[信息与通信]第3章 离散傅里叶变换ppt课件

1、第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 Discrete Fourier TransformDFT3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT的应用举例的应用举例傅里叶变换的离散性和周期性傅里叶变换的离散性和周期性1.连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间、离散频率连续时间、离散频率ktjkTTtjkekXtxdtetxTkX1111)()()(1)(12211结论：时域周期结论：时域周期-频域离散；时域连续频域离散；时域连续-频域非周期频域非周期2.连

2、续时间非周期信号的傅里叶变换连续时间非周期信号的傅里叶变换连续时间、连续频率连续时间、连续频率结论：时域非周期结论：时域非周期-频域连续；时域连续频域连续；时域连续-频域非周期频域非周期dejXtxdtetxjXtjtj)()()()(3. 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、连续频率离散时间、连续频率结论：时域非周期结论：时域非周期-频域连续；时域离散频域连续；时域离散-频域周期频域周期deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(4. 离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率10)2(110)2(1)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXNn

3、xenxkX结论：时域周期结论：时域周期-频域离散；时域离散频域离散；时域离散-频域周期频域周期3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的定义及物理意义一、离散傅里叶变换一、离散傅里叶变换DFT的定义的定义二、二、DFT与与FT及及ZT的关系的关系三、三、DFT的隐含周期性的隐含周期性四、用四、用MATLAB计算序列的计算序列的DFTnekXNkXnxkenxnxkXNkknNjNnknNj )(1)(IDFS)( )()(DFS)(102102)()()()()()()%()()(nRnxnRnxnxnxNnxrNnxnxNNNNrxn为周期序列的主值序列为周期序列的主值序列)(

4、)()()()()()(kRkXkRkXkXkXkXNNNNXk为周期序列的主值序列为周期序列的主值序列“借用借用” 的主值序列的主值序列X(k)定义定义为为“离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)”。目的。目的是使傅里叶分析可以利用数字计算是使傅里叶分析可以利用数字计算机。机。)(kX一、离散傅里叶变换一、离散傅里叶变换Discrete Fourier TransformDFT)()()()()(kRkXkXkXkXNN10 )(DFT)()()(10102NknxWnxenxkXNnknNNnknNj，kenxnxkXNnknNj )()(DFS)(102nekXNkXnxNkknNj )

5、(1)(IDFS)(10210 )(IDFT)(1)(1)(10102NnkXWkXNekXNnxNkknNNkknNj，) 1() 1 ()0() 1() 1 ()0()1()1(2)1(1)1(0)1()1(1211101)1(0201000NxxxWWWWWWWWWWWWNXXXNNNNNNNNNNNNNNNNNNN) 1() 1 ()0(1) 1() 1 ()0()1()1(2)1(1)1(0)1()1(1211101)1(0201000NXXXWWWWWWWWWWWWNNxxxNNNNNNNNNNNNNNNNNNN10 )(1)(1)(IDFT)(10 )()()(DFT)(1010

6、210102NnWkXNekXNkXnxNkWnxenxnxkXNkknNNkknNjNnknNNnknNj，二、二、DFT与傅里叶变换和与傅里叶变换和z变换的关系变换的关系DFT的物理意义的物理意义1：序列序列xn的的N点点DFT是是xn的的z变换在变换在单位圆单位圆 上的上的N点等间隔采样。点等间隔采样。10)()(ZT)(MnnznxnxzX)()()()()(1021021022kXenxenxznxzXMnknNjMnnkNjMneznezkNjkNj1, 1 , 0 )()()(DFT)(102102NkenxenxnxkXMnnkNjMnknNjN，有限长序列有限长序列xn点数为

