二次函数常用公式、结论及训练

1、LPG»-Gtr；初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练第10页共6页一、常用公式或结论(1)横线段的长 =x大-X小=xx左=横标之差的绝对值(用于情况不明)。纵线段的长=y大沙小=丫上-y下=纵标之差的绝对值(用于情况不明)。(2)点轴距离：点P(X。，yo)到X轴的距离为|y0|,到Y轴的距离为|x。(3)两点间的距离公式：若 A (Xi,yi), B(X2,y2),则 AB= J(x1 x2)2+(y1 一 y2)2(4)点到直线的距离：点P(X。，yo)到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便 计算)的距离为：d Ax°_ Byo_

2、C A2 B 2(5)中点坐标公式：若A(xi,yi), B (X2,y2),则线段AB的中点坐标为(上二，么)22(6)直线的斜率公式：若 A (xi,yi), B (x2,y2)% 双2),则直线 AB 的斜率为：kAB = *j, (xi 双2)x1 一(7)两直线平行的结论：已知直线 li： y=kix+bi ; I2： y=k2X+b2右 I1/I2,则 ki=k2；右 ki=kz,且 bi 为2,则 lil2。(8)两直线垂直的结论：已知直线 li： y=kix+bi ; I2： y=k2X+b2右 li2,则 ki?k2 =-i ；若 ki?k2 =-i ,则 li2(9)直线与

3、抛物线(或双曲线)截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n与抛物线 y=ax2+bx+c (或双曲线 y=m/x)截得的弦长公式是：AB= 41 +k2 Xi X2 = Ji + k2 (xi +X2)2 4x1X2证明如下：设直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c (或双曲线y=m/x)交于A (xi, yi),B(X2, y2)两点，由两点间的距离公式可得：AB= J(x1 -x2)2 +(y1 -y2)2 ,因为 A (x1, y1) ,B (x2, y2)两点是直线 y=kx+n 与抛 物线抛物线y=ax2+bx+c (或双曲线y=m/x)的

4、交点，所以A (xi, yi) ,B(X2, y2)两点也在直线 y=kx+n 上,yi=kxi+n, y2=kx2+n,yi-y2= (kxi+n) (kx2+n) =kxi-kx2=k(X1-X2), AB= ：(月x2)2 +k2(x1 -x2)2 =。(1 +k2)(x1 -x2)2 = 111 + k2 * x1 - x2=.1 k2 (x1 x2)2 -4x1x2而Xi, X2显然是直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c (或双曲线y=m/x)组成方程组后，消去y (用代入法)所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理Xi+X2 , XiX2可轻松求出，进而直线与抛物线

5、(或双曲线)截得的弦长就 很容易计算或表示出来。(I0)由特殊数据得到或联想的结论：已知点的坐标或线段的长度中若含有Y2J3等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若 有特殊角出现，那很多问题就好解决了。还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若K= 土心，则直线3与X轴的夹角为300 ；若仁士1；则直线与X轴的夹角为450 ；若仁士正，则直线与X轴的夹角为600教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。二、基本公式或结论训练 破解函数难题的基石(一)横线段

6、的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=*大-x小(1)若 A (2,0), B (10,0 ),贝U AB=-。(2)若 A (-2,0 ), B (-4,0 ),则 AB=-。(3)若 M (-3,0 ), N (10,0 ),则 MN-。(4)若 O (0,0 ) , A (6,0 ),则 OA二。(5)若O (0,0 ) ,A (-4,0),则 OA=。(6)若O (0,0),A(t,0),且 A在。的右端，则OA二一。(7)若O (0,0),A(t,0),且 A在。的左端，则OA=- o(8)若 A(-2t,6),B(3t,6), 且 A在 B 的右端，则 AB二。(9)若 A

7、(4t,m) ,B(1-2t,m), 且 B在 A 的左端，则 AB=-(10)若 P (2m+3,a) ,M(1-m,a),且 P在 M的右端，则 PM=注意：横线段上任意两点的 y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。(二)纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度二丫大-y小】。(1)若 A(0,5) , B (0,7),则 AB=。(2)若 A (0, -4), B (0, -8),则 AB=-。(3)A 92), B (0,-6),贝U AB=(4)A 90), B (0,-9),则 AB=(5)A(0,0) , B(0,-6)(6)O(0,0) , A(0,t),

