二次函数教案(全)

1、课题：LI二次函数教学目标：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进 一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。4、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括 能力。教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12nl长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当闹成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗

2、？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎 样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习二次函数”(板 书课题)二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)面积y (cm)与圆的半径x ( Cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为乂一个 一年定期，设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (cm),

3、种植面积为y (m2)(一)教师组织合作学习活动：1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。(1) y =TT x:(2) y = 2000(1+x)2 = 20000x:+40000x+20000(3) y = (60-X-4) (x-2) =-x2+58x-l 12(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法。教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具尸ax?+bx+c (a,b,c是常数，aWO) 的形式.板书：我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,C是常数，aWO)的函

4、数叫做二次函数 (quadratic funcion)称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项(二)做一做1、下列函数中，哪些是二次函数？(1) y = x2 (2) y =-上 (3) y = 2x2 -x-1 (4) y = x(l-x) (5) y= (x-1)2 -(x+IXx-l)2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:(1) y = x2 + 1(2) y = 3x2 + 7x-12(3) y = 2x(1 -x)3、若函数y=(nfl)x心川为二次函数，则m的值为。三、例题示范，了解规律例1、已知二

5、次函数y= x? + px+q当x=l时，函数值是4：当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一 边板书示范，强调书写格式和思考方法。练习：己知二次函数y=ax?+bx+c ,当x=2时，函数值是3：当x=-2时，函数值是2o求这个二次函数的解析式。例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴 影部分)。设AE二BF二CG=DHr(cm),四边形EFGH的面积为y(cm)求：(1)y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。(2)当x分别为0.25, 0.5, 1.5, 1.75时

6、，对应的四边形EFGH的面积，并列表表7Jo#方法：（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH二对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变后的实际意义来确定。（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y之间数值的对 应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。 练习： 用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙

7、的一边为x,矩形的面积为y,求:（1）写出y关于x的函数关系式当x=3时，矩形的面积为多四、归纳小结，反思提i本节课你有什么收获？五、布置作业课本作业题1教学目标:1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握型二次函数图像的特征：4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点：y = ax2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点：选择苏当的向变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。教学设计：一、 回顾知识前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数 的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）引

8、入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y= ax?入手。因此本节课要讨论二次函数y=ax? （awO）的图像。板书课题：二次函数丫=2（awO）图像二、探索图像1、用描点法画出二次函数y=x?和y=-x?图像（1）列表X -2-11 2-120211122 y = x2 421414021412144 y = -x2 -4-214-1404-1-714-4 引导学生观察上表，思考一下问题:无论x取何值，对于y=（来说，y的值有什么特征？对于y = -x?来说，乂有什么特征？当x取土 士1等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？2（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，

9、与上表中观察的结果联系起来）.（3）连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y=x?和y = -x的图像。2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y=2x?和y = -2x?的图像。学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）3、二次函数丫 = a乂？（awO）的图像由上面的四个函数图像概括出：（1）二次函数的y= ax?图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，（2）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。（4）当aho时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像

10、在x釉的上方 （除顶点外）；当aY。时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在 x轴的 下方（除顶点外）。（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）三、课堂练习观察二次函数y= （和y =-/的图像（1）填空:抛物线y = x2y = -x2顶点坐标对称轴位置开口方向(2)在同一坐标系内，抛物线y=x?和抛物线y = -x?的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数y = ax?和y = -ax?的图像怎样画更简便？(抛物线y=x2与抛物线y = -X?关于x轴对称，只要画出y = ax?与y = -ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)四、例题讲解 例题：已知

11、二次函数y= ax? (a#0)的图像经过点(-2, -3)o(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式。(2)说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。练习：(1)课本第31页课内练习第2题。(2)已知抛物线y=ax2经过点A (-2, -8)。(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (-1, - 4)是否在此抛物线上。(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。五、谈收获1 .二次函数y二ax2(aW0)的图像是一条抛物线.2 .图象关于y轴对称,顶点是坐标原点3 .当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a图像之间的关系1、结合学生所画图像，引导学

12、生观察丫=,仪+2)2,与丫=工(的图像位置关系，直观 一2得出y二X二的图像 向 y(x+2)2,的图像。教师可以采取以下措施：借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：(0, 0)向左平移两个单位 (-2, 0)9(2, 2)”1 包一吧，(0, 2)；(-2, 2)向左平移两个单位 (一4, 2)也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。2、用同样的方法得出y=】x?的图像 向移削 y=L(x-2)2的图像。3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.ma。时.向左平移m个单位、1y = ax (awO)的图像y =-(x-2)的图像。当m y O

13、Hj向右平树m|个单位2函数y= a(x+in)2的图像的顶点坐标是(-m, 0),对称轴是直线x二-m4、做一做 、抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =2(a+3)2y= -3(a-1):y = -4 (x-3)2(2)、填空:、由抛物线y=2x?向 平移 个单位可得到y=2(户1尸、函数y=-5(x-4尸的图象。可以由抛物线 向 平移4个单位而得到的。3、对于二次函数y =-1(x-4)，请回答下列问题：3把函数y = -的图像作怎样的平移变换，就能得到函数y = -1(x-4)2的图像？ 33说出函数y = -；(x-4了的图像的顶点坐标和对称轴。第3题的解答作如下启发:这里的m是什么数？

