二次根式的知识点汇总

1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如攝诅20的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以让0是拓为二次根式的前提条件，如躬，府+1，21）等是二次根式，而后，等都不是二次根式。知识点二：取值围1二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三0时，攝有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，怎没有意义。知识点三：二次根式胺直工0的非负性罷直兰0表示a的算术平方根，也就是说，亦直兰0是一个非负数，即侖巨

2、020。注：因为二次根式亦区20表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数5兰0的算术平方根是非负数，即攝巨0诅丸，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设罷+爲=0,那么a=0,b=0；假设亦+创=0，那么a=0,b=0；假设需+沪=0,那么a=0,b=0。知识点四：二次根式亦$的性质茁二止0文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：（&r与堪孑的异同点1、不同点：（蔷y与表示的意义是不同的，拓y表示一个正数a的算术平方根的平方，而九孑表示一个实数a

3、的平方的算术平方根;在中位兰0,而？中a可以是正实数,0,负实数。但你与&都是非负数，即（）注0，丽王Q。2、一样点：当被开方数都是非负数，即让0时，（&?二Q；诅0.4有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求以下各式有意义的所有x的取值围。(1)3-2x；(2)；TTT;(3)X+2:x2解：1要使：32x有意义，必须32x0，由32x0得xJ23.,当x1且x丰2,但x=2不在x1的围。当x-1且x丰2时，式子在实数围有意义。兀|-2小练习：1当x是多少时，在实数围有意义？2当X是

4、多少时，斗石+3+丄在实数围有意义？x+13当x是多少时，*2x+3+x2在实数围有意义？x4当时，弋x+2+、,：12x有意义。2. 使式子、；(x5)2有意义的未知数乂有个.A.OB.1C.2D.无数3. y二斗：2x+Jx-2+5，求的值.y4. 假设J3-x+Jx-3有意义，那么.5. 假设J-m+1有意义，那么m的取值围是。m+1最简二次根式例2：把以下各根式化为最简二次根式：(1)v96a3b(a0,b0)2)v250(3*)”詁c0，bo)分析：依据最简二次根式的概念进展化简，1被开方数的因数是整数，因式是整式；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解：(1)96a3b=v16

5、a26ab=4a、.6ab(a0,b0)47)垢=147=i149x3(帀=Y25x27耳7.3x27.75応=5=1F625a2b3)121c4;25a2b2b121c4.word.zl.同类根式：例3：判断以下各组根式是否是同类根式：(1)-v.175；315；32;3432.49x77-85=7854343I431634分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数一样，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根解：(1)-邓=-.j25X7=5、门;6316,9x7-16分母有理化：例4：把以下各式的分母有理化：分析：把

6、分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与v2,5+打与5-込均为有理化因式。解：_.=1：62222x2、(2)2J310弱=（A弋迈）、=応-迈打-辽）（,运+迈）求值：例5：计算：(屮18-他分析：迅速、准确地进展二次根式的加减乘除运算是本章的重点容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解：1原式=（3、至-2J2+爲-.J2）x2V3=*3、:3=3(2)原式15一60,b0,2a0，所以a=(a,b=(a-4(b可利用乘法公式来进展化简，使

7、运算变得简单。+2Jb解：(1)原式=(：a+2b(a+1a2寸bx：a+2yba4b;)(a-2托例7：化简练习：(1)；-st3(s0)6-2-何解：(1)-st30st30130,即t0I原式=-stt2=11K.-st=-1x：-st(t0)(2)260,而J6-30原式=J6-2|-卜6-3|=46-2-=、6-2+J6-3=26-5化简求值：例8:a=彳+、2,b=求：ab3+a3b的值。22分析：如果把a，b的值直接代入计算a3,b3的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到、；3+1D.|2把:27化成最简二次根式,结果为：C.9-D.9以下根式中，最简二次根式为：A.v.4xC.x

8、D.(x+4)2一、选择题：在以下所给出的四个选择中，只有一个是正确的。4、t1,化简1t-12-2t+1得:A.2-2tB.2tC.D.5、以下各式中，正确的选项是：以下命题中假命题是：B.D.飞s=07(07)二0.76、A.设x0,则尸=-xxB.设x0,贝I=1x2C.设x0,贝扎x2二x7、与2芒是同类根式的是：A.、50B./28、以下各式中正确的选项是：A.+心3=5C.3aJx-4丫x=3a一4fx三、1、化简-aLa24a+4D.设x0,则：x2=x2C.、：18D.75B.2+、f3=2J3DV272、x2-5xy+y2x=-,y=1求:2+32-p3拓展训练一、分式，平方

