专题数列求和讲义

1、（一）主要知识：1 .直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：Sn =n（a1 +an）=倜+9二Dd2 2（2）等比数列的求和公式Sn=（切记：公比含字母时一定要讨论）2 .公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我 们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正 整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和 .3 .倒序相加法：类似于等差数列的前 n项和的公式的推导方法，如果一个数列 匕0的前n项 中首末两端等 距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加

2、法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.4 .错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前 n项和公式就是用此法推导 的.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.5 .裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为 裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等 用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法(1),特别地当时，

3、；(2) j 1尸(Jn+k -Vn ),特别地当时， j 1尸=Jn+1 一5; n k . n k- n 1 n(3) an2n=1，一， 2n -1 2n 12 2n -1 2n 1(4)an1111、n(n+1)(n+2) 21n(n+1) (n+1J(n+2)j(5)1111、/、=(-)(p ,二 q)pq q - p p q6 .分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差 数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列 或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可7 .并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结

4、合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1，f(n 戌型，可采用两项合并求解.例如，& =1002 -992 +982 972 +|+2212=100 9998 97| 2 1 =5050.易错提示利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：裂项过程中易忽视常数，如 一1容1(1裂刃1,漏掉前面的系数-;n(n +2)2 n n +n n +22(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误.应用错位相减法求和时需注意：给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.主要方法：1 .求数列

5、的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2 .求和过程中注意分类讨论思想的运用；3 .转化思想的运用；.分组转化法求和的常见类型若an=bn±Cn,且bn, Cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和.1.(2)通项公式为2口=的数列，其中数列bn, Cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.利例 【2016北京文15已知是等差数列，bn是等比数列，且b2=3, b3=9, a1=b1,a14 =b4 .(1)求Ln的通项公式；(2)设g=an+bn,求数列 匕的前n项和.3n -1【答案】(1) % =2n1(n =1,2,3,)；(2) n2+-.(2)由(

6、1)知，an=2n1, bn =3n".因此 cn =an+bn =2n-1+3n".从而数列1的前 n项和 Sn =1 +3+5+(2n1 )+1 + 3+ +3n_1 =n 1 2n -11 -3n2 3n -1二 n 21-32"已知数列an的前n项和Sn=, nCN*.求数列an的通项公式；(2)设bn = 2an+(-1)nan,求数歹Ibn的前2n项和.解：(1)当 n = 1 时，ai = Si = 1 ； 当 n>2 时，an = SnSi-1 = = n,故数列an的通项公式为an=n.由(1)知an=n,故bn = 2n+(1)nn,记数

7、列bn的前2n项和为T2n 则 T2n = ("+22+22n)+(1+2 3 + 4+ 2n).记 A=21+22+- + 22n, B=- 1+2-3 + 4- -+2n,则 A= = 22n+1-2,B=(1+2)+(3+4)+ (2n1)+2n=n, 故数列bn的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1 + n 2.,4 - i1 o o 11c练习.求和： Sn =1+11+111+11二 1 Sn =(x+1j +(x2 +。)2 + +(xn+ )2 nXXX思路分析：通过分组，直接用公式求和。1解： ak =1T 1 =1 10 1010(10 -1)k个9ic 1

8、,11. Sn -(x2 -2 2)(x4 -4 2) (x2n F 2)xxx2 2n(1)当 xo±1时，Sn =x (： 7) 十x -1-22nx (x -1)x' -1.(x2n - 1)(x2n 2 1) .n x2n (x2 -1)口(2)当 x=±1 时,Sn =4n错位相减法求和的具体步骤步骤1 一写出Sn = C1 + C2 + Cn ；步骤2一等式两边同乘以等比数列的公比 q,即qSn = qc+qc2+一+qcn；步骤3一两式错位相减转化成等比数列求和；步骤4一两边同除以1q,求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论.田园园2（2015山东，1

9、8, 12分）设数列an的前n项和为Sn.已知2$ = 3n+3. 求an的通项公式；（2）若数列 bn?两足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.【解析】（1）因为2Sn=3n + 3,所以2a1 = 3+3,故a1 = 3,当 n2 时，201 = 3标+ 3,此时 2an=2Sn2$1 = 3n 3n一1 = 2X 3n”，即 an=3n 所以 an=(2)因为 anbn=log3an,所以 bi=,当 n2 时，bn = 31 nlog33n 1 = (n - 1) 31 n,所以 Ti = bi = ;当 n2 时，Tn=bi+b2+b3+ bn=+ 1 x 3 1+2X 3

