线性代数 二次型及其矩阵表示ppt课件

1、212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x 12,nx xx222223232222nna xa x xax x 2333332nna xa x x 2nnnax一、一、n n元二次型元二次型的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有含有n个变量个变量称为二次型称为二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或记为或记为11nnijijija x x 212111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xax xax 11

2、ijnnijija x x 当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型212111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x 2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xax xax 11111221nnxa xa xa x 22112222nnxa xa xa x 1122nnnnnnxa xaxax 1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax LLLMMMML111212122212nnnnnnaaaaaaAaa

3、a LLMMML 则二次型则二次型TfX AX 其中矩阵为对称矩阵其中矩阵为对称矩阵. .令令12nxxXx 任一二次型任一二次型f对称矩阵对称矩阵! 任一对称矩阵任一对称矩阵二次型二次型f! 一一对应一一对应f称为对称矩阵的二次型；称为对称矩阵的二次型； 称为二次型称为二次型f的矩阵；的矩阵；练习写出下列二次型的对称矩阵练习写出下列二次型的对称矩阵3 3复数域上的元二次型复数域上的元二次型222faxbxycy22,)12311213223(,24654f x x xxx xx xxx x 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x 例例1 1实数域上的

4、元二次型实数域上的元二次型 2 2实数域上的元二次型实数域上的元二次型解：解：1 1） a bAb c 2 2）223252320B 1,123123232 2 3,2 5 23 2 0 xfx x xx x xxx 1212,;,nnx xxyyyLL为两组变量，系数在为两组变量，系数在定义：设定义：设 1212,TTnnXPY Xx xxYyyy LL记作记作 ijn nPp 为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的为可逆矩阵，称上述变换是可逆的或非退化的注非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次注非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次数域数域F F复数域或实数域中的一组关系式复数域或实数域中的一组关系式11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy LLL L L LL称为由称为由1212,nnx xxyyyLL到到的线性变换。若系数矩阵的线性变换。若系数矩阵施行非退化线性变换其结果仍为一个非退