8y5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y5)的多项式是()A. 2(xy)213(xy)20B. (2x2y)213(xy)20C. 2(xy)213(xy)2

14、0一24一D. 2(xy)29(xy)206.将下述多项式分解后，有相同因式x1的多项式有()x27x6；3x22x1;2_一x5x6;4x25x9；15x223x8;x411x212A,2个B.3个C.4个D.5个、填空题27. x3x10一28. m5m6(m+a)(m+b).a=,b=.一一2_一一9. 2x5x3(x-3)().2210. x2y(x-y)().2n211. a2a()()2.m12. .当k=时，多项式3x27xk有一个因式为().17322313. 右xy=6,xy一,则代数式xy2xyxy的值为3614.把下列各式分解因式：(1)x47x26；4_22_4(3)4

15、x65xy16y；三、解答题42(2)x5x36;,、6r3,36(4) a7ab8b；(5) 6a45a34a2；(6)4a637a4b29a2b4.15 .把下列各式分解因式：22222(1) (x3)4x；(2)x(x2)9；(3) (3x2x1)(2x3x3);(4) (x2x)217(x2x)60；(5) (x22x)27(x22x)8；2(6) (2ab)214(2ab)48.16 .把下列各式分解因式：2(1)(ab)x2axab；(2)x2(p2q2)xpq(pq)(pq)；(3) x22xy3y22x10y8；(4) 4x24xy3y24x10y3；/,22、，224(6)(

16、xxyy)(xxy2y)12y.一3_217 .已知2x7x19x60有因式2x5,把它分解因式.,3318 .已知x+y=2,xy=a+4,xy26,求a的值.参考答案【同步练习】1.D2,B3.D4.C5.A6.C7. (x+5)(x2)8.1或一6,6或19.2x+12n-n10. xy,x+2y11.2,a,4m22m12. -2,3x+1或x+213.1714.(1)原式(x21)(x26)(x1)(x1)(x26)(2)原式(x29)(x24)_2(x3)(x3)(x4)(3)原式(4x2y2)(x216y2)(2xy)(2xy)(x4y)(x4y)(4)原式(a38b3)(a3b

17、3)_2_222(a2b)(a2ab4b)(ab)(aabb)(5)原式a2(6a25a4)2_-a(2a1)(3a4)(6)原式a2(4a437a2b29b4)a2(4a2b2)(a29b2)a2(2ab)(2ab)(a3b)(a3b)2215. (1)原式(x32x)(x32x)(x3)(x1)(x3)(x1)(2)原式x(x2)3x(x2)3(x22x3)(x22x3)2(x3)(x1)(x22x3)(3)原式(3x22x12x23x3)(3x22x12x23x3)，一2一、，一、，八(5x5x4)(x2)(x1)(4)原式(x2x12)(x2x5)(x4)(x3)(x2x5)(5)原式(x22x8)(x22x1)_2(x2)(x4)(x1)(6)原式(2ab6)(2ab8)16. (1)原式(ab)xab(x1)(2)原式xp(pq)xq(pq)22(xppq)(xpqq)(3)原式x2(2y2)x(3y210y8)2一一一-x(2y2)x(3y4)(y2)x(3y4)xy2(x3y4)(xy2)(4)原式4x24(y1)x3y210y324x24(y1)x(3y1)(y3)(2x3y1)(2xy3)(5)原式(x1)(x2)(x3)(x4)120(x25x6)(x25x4)120,2_.2_-、(x