7、点数为M1, 1 , 0 )()()(DFT102NkkXenxnxMnknNjN，)()()(FT10jMnnjeXenxnx)()()(1022kXenxeXMnknNjjkNDFT的物理意义的物理意义2：Xk为为xn的傅里叶变换在区间的傅里叶变换在区间0, 2 上的上的N点等间隔采样。点等间隔采样。二、二、DFT与傅里叶变换和与傅里叶变换和z变换的关系变换的关系)()()()()()(1010)(10kXWnxWnxmNkXWnxkXNnknNNnnmNkNNnknN三、三、DFT的隐含周期性的隐含周期性DFT物理意义物理意义3：有限长序列的有限长序列的N点离散傅里叶变换点离散傅里叶变换

8、X(k)正好是正好是x(n)的的周期延拓序列周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数的主值序列，的离散傅里叶级数系数的主值序列，X(k)实质上实质上是是x(n)的周期延拓序列的周期延拓序列 的频谱特性。的频谱特性。Nnxnx)()(【例例3.1.1】xn=R4n，求，求xn的的4点和点和8点点DFT。3 , 2 , 1 00 411)()(223042304kkeeeWnxkXkjkjnknjnknkjkjnknjnkneeeWnxkX4308270811)()( Xk = fftxn,N xn = ifftXk,N四、用四、用MATLAB计算序列的计算序列的DFT00.511.520123

9、4(a)16点 DFT的 幅 频 特 性 图/幅度00.511.52-202(b)16点 DFT的 相 频 特 性 图/相位00.511.5201234(c)32点 DFT的 幅 频 特 性 图/幅度00.511.52-202(d)32点 DFT的 相 频 特 性 图/相位【例例3.1.2】3.2 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质一、线性性质一、线性性质二、循环移位性质二、循环移位性质)()(DFT )()(DFT max)()()(22112121kXnxkXnxNNNnbxnaxnyNN，10 )()()(DFT21NkkbXkaXnyN1. 序列的循环移位序列的循环移位)()()

10、(nRmnxnyNN)()()(nRmnxnyNNN=8m=22. 时域循环移位性质时域循环移位性质10 )(DFT)()()()(NknxkXnRmnxnyNNN3. 频域循环移位性质调制性质频域循环移位性质调制性质)()()(10 )(DFT)(kRlkXkYNknxkXNNN二、循环移位性质二、循环移位性质)()()(IDFT)(2nxWnxekYnynlNnlNjN)()()()(DFT)(22kXWkXekXenykYkmNkmNjmkNjN1. 两个有限长序列循环卷积的定义两个有限长序列循环卷积的定义三、循环卷积定理三、循环卷积定理)5 . 2 . 3( )()()()(MNmax

11、 LM )( N )(10nynRmnxmh , nxnhcLLmL： ) 1( , , )2( , ) 1 ( , )0()( 1 , , 2 , 1 , 0LxxxxnxLn， )2( , , ) 1( , )0( , ) 1 ( )2( , , )1( , )0( , )1()1()(1 , , 1 , 0 , 1xLxxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL ) 1 ( , , )2( , ) 1( , )0( )1( , , )2( , )1( , )0()0()(1 , , 1 , 0 , 0 xLxLxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL循环倒相序列循环倒相序列L点循环卷积

12、点循环卷积循环右移一个样值点循环右移一个样值点 )2( , , ) 1( , )0( , ) 1 ( )2( , , )1( , )0( , )1()1()(1 , , 1 , 0 , 1xLxxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL ) 1 ( , , )2( , ) 1( , )0( )1( , , )2( , )1( , )0()0()(1 , , 1 , 0 , 0 xLxLxxLxxxxmxmnxLmnLLLLLL )3( , , ) 1(, )0( , ) 1 ( , )2()2()(1 , , 1 , 0 , 2xLxxxxmxmnxLmnLL ) 1( , , )2( , )

13、 1 ( , )0()(Lxxxxnx)0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0(xLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxx) 1()2() 1 ()0()0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0() 1()2() 1 ()0(LhhhhxLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxxLyyyyccccxn的的L点循环卷积矩点循环卷积矩阵阵)5 . 2 . 3( )()()()(10nRmnxmhnyLLmLc【例例3.2.1】 ) 1( , , )2( ,

