小学奥数教程之容斥原理

1、学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思 维更墩捷，考虑问题比别人更深层次。3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长一:知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和 数论知识结合岀综合型题Ll。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知 识结合岀题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分

2、理解、吃透。1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念2. 利用图形分析解决容斥原理问题授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论 知识结合出题所以对学生的理解层次要求较髙。一.容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用IAl表示有限集A 的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数 相加，而要从两个集合个数之和中减去重复讣算的元素个数，即减去交集的元素 个数，用式子可表示成：IAUBI = IAl + IBI-IA B,我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右:A表示小圆部分，

3、B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分， 记为：AQB,即阴影面积。用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、E的并集AUB的元素的个数, 可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、E的元素个数，然后加起来，即先求IAHBl （意思是 把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=AB（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）二竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题Ll【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买了汽水，6人买了可 乐，4人买了果汁，有3人既买了汽水又买了可乐

4、，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买 了可乐又买了果汁。问：（1）三样都买的有几人？（2）只买一样的有几人？【答案】0,4【解析】（1）设三样都买的学生有a人，那么6+6+4-3-l-2+a=10解得a=0,所以没有人三种 东西都买了.去冷饮店的学生中除了买一样的外，只有买两样东西的，因为买两样东西的有 3+1+2=6（人），所以买一样东西的学生有10-6=4（）.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22 人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5： 3。问：只有电子

5、 琴的有多少人？【答案】8【解析】46人中除去有电子琴的22人，剩下的24人不是两种琴都没有，就是只有小提琴. 所以只有小提琴的人数为24-14=10 ,所以两种琴都有的人数为10×3÷5=6人，所以只有 电子琴的人数为14-6=8人.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【答案】48 24【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，103二3X 5X7,所以也是求1到105 不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个, 15的倍数有7

6、个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内 与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质,那么（105-n） 与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1,所以它们的和为24.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】一次数学测验甲答错题目总数的乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总 数的;求甲、乙都答对的题目数.【答案】8【解析】（法一）设共有n道题。由右图知d即为所求，并有关系式 由知卫是4和6的公倍数，即12的倍数。将弋入，有b = 3,由于b是非负c + b =

7、 3(2)6整数，所以 n=12» 由此求出 c=2, b=L a=l.X由 a+b+c十d=m 得到 d=n- (a+b÷c)=8(法二)显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是6、12、18,其中只有 12,能使甲答错题目总数是整数.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】某班有40需学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参 加那么有多少人两个小组都不参加？【答案】17【解析】至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人，所以有40-23=17人两个小组都不参 加。【知识点】容斥原理【适用场合】当堂

8、例题【难度系数】1【试题来源】【题目】某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均 得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人.那么语文成绩得满分的有多少人？【答案】9【解析】数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人.所以语文成绩得满分的有16- 10+3=9 人.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断.问绳子共被剪成了多少段？【答案】90【解析】只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数.从一端开始，将绳上距离

9、这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号.有1180, 3的倍数有罟二60个，4的倍数有I=45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一泄是12的倍数，所以这样的数有罟15个 注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了 (60-1) + (45-1)715-1)二89,所以绳子被剪成 89+1=90 段.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】50爼同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1, 2, 3,，49, 50依次 报数：再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现 在面向老师的同学还有多少名？【答案】38【解析】

10、在转过两次后，而向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍 数.150之间，4的倍数有2, 6的倍数有¥=8,即是4的倍数又是6的倍数的数一 定是12的倍数，所以有罟二4.于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学 而向老师.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至IOo的奖券.按奖券标签号发放 奖品的规则如下：(1)标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既

11、是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？【答案】232【解析】1Io0, 2的倍数有罟与0, 3的倍数有斗目二33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一泄是6的倍数，所以标签为这样的数有 罟 二16个.于是，既不是2的倍数,又不是3的倍数的数在1Ioo中有100-50-33+16=33.所以，游艺会为该项活动准 备的奖品铅笔共有：50×2÷33× 3+33X1=232支.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4

