[理学]概率BCH1-习题课ppt课件

1、第一章第一章 概率论基础概率论基础一、内容小结一、内容小结二、作业讲解二、作业讲解三、典例分析三、典例分析 1. 1. 根本概念根本概念 随机试验随机试验, ,样本空间样本空间, , 样本点样本点, ,随机事件随机事件, ,概率概率, ,条条件概率，事件的互不相容件概率，事件的互不相容, ,事件的独立性事件的独立性. .A A与与B B互不相容互不相容 A AB= B= A A与与B B互相独立互相独立 P PABAB=P=PA AP PB B 2. 2. 事件间的根本运算事件间的根本运算BABABABA ABABABA 注注:当当PA,PB0两者不能同时成立两者不能同时成立一内容总结一内容总

2、结 3. 3. 概率的计算方法概率的计算方法 直接计算直接计算中中样样本本点点总总数数中中包包含含的的样样本本点点个个数数SAP(A) 注注: :放回抽样放回抽样, ,不放回抽样不放回抽样 利用公式利用公式条件概率公式条件概率公式)()()|(APABPABP )|()()(ABPAPABP )()()()(:,ABPBPAPBAPBA 事事件件)()(,111iniininAPAPAA 两两两两互互不不相相容容)(1)(APAP 加法公式加法公式)()()()(ABPAPABAPBAP 贝叶斯公式贝叶斯公式全概率公式全概率公式 niiiniiBPBAPABPAP11)()|()()(niBP

3、BAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1)()|()()|()()()|(1 事件的独立性事件的独立性)()(1)(1)(1)()()()(111111nnnnnnAPAPAAPAAPAAPAPAPAAP 随机变量，分布函数，分布律随机变量，分布函数，分布律离散型离散型，概率密，概率密度度 连续型连续型，结合分布函数，结合分布函数, ,结合分布律结合分布律, ,结合结合概率密度，边缘分布律，边缘概率密度，互相独立概率密度，边缘分布律，边缘概率密度，互相独立。)()( ,)()(xfxFdttfxFx B. 分布函数与概率分布之间的转化分布函数与概率分布之间的转化A. 分布

4、律、概率密度函数的性质分布律、概率密度函数的性质 .1)(dxxf, 11 kkp离散型：分布律与分布函数的转化离散型：分布律与分布函数的转化连续型：连续型：A . 二项分布二项分布, X服从服从Bn,p)(), 1 ,0()1(APpnkppCkXPknkkn 其其中中B. Poisson分布分布, X服从服从 )(!)1()0(,2,1 ,0,!npkeppCpnkkekXPkknkknk 较较小小：较较大大， 其其它它,0,1)(bxaabxf 0,00,)(xxexfx )1 ,0(),(2NXZNX xXPxXPxFX x xexfx,21)(222)( A. 利用分布函数及概率密度

5、函数的性质解题利用分布函数及概率密度函数的性质解题.B. 利用分布律及概率密度函数求概率利用分布律及概率密度函数求概率, 连续型随机变量连续型随机变量X落在某区间落在某区间I的概率为的概率为 Idxxf)( C求连续型随机变量的函数的分布：求连续型随机变量的函数的分布： 先求分布函数，再求导先求分布函数，再求导 即得概率密度函数即得概率密度函数. 等价不等式等价不等式事件相等事件相等概率相等概率相等.B. 利用结合分布律或结合概率密度计算概率利用结合分布律或结合概率密度计算概率 连续型随机变量连续型随机变量X,Y落在某区域落在某区域G的概率为：的概率为： Gdxdyyxf),(A. 利用概率密

6、度函数利用概率密度函数f x,y的性质的性质: : 非负非负Fx,y的性质的性质: :右连续右连续, ,递增递增, ,取值在取值在0,1等等. 1),(dxdyyxf jji1jijiPyPYPPxPX: :离散型离散型y)dxf(x,(y)fy)dyf(x,(x)fYX: :连连续续型型(y)(x)ffy)f(x,YX(y),fY(x),fXYXYX: :则则独独立立, ,与与: :连连续续型型jijijiPPyYPxXPyYxXP,: :离离散散型型分布函数分布函数 密度函数密度函数 数学期望数学期望 描绘了随机变量的描绘了随机变量的概率取值中心概率取值中心均值均值详细详细地地描绘了随机变

7、量的概率分布情况描绘了随机变量的概率分布情况相关系数相关系数 描绘了描绘了X X与与Y Y的的线性相关线性相关程度程度方方 差差 描绘了随机变量的取值与期望的描绘了随机变量的取值与期望的偏离程度偏离程度方差方差 DX 协方差协方差 CovX,Y CovX,Y=EX-EXY-EY CovX,Y= EXY-EXEY)()(),(YDXDYXCovXY DX=EX-EX2 DX=EX2-E2X 相关系数相关系数 XY 数学期望数学期望 EX kkpxXE )( dxxxfXE)()(函数函数Y=HY=HX X连续型连续型离散型离散型在定义式中用在定义式中用Hx代替代替x EX2 = DX +E2X