8、且A在。的上端，则OA=-(7)O (0,0 ), A (0,t),且A在O的下端，则OA=(8)A (6, -4t),B(6,3t), 且 A在 B 的上端，则 AB=(9)若 M (m,1-2t),N(m,3-4t), 且 M在 N 的下端,则 MN-。(10)若 P (t,3n+2),M(t,1-2n),且 P在 M的上端，贝U PM=。注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之 x标相等的任意两个点都在纵线段上。(三)点轴距离：一个点(x示，y标)到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值(即y标)，至1J y轴的距离等于该点的x标的绝对值(即x标|)。(1)点(-4,-3)到x轴的距离为，

9、到y轴的距离为。(2)若点A (1-2t, t2+2t-3)在第一象限，则点 A到x轴的距离为一一，到 y轴的距离为。(3)若点M (t, t2+4t+3)在第二象限，则点M到x轴的距离为一到y轴的 距离为 。(4)若点A (-t,2t-1)在第三象限，则点 A到x轴的距离为,到y轴的距离为。(5)若点N (t , -t 2+2t-3)点在第四象限，则点 N到x轴的距离为，到y轴的距离为。(6)若点P (t ,t 2+2t-3)在x轴上方，则点P到x轴的距离为 。(7)若点Q(t, t2-2t-6 )在x轴下方，则点 Q到x轴的距离为 。(8)若点D(t, t2+4t-5 )在y轴左侧，则点

10、D到y轴的距离为 。(9)若点E(n, 2 n+ 6)在y轴的右侧，则点E到y轴的距离为。(10)若动点P ( t , t2-2t+3 )在x轴上方，且在y轴的左侧，则点 P到 x轴的距离为 ,至4丫轴的距离为 。(11)若动点P ( t , t2-2t+3 )在x轴上方，且在y轴的右侧，则点 P到 x轴的距离为 ，至4丫轴的距离为 。(12)若动点P ( t , t2-2t+3 )在x轴下方，且在y轴的左侧，则点 Px轴的距离为 ，至4丫轴的距离为 。(13)若动点P ( t , t2-2t+3 )在x轴下方，且在y轴的右侧，则点 P到 x轴的距离为 ，至4丫轴的距离为 。注意：在涉及抛物线

11、，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一 母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域(例如：动点P在抛物线y = x2-2x+3上位于x轴下方，y轴右侧的图象上运动),以便准确写生动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应稿(或y标)的相反数，第6页共6页还是其本身。(四)中点坐标的计算：若【A (xi,y1)，B(X2,y2),则线段AB的中点坐标为()】2,2(1)若 A (4, 3 ) , B (6, 7),则 AB 中点为。(2)若M (0, -6), N (6, -4),则MN的中点坐标为。(3)若P (1,-3), Q (1,1),则PQ的中点坐标为。23 2(4)若

12、A(1,2),B(-3,4), 且B为AM的中点,则 M点的坐标为(5)若A(-1,3),B(0,2), 且A为BP中点，则P点坐标为。(6)点P ( 5,0 )关于直线乂 = 2的对称点的坐标为 。(7)点P (6,0)关于直线乂= 1的对称点的坐标为 。(8)点P (6,2)关于直线乂= 3的对称点的坐标为 o(9)点Q ( 4,3 )关于直线x= 3的对称点的坐标为 。(10)点M(4, 2)关于直线乂= 2的对称点的坐标为 (11)点P (4, 3)关于直线x= 1的对称点的坐标为 (12)点M ( 4,2 )关于直线y = 1的对称点的坐标为 。(13)点T (4, 3)关于直线丫=

13、 1的对称点的坐标为 。(14)点Q (0, 3)关于x轴的对称点的坐标为 。(15)点N (4,0)关于y轴的对称点的坐标为 。(五)由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个 k值相等；两直线垂直，则两个 k值之积为-1.】(1)某直线与直线y=2x+3平行，且过点(1,-1),求此直线的解析式。(2)某直线与直线y=.：x+1平行，且过点(2, 3),求此直线的解析式。(3)某直线与直线y=-2x-5平行，且过点(-3,0),求此直线的解析式。3(4)某直线与y轴交于点P (0,3),且与直线y=Tx-1平行，求此直线的解 析式。(5)某直线与x轴交于点P (-2,0 ),且

