直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题及答案

1、直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式A=b2一4acA>0O直线1与圆C相交o直线1与圆C有两交点A=0o直线1与圆c相切O直线1与圆c有一交点A<0o直线1与圆c相离O直线1与圆c无交点(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小

2、关系：d<rO直线1与圆c相交O直线1与圆c有两交点d=rO直线1与圆c相切O直线1与圆c有一交点d>rO直线1与圆c相离O直线1与圆c无交点2、圆的切线方程若圆的方程为x2+y2二r2,点p(x,y)在圆上，则过P点且与圆x2+y2二r2相切的切线方程为00xx+yy=r2.oox+xy+y经过圆(x-a)2+(y-b)2二r2上一点p(x,y)的切线方程为(o-a)2+(o-b)2=r2.00223、直线与圆相交直线与圆相交时，若1为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2=d2+片，即1=2"2-d2，求弦长或已知4弦长求其他量的值时，一般用此公式。二、圆与圆的位置关系

3、1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。2、判断圆与圆的位置关系常用方法(1)几何法：设两圆圆心分别为O,O，半径为r,r(r丰r)，则121212OO12>yO圆q与圆°2相离O有4条公切线OO12yO圆Oi与圆O2外切O有3条公切线rl<OO212<O圆q与圆O2相交O有2条公切线|OO|=lr-rIO圆O与圆O内切O有1条公切线11r1212OO12<lI-r2IO圆O1与圆O2内含O有0条公切线.2）代数法：方程组x2+y2+Dx+Ey+F=0111x2+y2+Dx+Ey+F=0222有两组不同的实数解O两圆相交；有两组相同的实数

4、解O两圆相切；无实数解O两圆外离或内含。经典例题】【例1】（2012广东文）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长等于（）A.3朽B.2杼c.73答案】B解析】圆心到直线的距离为d=D15232+42=1，所以弦AB的长等于2"2-d2=2、耳.5【例2】（2012重庆理）对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案】C11【解析】圆心C（0,0）到直线kx-y+1=0的距离为d=<-<、；2=r,且圆心C（0,0）不在该直线上

5、.J1+k21法二:直线kx-y+1=0恒过定点（0,1）,而该点在圆C内，且圆心不在该直线上，故选C.【例3】（2012福建）直线x+朽y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于（）A.2応B.2、打C.杓D.1答案】B【解析】求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程绸X+"3y-2=0，解得A、B两点的坐标为(2,0)、1,.3),x2+y2=4所以弦长IAB1=耳(2+1)2+(0抒)2=2込；二、几何法：根据直线和圆的方程易知，圆心到直线的距离为=1，又知圆的半径为2，所以弦长IAB1=2;2212=2/3.+(/3)2【例4】(2012安徽)若直线xy+

6、10与圆(xa)2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是()A.3,1B.1,3C.3,1D.(©3U【1,+Q答案】C【解析】圆(xa)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线xy+1=0的距离为d，v'2|a+1|w23waw1.【例5】(2012山东)圆(x+2)2+y2=4与圆(x2)2+(y1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离答案】B【解析】两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为r=2，R=3两圆的圆心距离为、：(22)2+(01)2=.17，则Rr<17<R+r，所以两圆相交，选B.【例6】(2012江西)过直线x+y2仁

7、=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°,则点p的坐标是【答案】(迈,迈)【解析】如图：由题意可知ZAPB=600,由切线性质可知ZOPB=300,在直角三角形OBP中，IOPI=2IOB1=2.设点P(x2dx)，则IOPI=：'x2+(2p2x)2=2，即x2+(22x)2=4，整理得x22、；2x+2=0，即(x、；2)2=0,所以x=2，即点P的坐标为(、2迈).法二：如图：由题意可知ZAPB=600，由切线性质可知ZOPB=300，在直角三角形OBP中,IOPI=2IOBI=2圆心到直线的距离为d=2，所以OP垂直于直线x+y22=0，x+y

8、220yx，解得F三Iy;2即点p的坐标为（叮八迈）。【例7】（2009四川）若。O:x2+y25与。O:（x一m）2+y220（meR）相交于A、B两点，且两圆在点A12处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.【答案】4【解析】由题知O（0,0）,O（m,0），且再v|m|<3、第，又OA丄AO，所以有121112m2G-'5）2+（2叮5）225nm-±5,.AB2-氏一、：204.【例8】（2011福建）已知直线l:yx+m,meR.（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与

