高三三角函数一对一讲义

1、XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字:学员编号：学员姓名： 学 段：高三课时数： 第次课 科 目：数学学科教师：张老师班主任：课程日期及时段年月0_ 时分 时分课程主题三角函数课程目标会利用三角函数性质及其公式变形求解函数值垂/难点三角函数公式、性质、恒等变换易错点三角函数公式变换求值教学内容一、导入目录1、任意角的概念与弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的图像与性质4、三角恒等变换5、课堂习题与小结二、课前自主学习复习学过的角度的知识三、知识梳理+经典例题知识点一：任意角的概念与弧度制1、将沿X轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角。逆时针旋转为正角，顺时针

2、旋转为负角，不旋转为零角O2、同终边的角可表示为H2 =4+人360 (keZ) x轴上角：布38叫(丘Z)，轴上角：.a|a=90 +G18。(人Z)3、第一象限角：阂° +入36。0vav9(y+Z360°(攵 eZ)第 一 象限角.|90 +攵360° va v 180 + 攵360°(Z eZ) 第二象限角.回18° +6360° v a v 270 +k360°(攵e Z)第四象限角:.同 270 +6360°<cv360 + 攵360°(k£Z)4、区分第一象限角、锐角以及小于

3、9。的角第一象限角：回° +入360° 锐角：a0<a<90<a<90 +e360°(eZ)小于90的角：同。<9。a7r . ,a j . + K7C< < + K7r422f . 5437tk = 1, & a & ,若。为第二象限角，那么彳为第几象限角？+ 2k冗 < a <tt + 2k冗 2, c4九k = 0, <a <, 42 a所以5在第一、三象限弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1%/.7、1° = «0.017451 =

4、 * 57.30° = 57° 18'角度与弧度的转化： 180万8、角度与弧度对应表:角度0°30°45°60°9(r120°135,150°180°360°弧度0nn7nn2;r T3冗T5乃 T7C2乃9、弧长与面积计算公式S=LxR = LaxR?弧长：/ = axH；面积： 22,注意：这里的a均为弧度制.知识点二：任意角的三角函数. VXV， 一sina = cosa = tan a = 1 v）1、正弦： 一；余弦 r ;正切 x/ ,y其中5）'）为角a终边上任意

5、点坐标， 2、三角函数值对应表：3、三 数在限中度030°45°6090°120135。150°180270°360°角函 各象 的符弧度0nn7nTn72乃 T3孔T5汽T713/r T2乃sin a0£ 2显 2小 Ti且 2正 2£ 2010cos a1且 2在 220_£-2_V|2-101tana0走 31无-130无0口诀：正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全S t C” ）一 全金色前程始于博学金色梦想全力拼搏/ > 0, y > 0第一象限:sina>0, cosa&

6、gt;0, tana>0,第二象限:sina>0, cosa<0, tana<0,第三象限:.x < 0, y < 0sina<0, cosa<0, tana>0,第四象限:sina<0, cosa>0, tana<0,4、三角函数线设任意角。的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P（x，,'）， 过夕作x轴的垂线，垂足为“；过点41，。）作单位圆的切线，它与角。的终边或其反向 延长线交于点T."由四个图看出：当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段= 于是有XX教育，让每个孩子更优秀!x

7、 xcos a = = = x = OMr 122=丝* =. x OM OA我们就分别称有向线段AT为正弦线、余弦线、正切线。5、同角三角函数基本关系式 sin- a + cos' a = 1sin a.tan a = tan acot a = 1cos a(sin a + cos af = l + 2sinacosa (sin cr-cos a)2 = l-2sinacosa (sina + cosa , sin a cose , sin a cose , 三式之间可以互相表示) 诱导公式it兀+ a口诀：奇变偶不变，符号看象限（所谓奇偶指的是2中整数的奇偶性，把。看作锐角）sin