12、的倍数，英中标有3的倍2 3数的卡片占一，标有4的倍数的卡片占二，标有12的倍数的卡片有15张.那么，这些卡3 4片一共有多少张？【答案】36【解析】设这些卡片的总数为“1”，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数.'2" h3h所以有- + -15 = Hr,解得“1”对应36张.34即这些卡片一共有36张.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？【答案】3【解析】将东河小学分成3个部分，六年级

13、、五年级、英他年级，那么有五年级和其他年级 共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅.而五、六年级共作画25幅，所以苴他年级 的IEJ共有（16+15-25） ÷2=3 帽.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】在从1至IOOO的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【答案】686【解析】1IOOO之间，5的倍数有=200个,7的倍数有二142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一左是35的倍数，所以这样的数有罟二28个.所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个. 【知识点】容斥原理【适用

14、场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25人参加自然兴 趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣 小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴 趣小组的有9人，语文、美术.自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数【答案】62【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的 人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C. =25, IBI =35, C=27, BC=12, IAelBI =8, AC 二9, IAnBnq二4.4us

15、uq 二 4+B+q-ab 卜 WnqIBnq+4Bq.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4二62,而这个班每人至少参加 一项即这个班有62人.【知识点】容斥原理 【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、 乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6, 8, 5,而3个圆覆盖 的总而积为73.求阴影部分的而积.【答案】58【解析】设甲圆组成集合A,乙圆组成集合B,丙圆组成集合C.IAI = IBI = ICI=30, AB=6, BC=8, AC=5, IAUBUCI=73, 而 Bc=+z?I-ICI-

16、IAB-BC-AC+AC.有 73=30×3-6-8-5+ABC,即IArlBrlq二2,即甲、乙、丙三者的公 共面积（部分而积）为2那么只是甲与乙（），乙与丙（），甲与丙（） 的公共的而积依次为6-2=4, 8-2=6, 5-2=3,所以有阴影部分（.、部分之和）的面积为 73-4-6-3-2=58.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组，20人 参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3. 5倍， 又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文

17、小组的人数相当于3项都参 加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.【答案】21【解析】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小 组的学生组成集合G.三者都参加的学生有Z人.有 IAUBUCI=46,A=24,B=20,C=3.5,AC=7ABC,BC=2AC, IqnBI 二 io.因为 IAUBUq=IAI+b+c-Ar）BITAnq-IBrIq+1AnBnq ,所以46=24+20÷7x-10-2x-2x+x解得X二3,即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3 ×7=21 人.【知识点】容斥原理

18、【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名已知这100本书中有甲、乙、丙 签名的分别有33, 44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签划 的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本问这批图书中最少有多少本没有被甲.乙.丙中的任何一人借阅过？【答案】33【解析】设甲借过的书组成集合A,乙借过的书组成集合B,丙借过的书组 成集合C.=33, B=44, c=55, IAnBl二29, Plnq=25, IBnq= 36.本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可.IAUBUq=IAl

19、+b+c - PInBl-PInq TBnq+1AnBnCl,当 IAnBnq 最大 时，IAUBUq有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多.而ab q最大不超过.冏、IAnBljBnqj4q 6个数中的最小值， 所以AZCl最大为25.此时IAUBUq二33+44+55-29-25-36+25二67,即三者至少有一人借过的书最多为67本，所 以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过.【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段 上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上

20、红色点最少有多 少个？【答案】9960【解析】如下图，下图中“O"位置均有两条线段通过，也就是交点，如 果这些交点所对应的线段都在“ O ”位宜恰有红色点，那么在五角星上重 叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994X5-(2-1) × 10=9960 个.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了 78盆，乙浇了 68盆，丙浇了 58盆， 那么3人都浇过的花最少有多少盆？【答案】4【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇 过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆：欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过 花最少为58-32-22=4盆.【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】甲.乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事每个人都从某一个故事开 始，按顺序往后读已知甲读了 75个故事，乙读了 60个故事，丙读了 52个故事那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？【答案】12甲40 I 甲.乙35(乙25丙52【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为:75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35