10、 2+ + 1)X31 n,所以 3Tn=1 + 1 X30+2X3 1 + -+(n-1)X32 n,两式相减，得2Tn= + (30+ 3 1 + 3 2+ + 32 n) (n 1) X 31n=+ (n1)X31 n= ,所以Tn= .经检验，n=1时也适合.综上可得Tn=-.,(2015湖北,18, 12分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为 q.已知 b1 = a1，b2 = 2, q = d, Si°=100.求数列an , bn的通项公式；当d>1时，记Cn=,求数列Cn的前n项和Tn.解：(1)由题意有即 解得或故或由 d>1

11、,知 an = 2n1, bn = 2n-1,故 Cn=,于是Tn=1 + + + + + ,Tn= + + + + + + ,可得Tn = 2+ + + =3-,故 Tn= 6- .用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.-2.22例3.求和Sn = ' ,-(-n)1 3 3 5(2n -1)(2n 1)解:ak一 2一 2(2k)_ (2k) -1 1(2k -1)(2k 1) 一(2k -1)(2k 1)二1(2k -1)(2k 1)1

12、1=1 -(2 2k -112k 1【1-2】设Sn为等差数列an的前n项和，已知21+a3=26, Sg=81.（1）求劣的通项公式；1m的最（2）令bn =, Tn =bi +b2+ bn ,右 30Tn m W0对一切 n N* 成立，求实数an冏2小值.【答案】（1） an = 2n -1 （ nW N * ） ; （2） 5.(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式，前 n项和公式，列方程组求解即可;采用裂项相消的方法求和，分析Tn单调性即可求参数的范围.试题解析：（1） ;等差数列aj中，a1+a13=26, S9=81,.港7 =26, , , 9a5 =81,解得a

13、7 =13, & =9,a7 1%7 -5殳9=2,二 an =a5 +d(n5)=9+2(n5)=2n1 ( n= N* )11111 bn = = -二二. | ,an 1an 22n 1 2n 32 2n 1 2n 311111111 11, ,_ I _ ， I I ， I，2 3 5 5 7 2n 1 2n 32 3 2n 3111 -1 1随着n增大而增大,2 3 2n 31是递增数列，又一1一 >0, Tn < , 2n 36.（2015安徽文，18, 12分）已知数列an是递增的等比数列，且a1 + a4= 9,a2a3 =8.求数列an的通项公式；设&am

14、p;为数歹U an的前n项和，bn=,求数列bn的前n项和Tn.解：（1）由题设知 a1 a4 = a2 , a3 = 8,又a1+a4 = 9,可解得或（舍去）.由a4= ai q3得公比q = 2,故 an= aiqn 1 = 2n 1.(2)Sn= 2n 1.又 bn= 一，所以 Tn = bi + b2+ - +bn=+ + +=1 -.,巩固练习：1.求下列数列的前(1)5,55, 555,n项和Sn :5555,，5(10n 1),；(2),，,，用|,IH ； 91 3 2 4 3 5 n(n 2)(3)anvn+g；(4)a,2a2,3a3,IH,nan,m；(5)解:(2)1

15、x3,2 x4,3x5,|,n(n+2),|; (6) sin21，+sin220+ sin2 3'十|l|+sin289 .J. 51J(1) Sn =5+55+555 +|H+55|5=|(9 +99 十 999 十川+99川9)=510 +102 +103 +| +10n n =50(10n -1)-5 n .9819. _J_J1、()n(n 2)2 n n 21111111- Sn -(1 -) (-) (-) Jit (-232435 n1、n . 1； n1 1 1 ha。).(3) ann 、n 1( ,，n . n 1)(、n 1 - . n)/Sn=，2 J .3

16、.2= (72-1)+(73-72) +III +(Jn+1-x/n) =Jn +1 -1 .(4) Sn =a+2a2+3a3+nan ,当 a=1 时，& =1+2+3+ +n = n(n, 2当 a #1 时，Sn =a +2a2 +3a3 +nan,aSn =a2 +2a3 +3a4 +nan4 ,两式相减得(1 -a)Sn =a +a2 +a3 + +an -nan41n "2n 1na -(n 1)a a(1-a)2(5) n(n +2) =n2 +2n , 原式=(12 +22 +32 +=2) +2父(1+2+3+n) = n(n +1)(2n +7)6（6）

17、设 S =sin21，+sin2 2,十sin2 31十| HU 十sin 289。,又 S =sin289： sin2 88i sin287，sin2 1 ,-89 .2S=89, S=89.2 6n-5 （n为奇数）2.已知数列an的通项an =4n "中”,求其前n项和Sn . 2 （n为偶数）解：奇数项组成以&=1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以及=4为首项，公比为4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有 空！项，偶数项有 比！项， 22nJ吧，2 （1 6n-5） 4（1-4 2 ） （n 1）（3n-2） 4（2n-1） Sn -十一十,21-423当n为偶