8、(+ a)= <(一 l)%osa, 为偶数+i(一 1) 2 sin a, 为奇数曹皿，为偶数°吟+小 （-1） 2 cosa,"为奇数.,公式（一）：a与2+ 2丘,（kwZ）sin(a + 2k九)=sin a . cos(a + 2k兀)=cose . tan(a + 2k九)=tan a.公式（二）：a与一asin(-a) = "sinacos(-a) = cosa . tan(-a) = "tan(z.公式（三）：a 与 7r+a金色前程始于博学金色梦想 全力拼搏1sin(/r + a) = -sinacos( + a) = -cosa

9、 . tan(乃+<z) = tane公式（四）：XX教育，让每个孩子更优秀!sin(4-2)= sinc . cos(-a) = -cos<z . tan(/r-2)= -tana.公式（五）：a与卜sin + a =cosa(2)cos 任 + 小sina(2)公式（六）：,与卜3万+ a。与2.公式（七）金色前程始于博学金色梦想 全力拼搏13冗.公式（八）：a与委一“知识点三：三角函数的图像与性质1、将函数户sinx的图象上所有的点，向左（右）平移同个单位长度，得到函数尸sin（x+0的图象；再将函数）' = sin（x+9）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

10、£倍（纵 坐标不变），得到函数ksin（5+8）的图象；再将函数）' = sin®x+9）的图象上所有点的纵 坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数）' = Asin（s:+0的图象。2、函数 y = Asin（5+°）（A>0M>0）的性质：T _2 九1 _ 67振幅：A;周期：=丁；频率：，=7 =万；相位：s + cp；初相：夕。3、周期函数：一般地，对于函数/（外，如果存在一个非零常数丁，使得定义域内的每一 个X值，都满足”x+7） = /（x）,那么函数就叫做周期函数，7叫做该函数的周期.=Y AWT4、），=

11、 Asin（5 + 9）对称轴：令2,得 3k7T-（p对称中心：8+=k冗，得一 0(±g,O)(&wZ)cok7t-(D(2)y = Acos¥ + e)对称轴：今 8 +(p = ki,得 口K7t + - -（pK7r + （pcox +（p = kfr + x = （,0）（k e Z）对称中心：2,得 G ,3;周期公式：7 _ 2万函数y = Asin（5 +8）及），= 4cos（s + e）的周期 同（A、3、。为常数，且A芋0）.T =函数y = Atan（5 + °）的周期 同 、3、。为常数，且A芋0）.5、三角函数的图像与性质表格

12、y = sinxy = cosxy = tanx图 像定 义 域RRxxk7t + .k&z 2值 域ER最 值当x = 2攵乃+ 9 （女wZ）时，当 x = 2ki(k eZ)时，既无最大值也无最小值%ax = 1 :当 = 2上左一/(keZ)时，Win = "I-）温工=1；当x = 2A乃+4 （丘 z）时，=-1.周 期 性2%2%7t奇 偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在(在(- - + 2k, + 2k7r22一kwZ)上是增函数；7T ,37r c f+ 2k 乃 s + 2k/rL22JkwZ)上是减函数.在一乃+2女乃,2攵乃（keZ） 上是增函数；在

13、2攵4,2攵万+乃（k eZ） 上是减函数.在kn，攵乃+ 一.22）（k£Z）上是增函数.对 称 性对称中心(hr,0)(% eZ)对称轴x =+eZ)对称中心/_ 、krr + 三,0 (k e Z)2 )对称轴x = k%(A eZ)（k九 ）对称中心,0 （攵eZ）无对称轴n 37r6、五点法作）, = Asin（5 + p）的简图，设，=3+夕，取0、彳、乃、彳、2%来求相应x的 值以及对应的y值再描点作图。7、 y = Asin（Gr +（p）的的图像第一种客换：图象向左（9 > 0 ）或尸smx向右vO）平移个单启y = sin(x + ")1>

