二次函数新定义问题

1、专题训练(四 ) 与二次函数相关的新定义问题? 类型之一应用型：阅读 理解 建模 应用4 ZT 11 2017·巴中如图4 ZT 1， 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆” ， 点A， B， C， D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点 ， AB 为半圆的直径， 且抛物线的函数表达式为y x2 2x3， 则半圆圆心M 点的坐标为.2 一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时， 我们称该函数为“偶函数”如果二次函数y x2 bx 4是“偶函数”， 该函数的图象与x轴交于点A和点B， 顶点为 P， 那么 ABP的面积是3 2017 ·余杭区一模如果两个二次函数的图象

2、关于y 轴对称 ， 我们就称这两个二次函数互为“关于 y 轴对称二次函数”， 如图 4 ZT 2 所示 ， 二次函数y1 x22x 2 与y2 x2 2x2 是“关于 y 轴对称二次函数”(1)直接写出两条图中“关于 y 轴对称二次函数”图象所具有的特点(2)二次函数y 2(x 2)21 的“关于 y 轴对称二次函数”表达式为 ； 二次函数ya(xh)2 k的“关于 y轴对称二次函数”表达式为 (3)平面直角坐标系中， 记“关于 y 轴对称二次函数”的图象与 y 轴的交点为A， 它们的两个顶点分别为B， C， 且BC6，顺次连结点A， B，O， C 得到一个面积为24 的菱形 ，求“关于 y

3、轴对称二次函数”的表达式4 ZT 2? 类型之二探究型：阅读理解 尝试 探究4 若抛物线y ax2 bx c过定点 M(1， 1)， 则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式小敏写出了一个答案：y 2x2 3x 4， 请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线yx2 2bx c 1 ， 求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式请你解答5 2017 ·衢州定义：如图4ZT3， 抛物线yax2bxc(a0)与 x 轴交于A，B两点 ， 点 P 在该抛物线上(点 P 与 A， B 两点

4、不重合)， 若 ABP 的三边满足AP2 BP2 AB2，则称点 P 为抛物线y ax2 bx c(a 0)的勾股点(1)直接写出抛物线yx2 1 的勾股点的坐标；(2)如图， 已知抛物线C：yax2bx(a0)与x轴交于A，B 两点 ， 点 P(1，3)是抛物线 C 的勾股点， 求抛物线C 的函数表达式；(3)在 (2)的条件下， 点 Q 在抛物线C 上 ， 求满足条件S ABQ S ABP的点 Q(异于点 P)的坐标4 ZT 326 2017 ·嵊州市模拟在平面直角坐标系中， 我们把直线y ax c 称为抛物线y ax bx c 的生成线， 抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成

5、点， 例如：抛物线y x2 2 的生成线是直线yx2，生成点是（0，2）和（1 ， 1）（1）若抛物线y mx2 5x 2的生成线是直线y3x n， 求 m 与 n 的值（2）已知抛物线yx23x3 如图 4ZT4所示 ， 若它的一个生成点是（m，m3）求 m 的值若抛物线yx2pxq 是由抛物线yx23x3 平移所得（不重合），且同时满足以下两个条件：二是若抛物线yx23x3的生成点为点A，B，抛物线yx2pxq的生成点为点C，D， 则 AB CD .求 p 与 q 的值4 ZT 427 2017 ·随州在平面直角坐标系中， 我们定义直线y ax a 为抛物线y ax bx c(a

6、，b， c 为常数 ， a 0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上， 另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y23x243x23与其“梦想直线”交于A， B 两点(点A在点 B33的左侧 )， 与 x 轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 ， 点 A 的坐标为 ， 点 B 的坐标为(2)如图4 ZT 5，M 为线段 CB 上一动点， 将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为N ， 若 AMN 为该抛物线的“梦想三角形”， 求点 N 的坐标(3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时， 在该抛物线的“梦想直线”上 ， 是否存在

7、点F，使得以点A， C， E， F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点E， F 的坐标；若不存在， 请说明理由4 ZT 5? 类型之三概括型：阅读 理解 概括 拓展8 2017 ·郴州设a， b 是任意两个实数， 用max a， b表示 a， b 两数中较大者， 例如：max 1， 11， max1 ， 2 2， max4， 3 4， 参照上面的材料， 解答下列问题：（1）max5 ， 2 ， max0 ， 3 ；（2）若max3 x 1， x 1x 1， 求 x 的取值范围；（3）求函数yx22x4 与yx2 的图象的交点坐标， 函数yx22x4 的图象如4 ZT