9、抛物线C：x24y是否相切？说明理由。【答案】（x2）2+y28；当m=1时，直线l与抛物线C相切，当m#1时，直线l与抛物线C不相切.m0kPM=d2=-1，解得m=2【解析】（I）由题意知P（0,m以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P,圆M的半径r(20)2+(02)2二2、：2,所求圆M的方程为（x2）2+y28；（II）7直线l关于x轴对称的直线为I'，l:yx+m，meR，l':yxm，代入x24y得x2+4x+4m0，A二42一4x4xm二1616m，当mV1时，A>0，直线l'与抛物线C相交；当m=1时，A=0，直线l'与抛物线C相切

10、；当m>1时，A<0，直线l'与抛物线C相离.综上所述，当m=1时，直线l'与抛物线C相切，当m壬1时，直线l'与抛物线C不相切.【例9】已知圆C:x2+y2一2mx+4y+m2一50，圆C:x2+y2+2x一2my+m2一30，m为何值时,12（1）圆C与圆C相外切；（2）圆C与圆C内含.1212【答案】当m5或m2圆C与圆C外切；当2<m<一1时，圆C与圆C内含.1212【解析】对于圆C1与圆C2的方程，配方得：q:（x-m）2+（y+2）2-9;.如果圆C1与圆C2外切则有斗1(m+1)2(m+2)23+2,(m+1)2(m+2)2=25,

11、即m2+3m一10=0,解得m=-5或m=2.如果圆Ci与圆C2内含,则有斗1(m+1)2(m+2)2<3+2,13(m+1)2(m+2)2<1,m2+3m+2<0,解得-2<m<-1,/.当m=一5或m=2时，圆C与圆C外切;12当-2<m<-1时，圆C与圆C内含.12【例10】(2011广东)设圆C与两圆(X+J5)2+y2二4,(x-g5)2+y2二4中的一个内切，另一个外切.(1) 求C的圆心轨迹L的方程；x2-6运【答案】4一y2=1；(5，255)(2) 已知点M(-，-)，F(5,0),且P为L上动点.求IIMPIIFPII的最大值及此时

12、点P的坐标.3洁4腐怙一【解析】(1)两圆的圆心分别为A(J5,0),B(J5,0),半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r2,|CB|=r+2或|CA|=r+2,|CB|=r2,两式相减得|CA|CB|=4或|CA|CB|=4,即|CA|CB|=4.则C的轨迹为双曲线，其中2a=4,c=斗5,b2=1.圆C的圆心轨迹L的方程为y2=1.4(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图,连MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|PF|=|MF|为|PM|FP|的最大值.又|MF=¥一巨2+(翠)2=2MF的方程为y=2(x:5)即y=2*52x代入X24y2=4并整理得15x

13、232、：5x+84=0,14岳、18虧6厉解得x=或x=-,15155、6运c匚12薦2运显然x=为点P的横坐标，点P的纵坐标为y=2耳5=5p56鸟2厉即|MP|FP|的最大值为2,此时点P的坐标为(亍，一).课堂练习】1. （2012辽宁）将圆x2+y2-2x-4y+1二0平分的直线是（）A.x+y一1=0B.x+y+3=0C.x一y+1=0D.x一y+3=02. （2012重庆）设A,B为直线y=x与圆x2+y2二1的两个交点，则IAB1=（）A.1B.$2C.打D.23. （2012陕西）已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P（3,0）的直线，贝9（）A.l与C相交B.l与C相切

14、C.l与C相离D.以上三个选项均有可能4. （2012湖北）过点P（1,1）的直线l,将圆形区域（x,y）Ix2+y2w4分成两部分，使这两部分的面积之差最大,则该直线l的方程为（）A.x+y一2=0B.y一1=0C.x一y=0D.x+3y一4=05. （2012天津理）设m,neR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x-1）2+（y一1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A.1-巨1+朽B.（-°1-养21+巨+8）C.22迈,2+2巨D.（一8,22、''2o2+2J2,+w）6. （2009辽宁理）已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线

15、x+y=0上，则圆C的方程为（）A.（x+1）2+（y1）2=2B.（x1）2+（y+1）2=2C.（x一1）2+（y一1）2=2D.（x+1）2+（y+1）2=27. （2009重庆理）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离8. （2006陕西理）过原点且倾斜角为60。的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）A.3B.2C.D.2J39. （2011江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