14、y = sm(6ir + (p)纵坐标伸长（A>1 ）或缩短（O<A<1 ）到原来的A倍第小变换：横坐标不变y = /sin(6 + 0)1y - sin x横坐标伸长（0<69<1 ）或缩短（。>1）到原来的K倍r_ 小> y - oiii （X4V纵坐标不变横坐标伸长（0 </< 1）或缩短（> 1）到原来的 纵坐标不变y = sin(w+o)y = A sin3： + 9)图象向左（9>0）或向右（0<0）平移回个单位1CD纵坐标伸长（A>1 ）或缩短（O<A<1 ）到原来的A倍 横坐标不变8.函数

15、的变换:（1）函数的平移变换尸/（幻-y = /（x±）m>0）将）' = /*）图像沿X轴向左（右）平移4个单位（左加右减）y = /（x）f y = /（x）土地>0）将>' = /"）图像沿）'轴向上（下）平移入个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：y = /（x）f y"（卬>。）将> = /"）图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍 （卬>1缩短，。<卬<1伸长）=a/（x）（a>o）将）=/（、）图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍 （A>1伸长，0VAV1缩

16、短）（3）函数的对称变换：y=/）f y=T）将丁=/（、）图像绕y轴翻折180。（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于X轴对称）y =），= -/*）将y = /（x）图像绕x轴翻折180° （整体翻折）（对三角函数来说：图像关于轴对称）y "（x） - y = /（W）将），=/（a）图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕 ' 轴翻折到左侧（偶 函数局部翻折）丁 = |/（幻|保留），= /&）在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻 动）知识点四：三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin（a + P） =siii<zcos/

17、7 + sinacos/7 sin(tz 4)=sinacosy0-siii<zcos/7cos0 +夕)=cosacos/?-sinofsin pcos-0 = cosacos/? + sinasin ptan(cr + /7)=tan a + tan J31 - tan a tan p=>tan a +tan/? = tan (tz+/7)(l-tana tan/?)/ c、 tan a - tan Z?tan(cr 一,)=-1 + tan cr tan p-> tana-tan/? = tan(a-77)(l + tanatan/7)asna+bcosa - V?+F

18、sin(a + 8)(其中，辅助角夕所在象限由点("，)所在的象限决定, . babsin (p = . ,cos (p = : Jan(p = 4+b2>la2+b2。,该法也叫合一变形).1 + tan 0n 41 - tan,汽 八、=tcin( + 6) = tcin( 0)1 - tan41 + tan 04 2、二倍角公式XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育，让每个孩子更优秀! sin 2a = 2sinqcosacos2a = cos + tair a - sin2 a = - 2sin2 a = 2cos2 a -1-2 tan atan 2a =-l-tair

19、”3.降赛公式:) l + cos2。 cos" a =2.)1 -cos2«sin"« =24.升赛公式1 + cosa = 2 cos2 2l±sin6z = (sm ±cos) 22. a asina = 2sincos22l-cosa = 2sin2 21 = siir cr + cos2 a5.半角公式（符号的选择由2所在的象限确定），呜=±1 - cost/acos = ±-2 V+ COSCIatan = ±21-cos” sin 671 -COSrt1 + cos。 l + cos

20、1; sin a金色前程始于博学金色梦想 全力拼搏16.万能公式:2tan 2 sina =-1-tair 2 coscr =1 + tair 22tan tan a =2_l-tan2 27.三角变换: 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵 活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的 恒等变形函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：4sin8 + cos8 =、/a2sin(9 + *)其中十 五 十匕匕也0. y = sinx+V3cosx .= Vl

21、2+(V3)2(-=sin x + 、- = cosx)J+( - 2逃尸=2(gsinx +cosx) = 2(sinxcosy+ cosxsin y) = 2sin(x + y)(3)注意“凑角”运用："(a+0”, a = n,*(2H)2、匹停 sin(a +/?) = -| sin(/7_f) = |cos + f) = ?例如：已知 4,5,413,则 4(4)常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别 是常数“1”可转化为“ sii/a + cos?。”(5)赛的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幕处理，有时需要升寐例如： 常用升幕化为

