--弹性体的一维振动题解

1、6-1一等直杆沿纵向以等速v向右运动，求下列情况中杆的自由振动:(1)杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：ux,0=u0x=0i二a由式(8-15),(8-16)可知Pi=,i=1,3,5，2l2由归一化条件APADisinidx=1得Dj=02l1：Al2即正则振型为U/x)=2sinx,i-1,2,3,.：Al2l由式(8-39)得正则坐标表示的初始条件为ni(0)=0,i=1,3,5,由式(84。)得="(0)sinpit,进而有：Pi(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：ux,0=u0x=0i二a由式(8-15)

2、,(8-16)可知pi=,i=1,3,5,2l由归一化条件/RACcos匹)2dx=1得Cj=02l.：Alrr一'2i-：即正则振型为Ui(x)=2cosx,i=1,3,5,.,'Al2l由式(8-39)得正则坐标表示的初始条件为2(0)=0,i=1,3,5,由式(84。)得="(0)sinpit,进而有：Pi6-2求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。(1)常力F作用于杆的中点，如题6-2(a)图所示；(2)常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b)图所示；(3)两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2

3、(c)所示。解：(1) 根据题意，t=0时杆内的应变题6-2图杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件，得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动(2) 根据题意，t=0时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件，得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动(3) 根据题意，t=0时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件，得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条

4、件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动6-3如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力FoPo的作用，求分布力突然移去时杆题6-3图的响应。解：杆左端固定端，右端为自由端边界条件得固有频率，主振型(2i-1)二一1)二pi=aUi(x)=Disinxi=1,2,2l2l杆在x处的应变初始条件由u(x,0)=uo(x)=0,得Bi=0再利用三角函数正交性16F°l-3i二EA解二：用直接法x因为£=0P0dx=p°x其中，P0=x-Fnx杆的初始条件为ux,0=u0x=dx=0I.2EAl由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出

5、杆的固有频率及主振型将主振型代入归一化条件得liI.A(Disinx)dx=1得到正则振型为i=1,3,5则得到正则坐标表示的初始条件为li0-0一.：Au0xUidx-二sin一2i0=0i=1,3,5以正则坐标表示对初始条件的响应为得到杆对初始条件的总响应u(x,t)16F0l11,iuxiua；fsincos/EAiwi32l2l6-4假定一轴向常力F突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻平衡状态，求杆的响应。解：U(x)-CcosxDsinxaa杆处于静止由题意知，边界条件为U0=0Ul=0由此解出固有频率Pi(i=12.)l将主振型代入归一化条件APAU：dx=1,得0得到正则

6、振型由1+pi=fq(x,t)U：dx因为P(t)=P为集中力，不是分布力2Plu(x,t)=F7'、EEAi43,Ih所以由上式得稳态响应ini冗a</"decsin(1-cosjt)(i=1,2,3)(-1)2.i伙iTta,-_2sin(1-cos1)(i=1,2,3)i2ll6-5假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力解：因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为sin©t,求该杆的稳态强迫振动。l将主振型代入归一化条件，得得到正则振型又第i个正则方程为所以可得正则坐标的稳态响应为杆的稳态响应振动为u(x,t)7二、Uiit=i4,3,5,.4

7、F0sintsinxi4,3,5JP2-22l6-6一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力F(t)Fi1工)，其中Fi、t1为常数，假设起初杆处于静3止，求杆的响应。解：U(x)=Ccosx+Dsinxa=Jaa,?由题意知，边界条件为dU八dU八，、一一口,=0，丁=0由这些边界条件得dxxdxx土_p_pi二D=0,-Csinl=0,所以p=aaal所以U4x)-Cicosxi=0,1,2,3一-i二2-22i二A(Gcosx)dx=1所以Ci=Ji=0,1,2,3川所以Ui(x)=Jcos一xl,Al.：Alli=0,1,2,3Hl由於+Pi2%=(q(x,t)Uidx由于p(t)=P

8、(；)2集中力，而非分布力所以q(x,t)U)dx=p(t)(x-Uidx=p(t)Ui()二CiR(L)2cosi二00t1=2t2int2-GP()cos=CiP,()(1f,i=0,2,4,因为是在中央作用力，所以t12t1GP(1)2cosint11所以，由上式求得稳态响应(t)=Pi当i=2,4,川时，r#0,当i=0时，r=0,所以QOU(x,t)=、'Ui(x)i(t)=j30,1,2oOzjz0,1,2mCii二cos-xl1Pi一t、2GR()cosi二t12Pjt2J32-2Altj卫,1,21“Pii二cos-xl6-7一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘,动惯