8、)()(),(YDXDYXCovXY dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( ijjjiipyxgYXgEZE),(),()(11 dxxfxgXgEYE)()()()( 1)()(kkkpxgXgEYE 1)(kkkpxXE dxxxfXE)()()(XgY ),(YXgZ X dxdyyxxfXE),()(特特别别地地， EaX+b=aEX+b EX+Y=EX+EY EXY=EXEY X,Y互相独立互相独立 DaX+c=a2DX1bXaYP, b, a11|XYXY DX+Y=DX+DY X,Y互相互相独立独立 X X与与Y Y互相独立互相独立X X与与Y Y不相关不相关E

9、 EXYXY=E=EX XE EY Y; ; CovCovX,YX,Y=0;=0; X X与与Y Y不相关；不相关； D DX+YX+Y=D=DX X+D+DY Y. . 1, 101 , 0,1 qppkqpkXPkk1, 10,2 , 1 , 0, qppnkqpCkXPknkkn)( 2 , 1 , 0, 0,! kkekXPk 其其它它，0,1)(bxaabxf2ba 12)(2ab 0,0,00,)( xxexfx 121 ),(N2 0,e21) x ( f222)x( 2 分布分布 0-1分布分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布指数分布指数分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布分布

10、律或概率密度函数分布律或概率密度函数期望期望方差方差ppq npnpq说明大量随机现象平均结果稳定性的定理。说明大量随机现象平均结果稳定性的定理。1)(11lim11 niiniinXEnXnPXXn n 互相独立互相独立,X,Xi i的方差有公共上界的方差有公共上界D DX Xi iMM, ,那么对那么对0,0,有有1lim pnnPAn设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A 发生的概发生的概率，率，那么对那么对00，有，有设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n为独立同分布为独立同分布, ,且有一样的数学期望且有一样的数学期望E E

11、X Xi i= = ，那么那么对对00，有，有11lim1 niinXnP：阐述大量独立随机变量的和的极限分布为正态阐述大量独立随机变量的和的极限分布为正态分布的定理分布的定理.设设X1,X2,Xn,独立同分布，独立同分布，EXk= ，DXk= 20，那，那么么 nnXnkk 1 N(0,1)N(0,1)近近似似 nkkXn11近似近似进而进而),(2nN 设设ZnBn,p，n=1,2,.，那么那么）（）（1 , 01NpnpnpZn BA,BA,T T2(3)2(3)如果如果相容，则相容，则也相容；也相容； 二、作业点评二、作业点评ABT6. 10把钥匙中有把钥匙中有3把能翻开门，今任取把能

12、翻开门，今任取2把，求能翻开门的概率把，求能翻开门的概率.解：解：设设“能翻开门能翻开门为事件为事件A，那么：，那么：1584524)(210171323 CCCCAP的分布律的分布律.XXT13(2)将一颗骰子抛掷两次，以将一颗骰子抛掷两次，以 表示两次中得到的小的点数，表示两次中得到的小的点数，试求试求X 其他其他, 01000,1000)(2xxxf某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命 ( (以小时计以小时计) )具有以下概率密度具有以下概率密度从中任取从中任取5 5只只, ,求至少取得求至少取得2 2只其寿命大于只其寿命大于15001500小时的概率小时的概率. . 现有一大批此种电子

13、元件现有一大批此种电子元件( (是否损坏相互独立是否损坏相互独立),), 1500)(1500dxxfXP 150021000dxx32 此相当于此相当于5 5重贝努利试验，用重贝努利试验，用Y Y表示寿命大于表示寿命大于15001500小时的只数小时的只数 1012: YPYPYP则则41155005313231321 CC.243232 XY(, )X YT28.10件产品中有件产品中有2件一级品，件一级品，7件二级品，件二级品，1件次品，从中件次品，从中任取任取3件，用件，用 表示其中的一级品件数，用表示其中的一级品件数，用品件数，求二维随机变量品件数，求二维随机变量的概率分布和边缘分布

14、的概率分布和边缘分布.表示其中的二级表示其中的二级解：解：X的取值：的取值：0,1,2；Y的取值：的取值：0,1,2,3. X,Y取值的概率略。取值的概率略。 已知已知r.vX的概率密度为的概率密度为: 其其它它,0,21,10,)(xxAxxxf求求(1)常数常数A (2)分布函数分布函数F(x); (3) (4);221;21 XPXP).()(XDXE； 得得由由1)(dxxf1)(2110 dxxAxdx. 2 A xduufxXPxF)()( 2,1 x0,0 x xxxudu0210,2 xduuudu110)2(21, 2/)2(12 xxyx12 0.8121210 xdxXP

15、或或81)2(21 FXP87)21()2(221 FFXP87)2(22121121 dxxxdxXP或或 -)()(dxxxfXE61)()()(22 XEXEXD1)2(21102 dxxxdxx -22)()(dxxfxXE67)2(212103 dxxxdxxT39. 1 设随机变设随机变量量432, 1,XXXX互相独立互相独立, 且有且有4 , 3 , 2 , 1,5)( iiXDi, 设设43212132XXXXY , 求求)(),(YDYE2 设随机变量设随机变量X, Y互相独立互相独立, 且有且有)25,640(),30,720(22NYNX求求,221YXZYXZ 的分布