22、有理式。(6)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。(7)结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项， 或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。(8)消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法(9)思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选 择更合适、简捷的方法去解题目。(10)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sina + cosc/ , sinacosasinccosc,已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8 .函

23、数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：），= "sinx + （或acosx +力型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论尸sinx +反osx型：引进辅助角化成奇sin（x +。）再利用有界性（y = asin2x + bsinx + c.配方后求二次函数的最值，应注意卜山目”的约束asinx + by csinx + d型:反解出sinx,化归为1sm解决），= a（sinx + cosx） + sinx-cosx + c型：常用到换元法：f=sinx + cosx,但须注意，的取值范ffl：9 .三角形中常用的关系：sin A = siii(B + C)cosA = -c

24、os(B + C)Asin = cos2sin 2A = -sin 2(B + C)cos2A = cos2(B + C)“ kc L sin 15。= cos 75。= C 二仅 sin 75。= cos 15。=巡”四10 .常见数据：44tanl50 = 2-V3 tan750 = 2 + V3课堂习题:1 . （08 全国一 6） y = （sinx-cosx）2-1是（）A.最小正周期为2兀的偶函数 B.最小正周期为2兀的奇函数C.最小正周期为花的偶函数D.最小正周期为兀的奇函数2 .（08全国一 9）为得到函数），=cos x + f的图象，只需将函数y = sinx的图像（） i

25、 3）A.向左平移乙个长度单位B.向右平移四个长度单位66C.向左平移五个长度单位D.向右平移四个长度单位66 （08 全国二 1）若sine vO且tane>0是，则。是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4. （08全国二10）.函数/（戈）=$加入一（：0§工的最大值为（）A.1 B.%/2 C.柩D. 25. （08安徽卷8）函数），= sin（2x + g）图像的对称轴方程可能是（）乃A. x = 6B. x = C. x =126C九D. x =124五、归纳总结认真思考下列问,题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“ J”2

26、、我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“X，XX教育，让每个孩子更优秀!4六、课后作业L（08福建卷7）函数户cosx（xCR）的图象向左平移三个单位后，得到函数y得的图象，则§&）的解析式为（）2A. -sinxB. sin-vC. -COS-Y D. COSX2. (08 广东卷 5)已知函数/(x) = (l + cos2x)siif x,x e R ,则/(x)是(A、最小正周期为4的奇函数C、最小正周期为4的偶函数B、最小正周期为巳的奇函数 2D、最小正周期为三的偶函数 23. （08海南卷11）函数/（x） = cos2x + 2sinx的最小值和最大值分别

27、为（A. - 3, 1B. -2, 23C. -3,2D. -24. （08湖北卷7）将函数y = sin（x 8）的图象尸向右平移巳个单位长度得到图象了,若尸的一条对称轴是直线 3x = £,则8的一个可能取值是（）1A. 12B. - -12° 11C. 7112口 IID. 一一 7t12金色前程始于博学金色梦想 全力拼搏15. (08江西卷6)函数/3) = 一小一: sinx + 2sin 2A.以4万为周期的偶函数C.以24为周期的偶函数B.D.以24为周期的奇函数以4万为周期的奇函数6 .若动直线x = 4与函数/（x） = sinx和g（x） = cosx的

28、图像分别交于M, N两点，贝”用叫的最大值为（）A.1B. 72 C. JJ D. 27. （08山东卷10）己知cos,2AA. -5B.空57T a -6)C.8. (08陕西卷1) sin3300等于(+ sinaA.=/3 ,则sin 5D.-5一正2In a + 6的值是（1B. 21C. - D.29. （08 四川卷 4） （tanx+cotx）cos2x= （ ） A. tanx B. sin% C. cosx D. cotx10. （08天津卷6）把函数y = sinx（xeR）的图象上所有的点向左平行移动三个单位长度，再把所得图象上所有点的 3横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（） 2A. y = sin 2x - - , x e R '3 J11.12.B. y = sin/x 冗- + 2 6兀IC. y = sin 2x + L