18、数时，奇数项和偶数项分别有 口项，22(1 6n-5)2n4(1-4) n(3n - 2) 4(2n -1) ! = -T 1-423n_ n 1（n为奇数）（nM禺数）(n+1)(3n-2) ,4(2-1)所以,S =2 n 3n(3n-2) 4(2n -1)231. （2012大纲全国，5,易）已知等差数列an的前n项和为Sn, a5=5, &=15,则数列的前100项和为（）A.B.C.D.1. A 考向 3由 S5= 5a3及 S5= 15 得 a3 = 3,.d= = 1, a = 1,an= n,= ，所以数列的前 100项和00=1IPH= 1 =,故选A.2. (201

19、5江苏，11,中)设数列an满足a = 1, an+1 an= n+1(n C N*),则数列前10项的和 为.3. 考向 3【解析】m a1 = 2, a3%=3, a4一央=4,an a1 = n,以上n1个式子相加得，an-a1 = 2 + 3 + 4+-+n,a1 = 1,.an =1 + 2+3 + + n=,.=2,Sio= 2 =2=.【答案】4. (2016山东，18, 12分，中)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n, bn是等差数列，且 an = bn+ bn+1.求数列bn的通项公式；令Cn=,求数歹I Cn的前n项和Tn.4.考向2解：(1)由题意知当n2时，an

20、= SnSn-1 = 6n+5,当 n = 1 时，a = S = 11,所以 an = 6n+5.设数列bn的公差为d.由即解得 b1 =4, d= 3.所以 bn = 3n+ 1.(2)由(1)知 cn= = 3(n+1) 2n 1.又 Tn=C+C2+ Cn,得 Tn=3X 2 X22+3X23+-+(n+1) 2n1,2Tn=3X 2X23+3X24+ - +(n+1) 2n 2,两式作差，得Tn=3X 2 X 22 + 23+ 24+ + 2n 1 (n+ 1) 2n 2=3X=- 3n 2n 2,所以 Tn = 3n 2n+2.6. (2015四川，16, 12分，中)设数列an(

21、n=1, 2, 3)的前n项和Sn满足Sn= 2ana1,且 a1，a2+1, a3成等差数列.求数列an的通项公式；记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn1|<成立的n的最小值.6.考向 1解：(1)由已知 Sn 2ana1,有 an SnSn-1 2an 2an 1(n)2),即 an 2an1(n>2),所以 q=2.从而 a2 = 2a1，a3 = 2a2=4a1，又因为a1，a2+1, a3成等差数列，即a+a3 = 2(a2+1).所以 a +4a1=2(2a1 + 1),解得 a1 = 2.所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得=.所

22、以 Tn= + + + = = 1一.由 Tn1|<,得<,即 2n>1000. 因为 29 = 512<1000< 1024= 21°, 所以n> 10.于是使|Tn1|<成立的n的最小值为10.1. (2015山东青岛模拟，5)数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数门为()A. 120B. 99C. 11D. 1211. A 考向3因为an= =一，所以 a1 + a2 + an = (1)+(1 ) + + ()= -1 = 10.即=11,所以 n+1=121, n=120.2. (2016山西大同模拟，12)已知数列a

23、n的通项公式为an = ( 1)n(2n1) cos+ 1(nCN *),其前n项和为Sn,则&0=()A. -30B. -60C. 90D. 120一，f I 一.，1_ * _ t.、r，. - 一* 一 r2. D 考向 1由题意可得，当 n=4k3(kC N )时，an = a4k3=1;当 n = 4k2(kC N )时，an*=a4k 2=68k;当 n = 4k 1(k N )时，an = a4k 1 = 1;当 n=4k(kC N )时，an = a4k=8k. a4k 3 + a4k 2 + a4k 1 + a4k= 8,.S60= 8X 15= 120.4. (20

24、16河南郑州一模，18, 12分)已知等差数列an的各项均为正数，a1=1,且a3, a4+, a11成等比数列.求an的通项公式；设bn=,求数列J bn的前n项和Tn.4.考向3解：(1)设等差数列an的公差为d,由题意知d>0, 因为a3, a4+, a11成等比数列，所以=a3a11,所以=(1+2d)(1 + 10d),即 44d2 36d 45= 0,所以 d=,所以 an=.(2)bn=, 所以Tn =.5. (2016山东临沂模拟，18, 12分)已知an是等差数列，满足a = 3, a4=12,数列bn满 足b1 = 4, b4 = 20,且bn an为等比数列.(1)求数列an