14、 ) 1 ( , )0()(Lxxxxnx1. 两个有限长序列循环卷积的定义两个有限长序列循环卷积的定义2. 时域循环卷积定理时域循环卷积定理三、循环卷积定理三、循环卷积定理)5 . 2 . 3( )()()()(MNmax LM)( , N)(10nRmnxmhny , nxlennhlenLLmLcmax )( , )(212211 , NN NNnxlenNnxlen)()()()(DFT21kXkXkXnxNL点循环卷积点循环卷积)()(DFT)()(DFT2211kXnxkXnxNN)()()()()()(101212nRmnxmxnxnxnxNNmN3. 频域循环卷积定理频域循环卷

15、积定理)()(1)()(1)(DFT1221kXkXNkXkXNnxNNNnxkXnxkXnxnxnx , NN NNnxlenNnxlen)(DFT)()(DFT)()()()(max )( )(221121212211四、复共轭序列的四、复共轭序列的DFT)()(DFTkXnxN)()(DFTkXnNxN10 , )()(DFTNkkNXnxN)()(IDFTnNxkXN五、五、DFT的共轭对称性的共轭对称性1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列)1623( )()(21)()1623( )()(21)(opepb.nNxnxnxa.nNxnxnx)13

16、. 2 . 3( 10 )()(aNnnNxnxepep)13. 2 . 3( 10 )()(aNnnNxnxopop)14. 2 . 3( 10 )()()(Nnnxnxnxopep任何有限长序列都可以表示成有限长共轭对称序列与有限任何有限长序列都可以表示成有限长共轭对称序列与有限长共轭反对称序列之和长共轭反对称序列之和2. DFT的共轭对称性的共轭对称性)()(21)(j)()(21)(nxnxnxnxnxnxir)19. 2 . 3( )()()(21)()(DFT21)(j DFT)18. 2 . 3( )()()(21)()(DFT21)(DFTkXkNXkXnxnxnxkXkNXk

17、Xnxnxnxopiepr(1) 将有限长序列将有限长序列x(n)表示为表示为)(j)()(nxnxnxir)20. 2 . 3( )()()(j DFT)(DFT)(DFT)(opepkXkXnxnxnxkXir有限长序列有限长序列xn实部的实部的DFT为为Xk的共轭对称分量，虚的共轭对称分量，虚部和部和j一起的一起的DFT为为Xk的共轭反对称分量。的共轭反对称分量。2. DFT的共轭对称性的共轭对称性)(j)(Imj)()(21)()(DFT21)(DFT)()(Re)()(21)()(DFT21)(DFTkXkXkXkXnNxnxnxkXkXkXkXnNxnxnxIopRep)(DFT)

18、(Imj)(j)(DFT)(Re)()22. 2 . 3( )(j)()(DFT)(opIpRIRnxkXkXnxkXkXkXkXnxkXe(2)将有限长序列将有限长序列x(n)表示为表示为10 , )()()(oppNnnxnxnxe)1623( )()(21)()1623( )()(21)(opepb.nNxnxnxa.nNxnxnx有限长序列有限长序列xn的共轭对称分量的的共轭对称分量的DFT为为Xk的实部，的实部，共轭反对称分量的共轭反对称分量的DFT为为Xk的虚部乘以的虚部乘以j。2. DFT的共轭对称性的共轭对称性3 有限长实序列有限长实序列DFT的共轭对称性的共轭对称性1-N ,

19、 , 1 , 0 , )()(kkNXkX)()( | )(| )(|kNkkNXkX，)()( )()( kNXkXnNxnx)()( )()(kNXkXnNxnx【例例3.2.2】利用利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个过计算一个N点点DFT，就可以计算出两个实序列，就可以计算出两个实序列x1n和和x2n的的N点点DFT。)(j)()(21nxnxnx)()()(n)DFTj(n)DFT)(DFTopep21kXkXkXxxnxN)(jDFT)(j DFT)()(21)()(DFT)()(21)(22op1epnxnxkNXkXkXnxk

