2018年浙江省高中数学联赛试题(含参考答案)

1、页脚一、填空题一、填空题己知。为正实数，且/(x)=-是奇函数，则/(Q 的值域为a理+14.在八个数字2,4,6,7,84142,13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数。6.设网=1叭若平面上点P满足，对于任意虫R,旬AP-tAB3t则PAPB的最小值为,此时PA+PB=o7.在/J?C中，ABAC=7f且一角形的面积为4,则茅in厶4的最小值为&设/(A)=|X+1|+|A|-|A-2|I则/(/(A)+1=0W个不同的解9.设心满足60-4少刁+12=0,则x的取值范围为10.四面体P-ABC,=PR=AC 二屁PC=A/?=/To,则该四面体外接球的半径为o二、解答题二、解答题

2、1L（本题满分20分）已知动直线f与圜O；F+b二1相切，与椭圆y+/=l相交于不同的两点A,B.求原点到的中垂线的最大距离.2018年省高中数学联赛试题年省高中数学联赛试题2018.4.1520182.设数列叮满足口|=1，如=5%+1(用-1,2,)，则Jj-=1页脚1N本题满分20分）设a 丘 R,且对任意实数方均有maxx2+ax-b13求。的*CUI取值范围口13.（本题满分20分）设实数心耳/沁满足也 5mS 二12,2016）和2018兀二1，证明：-10091010兰1fl=l14+本题满分30分)将2舟(n2)个不同整数分成两组口/$心;松上2,血15证明工H一巧一XQa.i

3、一如十I勺一勺I)N丹l/fi1i;IEJn15本题满分30分)如图所示将同心圆环均匀分成科“宀格.在内环中固定数字 h 问能否将数字1斤填入外环格内，使得外环旋转任意格后有口仅有一个格屮内外坏的数字相同？页脚参考答案参考答案1.解由帀）为奇函数可吋-士秽石，解得2,即介由此得/匕）的值域为-437T5遇仏 5 二亍得他9+0）一严心-产-右，所以+1=CDS(C?+/?)cos(of-)+sin(tr+)sin(6T)=-竺、4丿44654.解在乙1叩3中任取-个整数与在2A6.SJ2中任瑕-个整数构成既约分数，共3可知点尸到直线血的距离为艮设弭的中点为0。由极化恒等式得西”西二 （丙十西尸

4、_ （丙西） 2=土 （?户0） 2/工占36100=16此时|4+Pfi|=6a7.解由/f/J+XC=7=JCsinZA,/?=JC=-时取等号24928.-x-3,x-1解因为（对二兀+1|十|斛-斗-2|二卞7：3弓由f（f（x）+i=o得到3A-1,0 x2/（x）二-2*或/（划二（K由/（灯二-2,得一个解兀二-1;由fx）=0得两个解K-3点g,共3个解a9.解由尤_6“一4丁工_尹十12=0=(丁兀一尹_2)+(&_3)，二 5 令yjx-y-2=cos,3二sinx=(2+ms0)2+(3+sin0)2=14*Vsin(0*e)(sin炉二3所以14一2Vt3x14+2Vb

5、312.页脚O到直线中垂线的距离刃=鼻亠。TTo所以，当|心打用=習时,原点到初的中垂线的最大距离为*20分解将四面体还原到-个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为Bg则a2+F=（）b2c2=8+=所以四面体外接球的半径为石。L72+C3=611.解依题意可设Xy 二 kx+m（k工0）因为直线f与圆O相切，所以，O到直线f的距离为1,即这样的直线必与橢圆交于不同的两点（斗丿*（屯,儿），联立它得（1十9，）护十18紡口十（9沪一9）=0,得到血+走=所以/I的中点坐标为（月月的中垂线方程为yd1=|/(0)|1,所以只要考虑b0,此时函数/伐)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意网V1有

6、/二1+心/(0)二办，所以f二l+n+21，解得lo1U分(2)当Ou|乞扌时，即此时函数/)的最值在拋物线的顶点和右端点取得，而对40有卜卩胡(一为=手1。(3)当|-y1时，即此时函数f(x)的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对b二0有孑(0)|二问小,/(才)二手15分(4)当-彳21时，即a-2,此时函数f(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意问1有|/(O)|=|A|同冲i+a+b2m同+|l+o+b|1+。|依题意,；21=w1,或aW313.页脚证明：由条件兀，兀+=同号口反证法，假设xlbfWx10lD1c（1）若禹吋珀W同为正数，由尤”斗2同号可知西,E，、占0冷同号

7、。5分由+匸耳兀 7 二畑冬沁二沁冬血冬啦嘉兀i+L1010=工醐工山-lOlllOOS二-LfllL-IOOS1同理沁二遇沁玄沁 池二血二仏汗恥*10（/7-1008-101710010311030类似可证明：兀1.0061皿庐1声oca尤KJ斗A1,，斗玄JOIPI“20IS因此1耳二1,矛盾勺亞=1若也血国同为负数，由兀,+同号可知引心点如均为负数，仍然有 nw 注,类似（1）可证得。20分兀X*+14.证明令町二工厂卜工（耳如+内如），下面用归纳法证明liwlij,n1寸如TQ当n-1时，不妨设ti|bb2,a2b2oTz=一吗|+02一吆|+A一佝|+0i一吋一匾一如IT$一如，当尙

8、T 尸执一偽+b、+塩+b 厂2;5分当口勺n7二為一旳+口+勺2p10分10分15分kl00页脚假设对正整数理成立，对正整数+不妨设a.a2-anybb2-bnan+lbti+lo再设bkan+ibk+1,则有丽軒衬稈臨I=工1齢-陽|+工I粘1-切-工aai|吊-勺I+瓯I-乙+L|+Tnj=lr=lr=li=1亏分鬥用R咼下证2吊一41工一训一工”叶|一卜工血+|一切30。f=li=ti=lr=l由(1)如宀胡025j=Jt+l盘理起A若叫+ibx，则隊1-陽|+Y|逐+i-引-工hz-压I-工肉+i-切Ii=l1=11=1i=l=($-如分1=115.页脚解答； 设对应于内环12，ri的外环数字为C人，它是数字1Z3门的一个排列。 对 =1,2,记外环数字在按顺时针方向转动久格时，和内环数字相同，即一店三人mod”，X:=1,2,-jio10分根据题意,fd应是0,1,2,，挥一1的排列*求和刃刃I另k三