16、，并求的分布，并求1400, YXPYXP,)(,iXEi 解解 1 )2132()(4321XXXXEYE 742133212 因因432, 1,XXXX互相独立，固有互相独立，固有)2132()(4321XXXXDYD 25.3714129344 )(21)(3)()(24321XEXEXEXE )(41)(9)()(44321XDXDXEXE 2 因因YX,互相独立，且互相独立，且)25,640(),30,720(22NYNX那么那么,21YXZ ,2YXZ 均服从正态分布，且均服从正态分布，且20806407202)()(2)2()(1 YEXEYXEZE422525304)()(4)

17、2()(221 YDXDYXDZD80640720)()()()(2 YEXEYXEZE15252530)()()()(222 YDXDYXDZD故有故有 )1525,80(),4225,2080(21NZNZ010022 ZPZPYXPYXP9798. 0)0486. 2()1525800(1 又又 X+YN1360,1525 故故 140011400 YXPYXP1539. 0)02. 1()152513601400(1 例例1 1 设设A, B为二互相独立的事件，为二互相独立的事件，PA B=0.6, PA=0.4, 求求PB。)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPA

18、PBAP 解法一：解法一：31404060 P(B)P(B).P(B).)()(1)(1)(BPAPBAPBAP 解法二解法二：)(60160BP. 解法三：由，解法三：由，PAB=PAPB, PAB=0.4PB, 如图如图B-A=A B-A,PB-A=0.6-0.4=0.2 PB=PAB+PB-A=0.2+0.4PB 所以所以 PB=1/3 三、典例分析三、典例分析例例2 2 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统和和，每种系统单独使用时，系统，每种系统单独使用时，系统和系统和系统的有效概率分别为的有效概率分别为0.92和和0.93，在系统，在系统失

19、灵的情况下，失灵的情况下，系统系统仍有效的概率为仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一，求两个报警系统至少有一个有效的概率。个有效的概率。记记A=“系统系统 有效有效,B=“系统系统有效有效,由由,85. 0)/(,93. 0)(,92. 0)( ABPBPAP)()()()(ABPBPAPBAP 所所求求概概率率为为：)()()(BAPBPABP 而而)/()()(ABPAPBP .988. 085. 008. 092. 0)/()()()( ABPAPAPBAP解解: :例例3 3 某地区一工商银行的贷款范围内某地区一工商银行的贷款范围内, ,有甲、乙两家同类有甲、乙两家同类企业。

20、设一年内甲申请贷款的概率为企业。设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概，乙申请贷款的概率为率为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。解解: : 设事件设事件A=“甲申请贷款甲申请贷款,事件事件B=“乙申请贷款乙申请贷款, 1 . 0)/(, 2 . 0)(,25. 0)( ABPBPAP则则)()()/(BPBAPBAP 所所求求概概率率为为)()()(ABPAPBAP )()()(BAPBPAP 125. 01 . 075. 02

21、 . 025. 0)/()()()( ABPAPBPAP16. 08 . 0125. 0)/( BAP例例4.4. 甲乙两人独立地对同一目的射击一次，甲乙的命中甲乙两人独立地对同一目的射击一次，甲乙的命中率分别为率分别为0.6和和0.5, ,目的被击中，求甲击中目的的概率目的被击中，求甲击中目的的概率. .分析：分析：这首先是一个这首先是一个条件概率问题条件概率问题. . 设设 A，B分别代表甲乙击中目的的事件分别代表甲乙击中目的的事件, , 所求为所求为由由 PA=0.6 PB=0.5)()()()(ABPBPAPBAP 8 .03 .05 .06 .0)()()()( BPAPBPAP75

22、08060)(.BA|AP 同理同理625.08.05.0)|( BABP独立性独立性)|(BAAP设随机变量设随机变量X,Y的概率密度为的概率密度为 其其他他, 010,12),(2xyyyxf求求)(),(),(),(22YXEXYEYEXE 解：解：1各数学期望均可按各数学期望均可按照照 dxdyyxfyxgYXgE),(),(),(因因fx,y仅在有限区域仅在有限区域10| ),(: xyyxG故各数学期望均化为故各数学期望均化为G上相应积分的计算。上相应积分的计算。 dxdyyxxfXE),()( dxdyyxyfYE),()(例例5 内不为零，内不为零，54121210022 xGdyxydxdxdyxy53121210032 xGdyydxdxdyyy计算。计算。 dxdyyxxyfXYE),()(1516)(12100422 xdyyyxdx21121210032 xGdyxydxdxdyxyy GdxdyyyxYXE2222212)()(例例6 设随机变量设随机变量X,Y的分布律为的分布律为 XY-101-11/8 1/8 1/801/8 01/811/8 1/8 1/8验证验证X和和Y是不相关的，是不相关的，但但X和和Y不是互相独立的不是互相独立的.证：证： 先求出边缘分布律如下