1.2求导数法则ppt课件

1、第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点

2、外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,(2)vuvuvu )(证证: 设设,

3、 )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1s

4、incos4(3xx)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x

5、2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因而,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf111例例3. 求反三角函数及指数函数的导数求

6、反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设设,arcsin xy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 那么所以2) 设, )1,0(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小

7、结小结:故在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:因为因为)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy故故例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则

8、可推广到多个中间变量的情形.例例4. 求下列导数求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明: 类似可得类似可得;sh)(chxx axxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax例例5. 设设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考虑考虑: 假设假设)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxe

9、f的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习练习: 设设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中例例6. 设设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx那么 )(arshx112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P96例17. 2shxxeex的反函数四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc

10、 )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf5. 初等函数在定义区间内可导,uyddxudd且导数仍为初等函数3. 反函数求导法则 )( xf ddxy或yxdd1 )(1yf1例例7. 求解解: :,1

11、111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设),0( aaaxyxaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导例例10. 设设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x2

12、1xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见 P95-96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?2114341xx2. 设设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,3. 求下列函数的导数求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln4. 设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.)