16、（）10. (2012江苏)在平面直角坐标系Oy中，圆C的方程为X2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.11. (2012浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线q：y二x设P(x,y)(yh±3)为圆C外一点，过P作圆C的两条切线，分别与曲线C相交于点A,B和C,D.000221+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a二.12(2012天津文)设m,neR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y

17、轴相交于B，且l与圆x2+y2二4相交所得弦的长为2,O为坐标原点，则AOB面积的最小值为.13. (2010宁夏)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1).则圆C的方程为.14. (2010江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆X2+y2二4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是.15. (2008广东理)经过圆x2+2x+y2二0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线是.m16. (2011江苏)A=(x,y)I<(x-2)2+y2<m2,x,yeR,B=(x,y)I2m<x+y<2m+1,x,yeR,2若A

18、cBHQ,则实数m的取值范围是.17. (2006广东)以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.18.(2012全国大纲)已知抛物线C:y二(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线为同一直线l.(I) 求r；(II) 设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m,n的交点为D，求D到l的距离.19.(2012湖南理)在直角坐标系xOy中，曲线C上的点均在圆C:(x-5)2+y2二9外,且对C上任意一点M，121M到直线x=-2的距离等于该点与圆C上点的距离的最小值.2(1) 求曲线C的方程；1证明：当P在直线

19、X=-4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.20.（2008江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C:（x+3）2+（y1二4和圆C:（x-4）2+（y-5）2二4.12（1）若直线l过点A（4,0），且被圆C截得的弦长为2朽，求直线l的方程；1（2）设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂直的直线i和i，它们分别与圆q和圆C2相交,1212且直线l1被圆C截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【课后作业】1. （2011安徽文）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x一4y=0的圆心，则a的值为（）A-1B1C3D-32. （201

20、0广东）若圆心在x轴上、半径为p'5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A.(x-.；5)2+y2二5B.(x+5)2+y2二5C.(X-5)2+y2二5D.(X+5)2+y2二53.（2009重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A.x2+(y2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x一1)2+(y一3)2=1D.x2+(y一3)2=14. （2009上海）过圆C：（x-1）2+（y一1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AAOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S+S二S+S,则直线AB有（）Inii

21、iA.0条B.1条C.2条D.3条A.3B.5C.3D.55. 直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y-2=0的周长，则b=（）6由直线y=x+1上的点向圆（x-3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）A.uT7b.3迈c.、T9d.2p57.（2011江西）若曲线C:x2+y2-2x二0与曲线C2：y（y-mx-m）二0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（)A(-至A.(3，逼）3丿朽B.(-，0)U(0,3丿v'3c-丁，D.(3，3)U(丁，+3）8. （2009宁夏）圆C:（x+1）2+（y1）2=1，圆C与圆C关于直线x-y-1=0对称，则圆C的方程为（

22、）1212A.（x+2）2+（y2）2=1B.（x2）2+（y+2）2=1C.（x+2）2+（y+2）2=1D.（x2）2+（y2）2=19. （2009全国I）若直线m被两平行线1:xy+1=0与1:xy+3=0所截得的线段的长为2.2，贝y12m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）°10. （2011湖北文）过点（-1,-2）的直线l被圆x2+y22x2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为11. （2010天津）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为12. （2010山东）已知

23、圆C过点（1,0）,且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2迈，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为.13. （2010湖南）若不同两点P,Q的坐标分别为（a,b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线l对称的圆的方程为.14. 光线从点P（-3，5）射到直线l:3x-4y+4=0上，经过反射，其反射光线过点Q（3，5），则光线从P到Q所走过的路程为.x=1+cos0c15. 圆f（0为参数）的标准方程是，过这个圆外一点P（2,3丿的该圆的切线方程y=1+sm0是.16. 设直线ax一y+3=0与圆（xI）2+（

24、y2）2=4相交于A、B两点，且弦长为2它3，则a=.17. （天津文）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay6=0（a>0）的公共弦长为2J3，则a=.18. （2006江西理）设直线系M:xcos0+（y-2）sin0=1（0<0<2兀），对于下列四个命题：M中所有直线均经过一个定点；存在定点P不在M中的任一条直线上；对于任意整数n（n>3），存在正n边形,其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号（写出所有真命题的代号）.19. （2011全国）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上.（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点，且OA丄OB,求a的值.20. （2009宁夏