14、大于零还是小于零？应当把y=-；x?的 图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数y =(X-4尸的大致 图像(事先画好函数丫 = -；(的图像)，借助图像有学生回答问题。五、探究二次函数y=a(x+in)? +卜和y = ax?图像之间的关系1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y=：(x+2)2+3的图像。一首先引导学生观察比较y=1(x+2)2,与y=l(x+2+3的图像关系，直观得出：y = ；(x+2)的图像 ”、.吐 y=；(x+2+3的图像。(结合多媒体演示) 22再引导学生刚才得到的y = 的图像与y=：(x+2)2,的图像之间的位置关系，由此得 出：只要把抛物线

15、y = ：x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数2y = ；(x+2)?+3 的图像。2、做一做：请填写下表：函数解析式图像的对称轴图像的顶点坐标1 -V = X2y=：(x+2)y=：(x+2)2+33、总结y=a(x+m)?+k的图像和丫=/图像的关系盟m0时.向左平格m个电位、1一y = ax* ( awO )的图像y = -(x-2)* 的图像当m Y 0时向右平移|m|个单位230H 向匕干移m个球位y= a(x+m)2 +k 的图像。当k y 01时向下平移|m|个单位y = a(x+m)2+k的图像的对称轴是直线x=-m,顶点坐标是(-m, k)。口诀：(m、k

16、)正负左右上下移 (m左加右减k上加下减)4、练习：课本第34页课内练习地1、2题六、谈收获：1、函数y=a(x+m)2 +k的图像和函数y= ax?图像之间的关系。2、函数y=a(x+m)2+k的图像在开门方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。七、布置作业课本第35页作业题预习题：对于函数y=-x?-2x+l,请回答下列问题：(1)对于函数y = -(-2X+1的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？课题：L2二次函数的像(3)(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？教学目标：1、/解二次函数图像的特点。2、掌握一般二次函数y = ax? +bx+ c的图像与y =的图像之间的关系。3、会

17、确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征教学难点：例2的解题思路与解题技巧。教学设计：一、回顾知识1、二次函数y = a(x+m)2+k的图像和丫 = 乂2的图像之间的关系。2、讲评上节课的选作题对于函数y = -x?-2x+l,请回答下列问题：(1)对于函数y=-/-2x+l的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的?(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？y = -x2 -2x+l 思 路：把 y=-x2 -2x+l 化 为 y= a(x-t-m)2 +k 的 形 式。= -(x2 +2x-l) = -(x2 + 2x +1)-2 = -|(X4-1)

18、2 -2=-(x-l)2 + 2在y = -（x-1-+2中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平 移得到的?二、探索二次函数y=ax?+bx+c的图像特征1、问题:对于二次函数y二ax?+bx+c （ aWO ）的图象及图象的形状、开口方向、位 置乂是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax2 +bx+c转化为y=a（x+m）2 +k的形式？y = ax2 +bx+c=aX+，+E) =a ab , 4ac-b2=a(x+) +2a 4ab / b/ b ” ca X +?+(%)-(3)十：由此可见函数y=ax?+bx+c的图像与函数y=ax?的图像的形状、开

19、口方向均相同,只是位置不同，可以通过平移得到。练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲）2、二次函数y = ax：+bx+c的图像特征（1）二次函数y = ax?+bx+c （ aWO）的图象是一条抛物线;（2）对称轴是直线x=-2,顶点坐标是为（-上，4aC-b2 ）2a2a 4a（3）当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当aO时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。三、巩固知识1、例1、求抛物线丫 = -；x?+3x-：的对称轴和顶点坐标。有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法 或者是用顶点坐标公式。2、做一做课本第36

20、页的做一做和第37页的课内练习第1题3、（补充例题）例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1, 2）,且图像过 点（1, -3）o（1）求这个二次函数的解析式：（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。（此小题供血有余力的学生解答） 分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较 简便？4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。（2）探窕活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m时，桥洞 顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先 要做的工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原

21、点：1 占a 2占r 3 抛物纬的rn占c言得的函数脑;式相同后？清京一试：加一种取法求得的函数解析式最简单？四、小结1、函数y=ax? +bx+c的图像与函数y= ax?的图像之间的关系。2、函数y=ax?+bx+c的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。3、函数的解析式类型：一般式： y = ax2 +bx+ c顶点式：y=a(x+m)2 +k 五、布置作业课题：2.3二次函数的性质(1)教学目标：1 .从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2 . 了解二次函数与二次方程的相互关系.3 .探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会 求二次函数的最值，并能