20、NXkXkX)()(21j)(DFT)()()(21)(DFT)(2211kNXkXnxkXkNXkXnxkX六、离散帕塞瓦尔定理六、离散帕塞瓦尔定理(2.5.28) | )(|21| )(|22njdeXnx102102| )(|1| )(|NkNnkXNnx102101010101010102| )(|)()()(1)()()(1 )()(1| )(|1NnNnNnNkknNNkNnknNNkNknxnxnxWkXNnxWnxkXNkXkXNkXN证明：证明：3.3 频率域采样频率域采样miNnmWNNkknmN其它 0 1110)(由于由于NNinxiNnxnx)()()(所以所以)3

21、. 3 . 3( )( )()(nRiNnxnxNiN10 , )(IDFT)( , )(DFT)(NnkXnxnxkXNN mNkknmNjmNkknmNNkknNmkmNNkknNNkknNNNeNmxWNmxWWmxNWkXNWkXNkXnxnx10)(210)(1010101)(1)()(1)(1)(1)(IDFS)()(10 , )()()()(222NkenxenxzXkXnnkNjnnkNjezkNjnnznxzXnx)()( )(ZT频域采样定理：频域采样定理：假设序列假设序列xn的长度为的长度为M，只有当频率域采样点数，只有当频率域采样点数NM时时，才有，才有xNn=IDFT

22、Xk=xn，即可由频域采样序，即可由频域采样序列列Xk恢复原序列恢复原序列xn，否那么产生时域混叠现象。，否那么产生时域混叠现象。)3 . 3 . 3( )( )()(nRiNnxnxNiN3.4 DFT的应用举例的应用举例一、用一、用DFT计算线性卷积计算线性卷积二、用二、用DFT对信号进展谱分析对信号进展谱分析当当LN+M-1时，时，ycn=yln线性卷积与循环卷积的关系：线性卷积与循环卷积的关系：)()()()()()()()()()()(1010nRmnxmhnxnhnymnxmhnxnhnyLLmLcNmlyl(n)的长度为的长度为N+M-1yc(n)的长度为的长度为L)( )()(

23、)()()()( )()()( )()()()()( , , max101010nRiLnynyiLnymiLnxmhnRmiLnxmhnRiLmnxmhnyiLnxnxMNLLilclLmLiLmLLmiciL一、用一、用DFT计算线性卷积计算线性卷积证明：证明：)0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0(xLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxx) 1()2() 1 ()0()0()3()2() 1()3()0() 1 ()2()2() 1()0() 1 () 1 ()2() 1()0() 1()2() 1 ()0(L

24、hhhhxLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxxLyyyyccccxn的的L点循环卷积点循环卷积矩阵矩阵)5 . 2 . 3( )()()()(10nRmnxmhnyLLmLc ) 1( , , )2( , ) 1 ( , )0()(LxxxxnxLLLcCnxkXnhkHLkkXkHnykY)(DFT)()(DFT)(10 , )()()(DFT)(1)( , )()()()( , )(MNnylengthnxnhnyMnxlengthNnhlengthll)()( 1nynyMNLlc时，当)()()()()()(10nRmnxmhnxnhnyLLmLc时域循环时域循环卷积定理卷积定理

25、1. 用用DFT对连续时间非周期信号对连续时间非周期信号xt进展谱分析进展谱分析1 对对xt以采样间隔以采样间隔T采样得序列采样得序列 xn= xnT nnTjtjTenTxdtetxjX)()()(2 将序列将序列xn=xnT截断成从截断成从t=0开场长度为开场长度为Tp的有限长序列，的有限长序列，Tp=NT 3 为了数值计算，在频域也要离散化，一个周期为了数值计算，在频域也要离散化，一个周期Fs等间隔采样等间隔采样N点，点，每个样点间隔为每个样点间隔为 F，N=Fs/F，F=Fs/N=1/TN=1/Tp1011)()(NnnTjkenTxTjkX二、用二、用DFT对信号进展谱分析对信号进展

