1.2定积分概念ppt课件

1、第七章第七章 函数的函数的(定定)积分积分2019097.1 7.1 定积分的概念定积分的概念 abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积可以看出，小矩形越多，矩形总面积越可以看出，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,

2、1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细0,max,21 nxxx 曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2

3、 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2求和求和iinitvs )(1 （3取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值设设函函数数

4、)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作乘积作乘积iixf )( ), 2 , 1( i二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在

5、在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,

6、ba上上(Riemann)可可积积. .0 )4(的的区区别别和和极极限限过过程程 n . )5(极限的区别极限的区别积分和的极限和函数的积分和的极限和函数的.,对对应应的的函函数数值值唯唯一一确确定定来来说说函函数数对对每每个个 x.,积积分分和和并并不不唯唯一一确确定定即即使使确确定定了了细细度度),(选选择择无无限限分分割割无无限限同同一一细细度度三、简单性质三、简单性质证证iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（可推广到有限多个函数的情况）（可推广到有限多个函数的情

7、况）性质性质1 1且且上上也也可可积积在在那那么么上上可可积积在在设设.,bagfbagf 证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2且且上也可积上也可积在在常数常数那么对任何那么对任何上可积上可积在在设设., , bakfkbaf babadxxfkdxxkf)()(则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( if ), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf. 0)(lim10 iinixf badxxf)(性质性质3 3性质性质4 4证证),(

8、)(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02dxx 02不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、几何意义四、几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴

9、上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在五、可积定理五、可积定理区间区间,ba上可积上可积. .六、求简单函数积分六、求简单函数积分例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等分，分点为等分，分点为nixi ，(ni, 2

10、, 1 )小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例3 3 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分点点 12, nqqq,典典型型小小区区间间为为,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq

11、 ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 证明证明nnnfnfnfn 21lim nnnfnfnfne21limlnnnnfnfnfn 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 分割

12、是将分割是将1 , 0n等分等分分分点点为为nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnfnfnfne21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnfnfnfn 21lim.10)(ln dxxfe因因为为)(xf在在区区间间1 , 0上上连连续续，且且0)( xf所所以以)(lnxf在在 1 , 0上上有有意意义义且且可可积积 , bafx dxF bF a 定理：（定理：（NEWTON-LEIBNIZ公式公式 假设假设f在在a,b可积，且存在原函数可积，且存在原函数F(x),若若(x)在在a,b上连续上连续 ,那么

13、那么01211:.,niixa xxxb xxn 111111nniiiiiiiniiiiF bF aF xF xFxxfxx baf xdx F bF a证明：对于等份的分割：证明：对于等份的分割： 12222212(1)lim 11. 1,(2)lim.12nnnnnnnnnnnnnn 112ln 1ln 1. ln 112ln 11. 1nnnnnnnnnn 1100ln 11ln 12ln2 1x dxxxx 12ln2 112lim 11. 1nnnennn 解解1）因而例求下列极限例求下列极限22222(2)lim.12nnnnnnnn 2221111lim.12111nnnnnn 12014dxx 七、小结七、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割