22、根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函薪的最大值,最小值及增减性的理解和求法.教学难点：二次函数的性质的应用.教学过程： 复习引入 二次函数：y=ax2 +bx + c (a = 0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？ 补充：当a的绝对值相等时,其形状完全相同，当a的绝对值越大,则开口越小,反之成 立.新课教学：1 .探索填空：根据下边已画好抛物线y= -2f的顶点坐标是， 对称轴是,在 侧，B|J x 0时,y随着x的增大而增大；在 侧，即x 0时，y随着x的增大而减小.当x=时，函数y最大值是一. 当 x 0 时，y0_3 .归纳：二次函痣y=ax2+bx+c(aW

23、0)的图象和性质(1) .顶点坐标与对称轴(2) .位置与开口方向(3) .增减性与最值当a 0时，在对称轴炉左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的 增大而增大；当x = - 时，函数y有最小值而.*。当a 0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax+bx+c 的两个根x1与x2：当b4ac二0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当4ac 0 时，抛物线与x轴没有交点。举例：求二次函数图象y=x-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。结论1：方程x:-3x+2=0的解就是抛物线y=x:-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此, 抛物线与一元二次方程是有密切联系

24、的。即：若一元二次方程ax、bx+c=O的两个根是右、X：,则抛物线尸ax、bx+c与轴的两个 交点坐标分别是A ( X1, 0), B (x：,0)(5) 题教学:例1:己知函数1 )15v =V -7X+ 2“2写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称 轴的对称点。然后画出函数图像的草图：(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少； 并求出函数的最大值或最小值。归纳:二次函数五点法的画法3 .巩固练习：请完成课本练习：p42.1,24 .尝试提高：15 .学习感想：1、你能正确地说出二次函数的性质吗？2、你能用“五点法”快速

25、地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质 吗？六：作业：作业本，课本作业题1、2、3、40课题：1.3二次函数的性顺(2)教学目标：1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数 的解析式。2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增 减性。3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质教学难点：利用图像观察性质教学设计：一、复习1、抛物线y=-2(x+4)2-5的顶点坐标是,对称轴是,在侧，即x 0时，y随着x的增大而增大：在 侧，即x 0

26、时，13y随着x的增大而减小：当x= 时，函数y最 值是 o2、抛物线y = 2（x-3）、6的顶点坐标是,对称轴是,在侧，即x 0时，y随着x的增大而增大：在 侧，即x 0时，y随着x的增大而减小；当乂= 时，函数y最 值是o二、例题讲解例1、根据下列条件求二次函数的解析式：（1）函数图像经过点 A （-3, 0）, B （1, 0）, C （0, -2）（2）函数图像的顶点坐标是（2, 4）且经过点（0, 1）（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1, 0）和（5, 0）说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任 意给定抛物线上的三个点的坐标，均

27、可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或 最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐 标，则用分解式较为快捷。例2已知函数丫= x: -2x -3 ,（1 ）把它写成y = a（x+m）2+k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值:（3）求出图象与坐标轴的交点坐标:（4）画出函数图象的草图;设图像交x轴于A、B两点，交y轴于P点，求4APB的面积；（6）根据图象草图，说出x取哪些值时，y=0;y0.说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化;（2）利用函数图

28、像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使y0.抛物线开口向a0.抛物线对称轴在y轴的一侧b=0抛物线对称轴是轴b0.抛物线与y轴交于C=0抛物线与y轴交于c0.抛物线与x轴有_个交点b2 -4ac=0抛物线与x釉有_个交点b2 -4ac 0抛物线与x轴有_个交点三、小结本节课你学到了什么？四、布置作业：课本作业题第5、6题补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论:(l)a+b+c 0abc 0(4)b=2a其中正确的结论的个数是(1个 B 2个 C 3个D 4个17课题：1.4二次函数的应用（1）教学目标：1、经历数学建模的基本过程。2、会运用二次函数求实际问题中的最

29、大值或最小值。3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。教学设计：一、创设情境、提出问题出示引例（将作业题第3题作为引例）给你长8nl的铝合金条，设问：你能用它制成一矩形窗框吗？怎样设计，窗框的透光面积最大？如何验证？二、观察分析，研究问题演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之 改变。深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为（4-x）米，再设面积为yml则 它们的函数关系式为yn-x? +4xJkaO (4 - x o0

30、Y X Y 4并当x=2时（属于0YXY4范围）即当设计为正方形时，面积最大=4（m）引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。三、例练应用，解决问题在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积乂 引导学生分析，板书解题过程。变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝

31、合金条制成如图所示的 改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么 光面积最大？（结果精确到0.01米）练习：课本作业题第4题四、知识整理，形成系统这节课学习了用什么知识解决哪类问题？解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题?学到了哪些思考问题的方法？五、布置作业：作业本课题：1.4二次函数的应用(2)教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以 及用数学的方法解决问题。难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。教学过程：一、复习：1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般 方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量 的取值范围。(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态 图形(在周长为8米的矩形中)(多媒体动态显示)设问：（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系?I2 =x2+（4-x）2 1 = J2x、6x+