四章中值定理与导数应用ppt课件

1、第第 四章四章 中值定理与导数运用中值定理与导数运用4.1 微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理1. 费马引理费马引理 . 0)()()()()()()()(0000000 xfxfxfxfxfxUxxxUxxf那么，或，有处可导，如果对任意的并且在内有定义，的某邻域在点设函数 如果函数如果函数)(xf满足满足 （1 1） 在闭区间在闭区间 ,ba上连续；上连续； （2 2）在开区间）在开区间),(ba内可导；内可导； （3 3）在区间端点处的函数值相等，即）在区间端点处的函数值相等，即)()(bfaf , ,那么那么在在),(ba内 至 少 有 一 点

2、内 至 少 有 一 点)(ba , , 使 得使 得 0)( f 2. 罗尔罗尔Rolle定理定理 几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,轴在该点处的切线平行于至少有一点线存在，则此曲线弧上轴的切垂直于若除端点外处处均有不上，续曲线弧在两端点高度相同的连xCxABC留意留意:假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论能够不成立其结论能够不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f . 0)(2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间

3、.1 , 0, xxy;0, 01 , 0(,1 xxxy又例如又例如,.10125的正实根一个小于有且仅有证明方程例 xx.0230102120022130的正根少有一个小于至，证明方程根有正如果方程例xaxaxaxxaxaxa二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理理 如如果果函函数数 f(x)在在 闭闭区区间间,ba上上连连续续, ,在在开开区区间间),(ba内内可可导导, ,那那么么在在 ),(ba内内至至少少有有一一点点)(ba ，使使等等式式 )()()(abf

4、afbf 成成立立. . )1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结结论论亦亦可可写写成成ab1 2 xoy)(xfy ABCD几何解释几何解释:.,ABCx处曲线的切线平行于弦在该点有一点切线的曲线弧上，至少轴的有不垂直于在连续且除端点外处处证明证明 作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或

5、拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式留意留意: :拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理微分中值定理)(

6、)()()(0000 xxxfxxfdyyxfxf留意：函数在点留意：函数在点 的微分是表示函数在点的微分是表示函数在点 的增量的近似值。的增量的近似值。0 x0 x.)(,)(是一个常数上在区间那末导数恒为零上的在区间如果函数定理IxfIxf).11(2arccosarcsin4xxx证明例证明恒等式的普通方法证明恒等式的普通方法.1,0)(33值并求满足定理的上的正确性，在区间中值定理对函数验证例xxfLagrange.)1ln(1,05xxxxx 时证明当例)0.()()(,)(6axfaxfLimKxfLimxx求设例xoy )()(xfYxFX)(xFNM)(aFA)(bFB)(2

7、F)(1 Fxoy)(xfy ABx1 2 MN).()()()(axabafbfafy 弦弦AB的普通方程为的普通方程为弦弦AB的参数方程的参数方程为为)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafy)()()()(aFbFafbfdXdY在参数方程下，弦在参数方程下，弦AB的斜率为的斜率为柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF满满足足( (1 1) )在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, , ( (2 2) )在开区间在开区间),(ba内可导内可导, , ( (3 3) ) 对对),(ba内每一点内每一点均均有有)(xF不为

8、零，不为零，那么那么在在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD.端点的连线该点处的切线平行于两，在上，至少存在一点连续曲线弧CAB几何解释几何解释:.2ln4)1ln(arctan12172成立时，不等式，证明当例xxx.)(1)0()()()()(8xexffxfxfxf则，且满足关系式内，在证明：若函数例).10( ,)()(0)0()0()0(0)(9)()1(！证

9、明：，试用柯西中值定理阶导数，且具有的某邻域内在设函数例nxfxxffffnxxfynnn证：证：1111,)(0)0()()(nnnnnfxfxfxxf在在(0,x)之间，之间，22221111111,) 1()(0)0()()( nnnnnnfnnffnf在在 之间，之间，), 0(1.在在(0,x)之间，之间，nnnnnfxxf,)()(!)(因此，因此，, 10 ,xn从而有从而有) 10( ,)()(!)(nxfxxfnn小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理

10、、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；留意定理成立的条件；留意定理成立的条件；留意利用中值定理证明等式与不等式的步骤留意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2. 设设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(3. 假假设设)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只需证0)()(f

11、fee亦即0 )(exxxf作辅助函数, )(e)(xfxFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.费马费马(1601 1665)费马 法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余喜好. 他兴趣广泛, 博览群书并擅长思索, 在数学上有许多艰苦奉献. 他特别喜好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研讨才得到处理 .引理是后人从他研讨处理最值的方法中提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的奉献, 近百余年来,

12、 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的任务, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的奉献主要集中在微积分学,共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的, , 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的根底推进了分析的开展. 复变函数和微分方程方面 . 终身发表论文800余篇, 著书 7 本 , 备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在延续，) 1 ,0()(xf证证: 设辅助函数设辅助函数)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