二次函数的定义、图像及性质

1、授课内容二次函数的定义、图像及性质授课老师XX老师授课时间2018.11.16 18:30-20:30授课时长4 学时学生姓名xx年级九年级学校xx下节内容二次函数的实践与探索二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1二次函数的概念：一般地，形如y ax y ax2 c 的性质： （上加下减） bx c（a， b， c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调 ：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b， c可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2 a， b， c是常数，a是二次

2、项系数，b是一次项系数，c是常数项二、基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0， 0y轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0 时， y 随 x的增大而减小；x 0 时，y有最小值0a0向下0， 0y轴x 0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时， y 随 x的增大而增大；x 0 时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0， cy轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0 时， y 随 x的增大而减小；x 0 时，y有最小值ca0向下0， cy轴x 0 时， y

3、 随 x 的增大而减小；x 0 时， y 随 x的增大而增大；x 0 时，y有最大值c23. y a x h 的性质： （左加右减）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h， 0X=hx h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值0a0向下h， 0X=hx h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值024. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h， kX=hx h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值ka0向下h，

4、 kX=hx h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值k三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2 k ，确定其顶点坐标h， k ； 保持抛物线y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h， k 处，具体平移方法如下：y=ax2y=ax 2+ky=a (x-h) 2(k0)【或向下(k0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或左 (h0)【或左(h0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右

5、减，上加下减”方法2： y ax2 bx c 沿 y轴平移 :向上(下)平移m个单位，y ax2 bx c变成22y ax bx c m (或 y ax bx c m ) y ax2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移m 个单位，y ax2 bx c变成22y a(x m) b(x m) c(或 y a(x m) b(x m) c)y axhk 与 y ax2bx c的比较第 - 15 -页 共 9页从解析式上看，y a x h 2 k 与 y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y ax 2ba2 4ac4ab2，其中 h2ba，k 4ac4ab22五、二次函数

6、y ax bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为： 顶点、 与 y轴的交点0， c 、 以及0， c 关于对称轴对称的点2h， c 、 与 x轴的交点x1， 0 ，x2 ， 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.2六、二次函数y ax bx c的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为b x2a22a， 4ax b 时， y 随 x

7、的增大而减小；当 2ax b 时， y 随 x 的增大而增大；当x b 时， y 有2a2a最小值 4ac b24a2. 当 a 0 时， 抛物线开口向下，对称轴为x b ， 顶点坐标为b ， 4ac b2 当 x b 时， y2a2a 4a2a随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x的增大而减小；当2ax2ba时，y 有最大值4ac b24a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c( a， b， c为常数，a 0) ；2. 顶点式：y a(x h)2 k(a，h，k为常数，a 0) ；3. 两根式：y a(x x1)(x x2) (a 0， x1，x2是抛物线与

8、x轴两交点的横坐标).注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 当a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；当a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2

9、. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下，当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴 x b 在

10、y轴左边则ab 0， 在 y轴的右侧则ab 0， 概括的说就2a是“左同右异”总结：3. 常数项 c当c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；当c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般

11、来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称ya 2xb x 关于 c x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于 x轴对称后，得到的解析式是y a x h k；2. 关于 y 轴对称y a 2xb x 关于 c y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a

12、 x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y a 2xb x 关于原点对称后，得到的解析式是 cy ax2 bx c ；22y a x h 关于原点对称后，得到的解析式是 ky a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）ya 2xb x 关于顶点对称后，得到的解析式是 c2y a x h 2 k 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2 bx c b2 ；2a2y ax h k 关于点m， n 对称22y a x h k 关于点 m ， n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称

13、变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与 x轴的交点个数： 当b24ac 0时， 图象与x轴交于两点Ax1，0 ， Bx2，0（x1x2），其中的x1，x2是一元二次方程ax2 bx c

14、 0 a 0 的两根这两点间的距离AB x2 x1b 4ac .a 当0 时，图象与x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与x 轴没有交点.1 当 a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0； 2 当 a 0时，图象落在 x 轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 2. 抛物线 y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0， c）；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中 a， b ， c的符号，或由

15、二次函数中a， b ， c的符号判断图象的位置，要数形结合；0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非 负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为 正一元二次方程无实数根.二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0） 本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数

16、考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2的图像经过原点，则 m 的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：2y kx bx 1 的图像大致是3考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数和选拔性的综合题，如：5 （0,3） ， （4,6） 两点，对称轴为x ，求这条抛物线的解析式。34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、

17、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3y ax2 bx c（ a 0） 与 x 轴的两个交点的横坐标是1、 3， 与 y 轴交点的纵坐标是2（ 1）确定抛物线的解析式；（ 2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。例 1 （ 1）二次函数y ax2 bx c的图像如图1，则点 M （b, c） 在（ ）aA 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限（ 2）已知二次函数y=ax2+bx+c（ a 0）的图象如图2 所示，?则下列结论：a、 b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2 时， x

18、 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A 1 个B 2个(2)a， b， c 之间的关系，是解决问题的关键(1)例 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于点（-2 ， O）、 （x 1， 0），且1x12，与y轴的正半轴的交点在点（O， 2） 的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为（ ）A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D 4个 会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知： 关于 x 的一元二次方程ax例7、“已知函数 y x2 bx c的图象经过点A（ c，2） ， 求证： 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了

19、无法辨认的文字。（ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（ 2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可

20、以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。+bx+c=3 的一个根为x=-2， 且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）A（2 ， -3） B.（2， 1） C（2 ， 3） D （3， 2）例 4、 （ 2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形ABC以 2 米 /秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB与CD重合设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（ 1）写出 y 与 x 的关系式；（ 2）当x=2， 3.5 时， y分别是多少？（ 3）当重叠部分的面积是正方形面积的一

21、半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 .例 5、已知抛物线y=x2+x- 5 22（ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（ 2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A、 B，求线段AB 的长【点评】本题（1 ）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例6. 已知：二次函数y=ax2-（b+1）x-3a 的图象经过点P（4， 10），交 x 轴于A（x1 ,0）， B（x2,0）两点（x1x2），交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB（1） 求二次函数的解析式；（2） 在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角MCOA CO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助