26、谱分析dejXtxdtetxjXtjtj)(21)()()()()()(10jNnnTjeXTenTxTjXsdejXnxnTj0)(21)(102)(NnknNjenxT)(DFTnxT 10111)(2)(NknTjkejkXnx1021)(1NknkNjsejkXNF1021)(NknkNjejkXF1021)(1NknkNjejkXNNF)(IDFT11jkXT图图3.4.6 用用DFT分析连续信号频谱的原理示意图分析连续信号频谱的原理示意图 用用DFT近似计算模拟信号频谱的计算步骤：近似计算模拟信号频谱的计算步骤： 1 首先确定用首先确定用DFT对模拟信号频谱进展近似计算的三个对模拟

27、信号频谱进展近似计算的三个参数，即频率分辨率参数，即频率分辨率F、 采样频率采样频率Fs、 记录时间记录时间Tp。 2 用已确定的用已确定的Fs对模拟信号采样。采样后得到时域离散对模拟信号采样。采样后得到时域离散信号为信号为xn=xat|t=nT=xanT。3 在计算机上调在计算机上调DFTFFT函数对信号函数对信号xn进展频进展频谱计算。谱计算。)(IDFT1)()(DFTT)(11jkXTnxnxjkX【例例3.4.2】对实时信号进展谱分析，要求谱线间距对实时信号进展谱分析，要求谱线间距分辨率分辨率F10Hz，信号最高频率，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间，试确定最小记录

28、时间Tpmin、最大采样间隔、最大采样间隔Tmax、最少的采样点数、最少的采样点数Nmin。假如。假如fc不变，要求谱分辨率不变，要求谱分辨率F增加增加1倍，倍，Nmin和和Tpmin是多少？是多少？sTsFTpp1 . 0 , 1 . 01011minsTsffTcs3max3102 . 0 , 102 . 0250021211500 , 50010250022minNFfFfNcs【例例3.4.3】用用DFT对模拟信号进展谱分析，设模拟信号对模拟信号进展谱分析，设模拟信号xat的的最高频率为最高频率为200Hz，以采样频率，以采样频率Fs=400Hz采样得到时域离散序列采样得到时域离散序列

29、xn=xanT，要求频率分辨率为，要求频率分辨率为10Hz。模拟信号频谱。模拟信号频谱Xaj如以下图所示，试画出如以下图所示，试画出Xej=FTxn和和Xk=DFTxn 谱线图，并标出每个谱线图，并标出每个k=0,20,40对应的数字频率对应的数字频率k和模拟频率和模拟频率fk的值。的值。2. 对连续时间周期信号的傅里叶级数的对连续时间周期信号的傅里叶级数的DFS逼近逼近2 将频域离散序列加以截断，截断长度为一个周期将频域离散序列加以截断，截断长度为一个周期N1 时域抽样时域抽样ktjkTtjkejkXtxdtetxTjkX111)()( , )(1)(101110111)()(NnnTjke

30、nTxTTjkXknTjkejkXnTx1)()(11021)()(NknkNjejkXnTx二、用二、用DFT对信号进展谱分析对信号进展谱分析102)(1NnknNjenxN)(DFS1nxNknkNjejkX21)(1021)(N1NNknkNjejkX)(IDFSN1jkX【例例】假设时域连续信号假设时域连续信号xt=x1t+x2t+x3t，其，其中中x1t=3sin30t， x2t=2sin40t， x3t=sin60t。假如用假如用DFT对对xt进展频谱分析，问采样频率进展频谱分析，问采样频率Fs和采样和采样点数点数N应如何选择，才能准确求出应如何选择，才能准确求出x1t、x2t、x3t的频率；的频率；(1) 按照你选择的按照你选择的Fs、N对对xt等间隔采样，得到等间隔采样，得到xn，用用DF