(完整word版)黑体辐射普朗克公式推导_第1页
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1、黑体普朗克公式推导1空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V内，只能存在一系列独立的具有特定波矢氐的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以氐为标志。设空腔为立方体，如下图图1立方体空腔2(6)兀24沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是fA九Ax=m2(1)A九<Ay=n2A九Az=q2式中m、n、q为正整数。72兀将k二代入(1)式中，有x九x则在x方向上，相邻两个光波矢量的间隔为：.m兀(m1)兀兀Ak=xAxAxAx同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：Ak兀xAxAk兀y=AyAk兀zAz因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为AkAkAkxyz兀3AxAyA

2、zV(3)xky图2波矢空间在波矢空间中，处于k和dk之间的波矢k对应的点都在以原点为圆心、k为半径、dk为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为(4)式中k=|k|、dk=d|k|。根据(1)式的驻波条件，k的三个分量只能取正值，因此dk和dk之间的、可以存在于V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以(5)“4兀k2dkk8由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为式中乘以2是因为每个光波矢量k都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。72兀“2兀八由于k=，dk=d人，九九2上式可以用波长形式表示，即在体积为V的空腔内，波长九+d九间隔的光

3、波模式数为:(7)2黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T和辐射场波长九的函数。可用单色能量密度P九来描述，其定义为：在单位体积内，波长九附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为Jm-4。根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为h£E='ehc/kZt1(8)因此单色能量密度为p=-M-E=8hC-九Vd尢尢5ehc/KkT1(9)即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为P=cP=込_1_4九九5ehc/KkT1(10)这就是温度T的黑体的光谱辐出度公式。附录1对于作用在如图1的空腔表面的驻波，设垂直于面积A,且立体角为do的方向上，光通量(单位时间通过的波的能量)为I和-I,如图3。A图3设光速为c,光运动单位距离的时间为1/c,则在立体角内的光能密度（单位体积的光(1)能量）P为p=2CA在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积A法线夹角为e的入射光，光通量仍为I,而该方向的通量为(2)图4作用在一个小面积上的所有方向的光辐射则在面积A上的总光通量为6(3)M=271卜/21cos9sin9d9d©00二I兀将(1)代入有因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角d0的能量密度P

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