二次函数的图像与性质知识点及练习

1、第二节二次函数的图像与性质1 能够利用描点法做出函数yax2，y=a（x-h）2，ya（x-h）2+k和 yax2bxc图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质；2理解二次函数y ax2 bx c中 a、 b、 c对函数图象的影响。一、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a（x h）2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、 与 y轴的交点0， c 、 以及0， c 关于对称轴对称的点2h， c 、与 x轴的交点x1， 0 ，x2， 0 （若与 x轴没有交点，

2、则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.例 1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y x2 ， y -x2 ， y 2x2 ， y -2x2 ， y 2（ x-1 ） 2 的图像。一、二次函数的基本形式1. y ax2 的性质 ：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a0向上（ 0， 0）y轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0 时， y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 a0向下（ 0， 0）y轴x 0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时， y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最

3、大值0 2. y ax2 k 的性质 ：（ k 上加下减）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a0向上（ 0， k）y轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0 时， y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值ka0向下（ 0， k）y轴x 0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时， y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值k3. y a（ x-h） 2的性质 ： （ h 左加右减）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a0向上（ h， 0）直线 x=hx h 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最

4、小值0 a0向下（ h， 0）直线 x=hx h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 4. ya （x h）2 k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a0向上（ h， k）直线 x=hx h 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k a0向下（ h， k）直线 x=hx h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k 5. y ax2+bx+c 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a0向

5、上2b ， 4ac b直线b x2axb 时，y 随 x 的增大而增大；2axb 时，y 随 x 的增大而减小；2ax b 时，y 有最小值4ac b2 2a4a2a4aa0向下b 4ac b2 ，2a4a直线b x2axb 时，y 随 x 的增大而减小；2axb 时，y 随 x 的增大而增大；2a2x b 时，y 有最大值4ac b 2a4a1. 平移步骤：方法一 ： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2 k ， 确定其顶点坐标h ， k ； 保持抛物线y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h， k 处， 具体平移方法如下：y=ax2y=ax2+k(k>0)【或向下(k<

6、0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)22. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移 ” 概括成八个字“ 左加右减，上加下减”方法二 ： y ax2 bx c 沿 y 轴平移:向上(下)平移m个单位，y ax2 bx c变成y ax2 bx c m

7、 (或 y ax2 bx c m ) y ax2 bx c 沿 x轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax2 bx c变成y a(x m)2b(xm)c (或y a(xm)2b(xm)c)四、二次函数y a x h 2 k 与 y ax2 bx c的比较从解析式上看，ya xh 2k 与 y ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即ya xb2 4ac b2 ，其中hb ， k4acb22a 4a2a 4a六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称22y ax bx 关于 c x轴对称后，得到的解析式是y ax b

8、x c；22y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于 y轴对称22y ax bx 关于 c y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c；22y a x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称22y ax bx 关于原点对称后，得到的解析式是 cy ax bx c；22y a x h 关于原点对称后，得到的解析式是 ky a x h k ；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变例 1、抛物线2y= 2x 6x 1y=2x 2 6x 1对称轴顶点坐标开口方向位

9、置增减性最值例 2、已知直线y= 2x 3 与抛物线y=ax2 相交于A、 B 两点，且A 点坐标为（3， m） （ 1）求a、 m 的值；（ 2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（ 3） x取何值时，二次函数y=ax2中的 y 随 x 的增大而减小；（ 4）求A、 B 两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积例 3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：1） y=ax2经过（1， 2） ；12） y=ax2与y= 2 x2的开口大小相等，开口方向相反；13） y=ax2与直线y= 2 x 3交于点（2， m） 2例 4、 试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线

10、的解析式并写出对称轴和顶点坐标。2（ 1 ）右移 2 个单位； （ 2）左移个单位； （ 3）先左移1 个单位，再右移4 个单位。3例 5、把抛物线y=x2+bx+c 的图象向右平移3 个单位，在向下平移2 个单位，所得图象的解析式是y=x2 3x+5，试求b、 c的值。训练题 :1 抛物线y= 4x2 4 的开口向，当 x= 时， y 有最值， y= m2 m2当m= 时，y=（ m 1） x 3m 是关于 x 的二次函数3抛物线y=3x2上两点A（x，27） ，B（2，y），则 x= ， y= m2 m4当m= 时，抛物线y=（ m 1） x 9 开口向下，对称轴是在对称轴左侧， y 随

11、x 的增大而；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而5抛物线y=3x2与直线y=kx 3 的交点为（2， b） ，则 k= ， b= 6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（1 ，2） ，则抛物线的表达式为7在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x轴对称的是（）112222A y= 2xB y= 2 xC y= 2xD y= x8抛物线，y=4x 2， y= 2x2的图象，开口最大的是（）1222A y= 4 xB y=4xC y= 2xD无法确定119对于抛物线y= 3x2 和 y= 3 x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）33A 两条抛物线关于x 轴对称B 两条抛物

12、线关于原点对称C两条抛物线关于y 轴对称D 两条抛物线的交点为原点11已知函数y=ax2的图象与直线y= x 4 在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（）A 4B 21512. 已知二次函数y= 4 x2 2 x 6，当x=x 的增大而减小11C2D 4时， y 最小 =；当 x 时， y 随13抛物线y=2x 2向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线表达式为14若二次函数y=3x2+mx 3 的对称轴是直线x 1，则m。15当n ， m 时，函数y （m n）xn （m n）x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口.16已知二次函

13、数y=x2 2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0.17. 二次函数y=3x 2 6x+5，当x>1 时， y随 x 的增大而；当 x<1 时， y 随 x 的增大而；当 x=1 时，函数有最值是。18. 如果将抛物线y=2x 2 1 的图象向右平移3 个单位，所得到的抛物线的关系式为。19. 将抛物线y=ax2+bx+c 向上平移1 个单位，再向右平移1 个单位，得到y=2x 2 4x 1 则a， b， c.20. 将抛物线y ax2向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位，移动后的抛物线经过点（3， 1） ，那么移动后的抛物线的关系式为_.21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图像，?观察图像写出y2 y1 时，x 的取值范围22、 函数y=ax2 (a 0)的图像与直线y=-2x-3 交于点 ( 1,b )1