8、6 所示 ， 请你在图中作出函数yx 2 的图象 ， 并根据图象直接写出max x2， x2 2x 4的最小值4 ZT 6详解详析1 （1， 0）解析 解x22x3 0 得x11，x23，所以抛物线与x轴交于点A（1，0）， B（3， 0）， 所以AB 4， 所以点 M 的坐标为（1， 0）2 8 解析 二次函数y x2 bx 4 是“偶函数”，2× 10，b 0，函数表达式为y x2 4，令y 0， 则 x2 4 0，解得x1 2， x2 2， A（ 2， 0）， B（2， 0）， AB 2 （ 2） 4.令 x 0， 则y4，点 P 的坐标为（0， 4），ABP 的面积21

9、15; 4× 4 8.3 解： (1)顶点关于y轴对称 ， 对称轴关于y轴对称(答案不唯一)(2)y 2(x 2)2 1 y a(x h)2 k(3)(答案不唯一)如图， 由 BC 6， 顺次连结点A， B， O， C 得到一个面积为24的菱形 ，得OA 8， 点 A 的坐标为(0， 8)， 点 B 的坐标为( 3， 4) 设左侧抛物线的函数表达式为y a(x 3)2 4， 将点 A的坐标代入， 得9a 4 8，4解得a，9故y4(x3)24，其“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为y4(x3)24.99根据对称性， 开口向下的抛物线也符合题意，y 轴对称二次函数”的表达式为 y(x

10、3)2 4和y(x 3)2 4.994 解： (1)答案不唯一， 合理即可(2)因为抛物线的函数表达式可化为y(x22bxb2)b2c1(xb)2b2c1， 所以此定点抛物线的顶点坐标为(b， b2 c 1)因为抛物线过定点M(1， 1)， 将其代入函数表达式可得12bc11，解得c12b，则顶点纵坐标b2c1b212b1(b1)21， 所以当b1 时 ，b2c1 的值最小为1， 此时c12b1 2× 11.故抛物线的函数表达式为yx2 2x.5 解： (1)抛物线yx2 1 的勾股点的坐标为(0， 1)(2)抛物线y ax2 bx过原点 ， 即点A(0， 0)如图 ， 过点 P 作

11、PG x轴于点 G.点 P 的坐标为（1 ，3），AG1 ，PG3，PAAG2PG212（3）22， PAG 60° ， AB 2PA 4，点 B 的坐标为（4， 0）设抛物线C 的函数表达式为y ax（x 4），将 P（1，3）代入得a3，3（3）当点Q 在 x 轴上方时， 由S ABQ S ABP 知点 Q 的纵坐标为3，则有3x2 4 3x3，33解得x1 3，x21 ，点Q 的坐标为（3，3）；当点 Q 在 x 轴下方时， 由S ABQ S ABP 知点 Q 的纵坐标为3，则有33x2 4 3 3x3，解得x1 27， x2 27，点 Q 的坐标为（27， 3）或 （27，

12、3）综上 ， 满足条件的点Q 有 3 个 ， 其坐标为（3，3）或 （27， 3）或 （27， 3）6 解：（1） 抛物线ymx25x2的生成线是直线y3xn， m 3， n2， n 2.（2）抛物线y x2 3x 3 的一个生成点是（m， m 3），2 m 3 m 3m 3，整理 ， 得 m2 4m 0，解得m 0 或 4.抛物线yx2pxq 是由抛物线yx23x3 平移所得（不重合），且这两个抛物线具有相同的生成线， q 3.抛物线yx23x3与它生成线yx3 的生成点为（0，3），（4，7），AB2（40）2（73）232.抛物线yx2px3与它生成线yx3 的生成点为（0，3），（1

13、p，4p），CD2（1p0）2（4p3）22（1p）2. AB CD， 2（1 p）2 32， p 5 或 3.抛物线y x2 px 3 与抛物线y x2 3x 3 不重合 ， p3 不合题意， 应舍去 ， p 5.7 解：（1） y2 3x 2 3 （ 2， 2 3） （1 ， 0）33（2）抛物线与x轴负半轴交于点C， C（ 3， 0）过点A作 AG y轴 ， 垂足为 G.当点 N 在 y 轴上时 ， AMN 为“梦想三角形”设N（0，n）， A（ 2，23）， C（3， 0）， AC13， ANAC13.在RtAGN中 ， AG2GN2 AN2，AG 2， GN|n23|， 4 （n 2

14、3）2 13，解得n 2 3 3 或n 2 3 3.设 M（m， 0），当n233 时，在RtMNO 中，（233）2m2（m3）2，解得m223；当n233 时，在RtMNO 中，（233）2m2（m3）2，解得m223.3< m 1， m 2 23不合题意， 舍去m223，此时n233， N(0， 23 3)；当点 M 在 y 轴上时 ， AMN 为“梦想三角形”，此时点 M 与点 O 重合 ， 在 Rt AGM 中 ， AG 2， GM 23， AMG 30 ° ，GM 3 AMC AMN NMB 60° .过点 N 作 NP x轴于点P， 在 Rt NMP 中 ， MN CM 3， NP 3 3， OP 3， N 3， 3 32222.综上所