9、量分别为Is及出求系统扭转振动的频率方程。如题6-7图所示，已知轴长l,轴及圆盘对轴中心线的转.2-2解：aay面。题6-7图xDsina设u(x,t)=U(x)(AcostBsin-t)代入运动微分方程得上式的解可表小为U(x)=Ccosxa其边界条件当x=0时,G(2101s栈=-K型(0)当x=l时,G(2IoIs)dU=-K_UdxU(0)=U(l)9I0l2tan=aIsa1,其中102l2H)2(一)27IsaGPGJp,质量密度为P,解:：2u2一维振动波方程为二彳二a-2二x6-8题6-8图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为长度为l,弹簧的扭转刚度为

10、k8求系统扭转的频率方程。题6-8图(0为波动频率)设i(x,t)=U(x)(AcostBsint)代入运动微分方程得：小=U(x)=0dxa上式的解可表示为U(x)=Ccos+Dsin-(a)aa其边界条件为：在x=0处U(x)=0,(b)在x=l处GJFdU=k声(l)(c)dx-将(a)代入(b)得：C=0U(x)=Dsinx(d)a将(d)代入(c)得：GJfD-cosl-k-Dsinlaa-a得关于频率缶的频率方程为tan=-GJp,其中a2=Gak_Ja:6-9写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。解：该题中杆的振动方程为：0E工*u(x,t)=U(

11、x)Acospt+Bsinpt<1>一/-其中U(x)=Ccos(px/a)+Dsin(px/a)(a2=E/P)题6-9图由于边界条件中U(0)=0代入U(x)中得C=0.u一x再将U(x)代入1中，由1知：="pDsin包(AcosptBsinpt)xjaa再由边界知:EA更exx=l=-ku(x)-2二uxm：t2xdpl2p得：tan(mp-k)=EA即：旦tan包paEA27mp-k已知方程由2a乘并对杆积分得(Uj&(EA也)dx=-p2APUiUjdx0jdxdx0j所以Uj(EA处)EAdUidUjdx-p2APUiUjdx3jdx0dxdx0ju

12、由EAx二-ku(x)xdx*-2uu-m-742xd得:EAdU(X)dx二(mp2-k)U(l)x-L及U(0)=0211,所以，其解代入<3A得PimUi(1)Uj(1)+10APUiUjdx=EAUiUjdx+kUi(1)Uj(1).<4>i,j互换211p2mUi(1)Uj(1)oAUiUjdx=°EAUiUjdxkUi(1)Uj(1).:二5.1两式相减得：0APUiUjdx+mUi(1)Uj(1)=Mrrr、，r、ztt1，P.将上式代入<5:m(EAUiUjdx+kUi(1)Uj(1)=Pj6j为正交。6-10试求具下列边界条件等截面梁的横向弯

13、曲振动频率方程及主振型：(1)两端固定；一端固定、一端简支；一端简支、一端自由。6-11求下列情况中常力F突然移去时等截面简支梁的自由振动：(1)常力F作用于x=a处，如题图6-11(a)所示；(2)两个大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一点及四分之三点处，如题图6-11(b)所示。1即Mf6-12假定上题的洪讪梁承受强度为割勺均匀分被步，隶分布力突冲移谷梁的响应。6-13简支梁在卜，卜一J一I求M的响应。6-14一常力F突然加在简2梁的中点，遍也削岬。bl1一216-15一简支梁在距左端-和一处作用有两个横向干扰力F0sinot,求梁的稳态响应。336-16一简支梁在左半跨上作用有强

14、度为P0sin0t的分布力，求梁中央处的振幅。6-17试求简支梁在正弦分布的横向干扰力,.二x.p(x,t)=p0sinsin切t作用下的稳态响应。6-18简支梁受分布干扰力p(x,t)=p0sin8t作用，求梁的稳态响应。x6-19简支梁受分布干扰力p(x,t)=p0sincot的作用，求梁的稳态响应。6-20一简支梁在x=1端的支座有y1(t)=bsin切t的横向运动，求梁的稳态响应。6-21如题6-21图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支撑，其弹簧刚度为k,求频率方程和主振型的正交性条件。6-22试求两端附有集中质量m的自由等截面梁的频率方程及主振型正交性条件。题6-21图题6-23图6-23如题6-23图所示，简支梁上附有两个相等的集中质量m,m值等于全梁质量的一半，试用瑞利法求系统的基频，并用里兹法求基频和第二阶固有频率。6-24如题6-24图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为I,厚度为b,横截面积A按直线规律xx、变化：A（x）=Ao1+I,其中Ao为自由端的截面积，试用里兹法求纵向振动的第一及第二阶固有频率。假设<I）基频