14、与直线y=x + 4平行，求此直线的 2解析式(6)某直线与直线y=2x-1垂直，且过点(2,1 ),求此直线的解析式。(7)某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点(3,2),求此直线的解析式。(8)某直线与直线 y=2x+i垂直，且过点(2, -1 ),求此直线的解析式。 3(9)某直线与直线y=4x-4垂直，且过点(1,-2),求此直线的解析式。(10)某直线与x轴交于点P (-4,0 ),且与直线y=-2x + 5垂直，求此直线 3的解析式。(六)两点间的距离公式：若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 AB 二虫七-人尸 *(胃-力了(1 )若 A (-2,0 ), B (0

15、, 3),贝U AB=-。(2)若 P (-2,3 ), Q (1, -1 ),贝U PQ二。(3)若 M (0,2 ), N (-2,5 ),则 MN=1 cc 1(4)若 P(2，°), Q (°，一3),贝U PQ=-o1 o1(5)若 A(2，-3),B(-1,-2),则 AB=-3 11彳(6)若 P(4,2),B( 一厂1),贝u PB=,431/1(7)若 P(4,2),B(41),则 PB=-1 21 d(8)若 P( -4,3) , MC2,1),贝 U PM=-2 112(9)若 A5,3), B(-53),则 AB=,一 21-(1 0)若 A ( 一

16、3，1), B (3),则 AB=(11)若 A ( 2, 0) , B (3, 0),贝U AB=(1 2)若 P(0, -4) , Q(0, -2),贝U PQ=-(13)若 P(3,0) , Q(4,0),则 PQ=-。(1 4 )若 P(1 , -4) , Q(2,0),则 PQ=-(七)直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值】；可由两个点的坐标直接求得：若 A (xi,yi), B (X2,y2)(%米2),则直线 AB 的斜率为：kAB = 二2, (xi正2) Xi - X2例题：若 A(2, -3) , B(-1,4),则 kAB=解：A(2, -3)

17、 , B(-1,4) , kAB=2=3=-g(1)若 A(0 , 2) , B(3 , 0),则 kAB =o(2)若A(1 , -2),B(-3,1),则kAB=o(3)若M(-3, 1),N(-2,4),贝UkMN=o(4)若P(1 , -4),Q(-1,2),则kpQ=o11(5)若C(-1 , 1),Q(-2,-3),贝U kCQ=o(6)_ 2_1E(3, -1)，F(- 3,-3),贝U kEF(7)2m(-5.1-3), Q(-1 ,-万），则 kMQ =(8)2P(.3,3 一1-4), Q(-1 ， T),则 kPQ =（八）点到直线的距离公式: 点P （x0,y。）到直线

18、Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）的距离公式为dAx。十By。：:“虹曷A”刀.K铲；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b化为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写 x项，再写y项，最后写常数项,等号右边必须是。）。12例题：求点P（2,-3）到直线y =2x-3的距离。12解：先把直线y=/F化为一般式3x-6y-4=0所产端黑苧的值就是把点（x0，y。）对应代入代数式 Ax+By+C中。 （1）求点P （-2 , 1）到直线y=x+2的距离。(2)求点Q (1, -4)到直线y=2x-1的距离.1(3)求点A (1, 2)到直线y=2x c的距离.1(4)求

19、点M (0, -3)到直线y=qx1的距离.311 ,(5)求点P(-2, 0)到直线y=2x时的距离.(6)求点K (-3, -2)到直线y=1-(4)求点NI (1,-2,)关于直线丫 2 的对称点坐标x的距离. 11 一 一、(7)求点P (-3 , -1 )到直线y = 2x-3的距离.23.11 1 一(8)求点P (-),-1)到直线y.x+2的距离.23 2一 .113 1.(9)求点Q (-;, -3)到直线y=7x-；的距离.234 2.2331.(10)求点P (-3, -4)到直线y = 2x-4的距离.一 .3112 一(11)求点N (-,-)到直线y =-的距离. 2323一 .2311 一(12)求点D (-小-)到直线y=4x3的距离. 5423.32.3 1(13)求点E (-3-)到直线丫二-二的距离. 5 732 4(九)一个点关于一条斜直线的对称点：(1)求点A (-2,3 )关于直线y=x-2的对称点坐标。(2)求点B (3, -1,)关于直线y=2x-5的对称点