9、根，绝对值；1. va2=G-a)2成立的条件2. 当a时，沁=1；当3时，如=1。aa3. 假设寸万2=a，那么a;假设Ja2=a，那么a4. 把C1)J-丄根号外的因式移入根号，结果为。x15. 把-3上根号外的因式移到根号，结果为。36. xy,那么化简yxJ(xy)2为10.假设-4b与.3a+b是同类二次根式，那么a=b=11. 求使J-（a+1）2为实数的实数a的值为。二、根式，绝对值的和为0；1. 假设J（a5）2+（2b+3）2=0,那么J石=。2. 如果M x3+y3;yx 乂、；四、整数局部与小数局部1五的整数局部，小数局部4. x=一,x的整数局部为a，小数局部为b，求-

10、b-2的值。-a+b五、根式，分式的倒数;+2ab+b2+”+111.x+=4,求X的值。XX=0求b-2a的算术平方根。6. 在AABC中，a,b,c为三角形的三边，那么J（a-b+c）22|cab|=1Iiy=vi8x+J8x-1+一,求代数式+-+2一-+-一2的值。7. 2yxyx8. 如果严也-3+羽-2蓋+2，那么N+尹二。三、分式的有理化5.，求以下各式的值;219a1x-x+1-0,+3. 假设的值;六、转换完全平方公式；1.a2+b2-4a-2b+5=0,求a+b的值3b+2：a3. x,y是实数，l，假设axy-3x=y，求a的值;i11I15、00B.x0D.x2C.xW

11、2D.x三2;3个自然数的算术平方根为a，那么和这个自然数相邻的下一个自然数是；A.a+1B.a2+1C.、“：a2+1D.Ja+14、在电路中，一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P由电功率计算公式p=U可得它两端R的电压口为丨；rRrp_A.U=B.U=C.UPRD.U=KPRP5、使代数式土3有意义的X的取值围是x4A、x3;B、x三3;C、x4;D、x三3且x丰4;6函数y=的自变量x的取值围是.+2A.x0B.x22C.x2D.x丰2函数y=Jlx+丄中自变量x的取值围是x3A.xW2;B.x=3;C.x2且x丰3;D.xW2且x丰3;二、二次根式的运算问题7、09市二次根式、：（3）2

12、的值是；A.3B.3或-3C.9D.38、（市2021年）下面计算正确的选项是丨；A.3+.；3=3.：3B.叮27十壬3=3C.吕=0时，m的取值围是；VA、0m1；B、m三2；C、m2；D、mW2；15、09市当x=-2时，代数式J5x2-3x-1的值.16、09市计算：78+(-1)2009-1-/2|.17、(09市)计算：|-3+G/5-1)0-66)2.四、二次根式与整式的化简求值问题：18、09市先化简，再求值：(a-3)(a+3)-a(a-6)，其中a=J5+219、09市：x=、；3+1,y=、；31,求以下各式的值.x2+2xy+y2;2x2一y2.20、09威海市先化简，

13、再求值：(a+b)2+(a一b)(2a+b)一3a2，其中a=-2-朽,b=込一2.1、2、x=,y=址三，求：x2-3xy+y2的值;五、二次根式与分式的化简求值问题:21、09黔东南州先化简，再求值:xx2+2x+1x21十，其中x=x+2x+2x1V3一2；22、(09)求代数式的值：兰二空x-22+春32-J323、09市先化简、再求值：-二丄-(丄-a-2),其中a=吕-32a4a224、09黔东南州先化简，再求值：_x2+2x+1一x2-1，其中x=卞3-2;x+2x+2x1六、二次根式的探究规律问题：25、我们看几个等式：Jlx2x3x4+1=1X4+1=5;J2x3x4x5+1

14、=2X5+1=11;73x4x5x6+1=3X6+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？并用你发现的规律猜测下面的结果： J4x5x6x7+1=. v2006x2007x2008x2009+1=X()+(); nx(n+1)x(n+2)x(n+3)+1=.2021,4,4分设a二J191,a在两个相邻整数之间，那么这两个整数是A.1和2B.2和3C.3和4D.4和52021，5,4分如果”(2a1)2=12a，那么A.aV丄B.a1D.a122222021，14，5分a、b为两个连续的整数，且ab，那么a+b二.2021江，加试1，6分假设m2011，那么m

15、52m42011m3的值是.20121202112,4分当x=时，x211=x2一x2021江，加试3，6分|63m+(n5)2=3m6：(m3)n2，那么mn=.2021凉山州，25，5分a、b为有理数，m、n分别表示5-七；7的整数局部和小数局部，且amn+bn2=1，那么2a+b=2021黄冈，3，3分要使式子(a+2有意义，那么a的取值围为.a以下运算正确的选项是(09),(1A-1LA.3-27=3B.(n-3.14)o二1C.-=-2D.书二312丿假设曽x1、.；1x=(x+y)2,那么xy的值为()(09)(A)1.(B)1.(C)2.(D)3.化向：齐53+73+二Qn+1+初-1x二,y二土I，求：x23xy+y2的值;2+、3273J2x3x4x5+1=2X5+1=11;我们看几个等式：V1x2x3x4+1=1X4+1=5;73x4x5x6+1=3X6+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？