(完整版)复变函数习题三参考答案

1、习题三3.1计算积分Jz2dz，其中C是：C（1）原点到（2+i）的直线段；（2）原点到2再到（2+i）的折线；（3）原点到i再沿水平到（2+i）的折线。解:（1）C的参数方程为z=t（2+i）=2t+2ti（0<t<1）dz=(2+i)dt于是Jz2dz=12(2+i)z(2+i)dt=*(2+lli)(2)C=C+C，C参数方程为z=t(0<t<2),121C参数方程为z=2+it(0<t<1)2Jz2dz=Jz2dz+Jz2dz=J212dt+J1(2+itFidt=-(2+11i)CC1C2003(3)C=C+C，C参数方程为z=it(0<t&

2、lt;1)，121C参数方程为z=t+i(0<t<2)2Jz2dz=Jz2dz+Jz2dz=J1(it)zidt+J2(t+iFdt=1(2+11i)CC1C20033.2设C是z=ei0,9是从-n到n的一周，计算：(1)JRe(z为z；(2)JIm(z为z；(3)JzdzCCC解:z=cos9+isin9，dz=(-sin0+icos9)d91)2)3)JRe(z)dz=Jncos9(-sin9+icos9)d9=ni；C-nJIm(z)dz=Jnsin9(-sin9+icos9)d9=-nCJzdz=Jn(cos0-isin0)(-sin0+icos0)d0=2niC-n3.

3、3计算积分J|zgdz，其中C是由直线段-1C<x<1,y=0及上半单位圆周组成的正向闭曲线。解:C=C+C，C表示为z=x+iy，(-1<x<1,y=0)；121C2表示为z=x+iy=cosO+isin0(0<0<k),dz=(-sin0+icosO)dO,N|zzdz=J|zzdz+Czzdz=J1|xXdx+J”(cos0-isin0)(-sin0+icos0)d0-10=兀i3.5沿下列指定曲线的正向计算积分氏r?i)的值:(1)c:|z|=2；(2)c:|z|=2解：f"»=7一2(z-ir2(z+i)'2；(3)C:

4、|z+i=2；(4)C:|z-i|=1)蜒(dz)=JU-1蜒dz-1J丄dz=2兀i-0-0=2兀i；czQ2+1cz2cz一i2cz+i2)蜒=J3-1蜒CzV2+1丿dz一Jdz=2兀i-冗i-兀i=0；Cz2Cz一i2Cz+i3)蜒川Cz_dz-1J丄dz=0-0-冗i=兀i；Cz2Cz一i2Cz+i缶j-2蜒4)蜒(dz)=J4z-!蜒dz-Jdz=2冗i-冗i-0=kiczQ2+1cz2cz-i2cz+i3.6设区域D为右半平面，z为D内的圆周|z|=1上的任意一点，用在D内的任意一条曲线rI*d81兀C连接原点与z,证明：ReJz=。_01+8241证明：函数在右半平面解析，故从

5、0到z沿任意曲线C的积分与路径无关，积分路1+82径换为先沿实轴从0到1,再沿圆周到z点。Jz出=J1仝+JoJejdn01+8201+x201+e2in+J01dn402cosn所以ReJz占8-_01+82x2y238设C为正向椭圆y+y=1'定义f(z)=NC82-8+2,d8,8-zz不在C上，求828+2解：z在C内部时，在8=z处不解析,8-zf(z)=Ng三d8=2兀i(z2z+2),C8-zf(1)=2兀iC一z+2)=4兀i；z=1f'(i)=2兀i(2z1)|=2k(2+i)；z=if(i)=4ki3.9计算下列积分：(1)卜z'sin2zdz；ki

6、(2)f1+izezdz；13)fi(2+iz)2dz14)：ln(z+1)i(z+1)dz解：(1)卜皿zdz七2(1一cos2以ki'zsin2z、I'zsin2z、24丿z=Ki24丿z=kikisin2ki22)3)f1+izezdz=1(zez)1+i-f1+iezdz=(1+i)e1+i-ez111+i=ie1+i；14)f:(2+iz)2dz=(2+iz>11+ii=13"仃dz=2ln2(z+1)|1=2ln22(1k2In2+i-ln22124丿12k2323ln22+8kln283.10设f(z)=Ndz，求f(i),f(-i)；当|z|&g

7、t;2时，求f(z)8L28-z解：z在|z|<2内部时,丄在8=z处不解析，f(z)=N8zf(i)=2兀ie3z|=2兀ie卞z=if(i)=2兀ie3z=2兀ie31=、z=iZe38当|z|>2时，将处处解析，所以/(z)=N8z83.11沿下列指定曲线的正向计算各积分：1)N卅,C:射=r>,C:z=r<1；2)3)-dz，C:国=|；NsinzC(x)2卜-2J4)N宀C(za)dz,C:|z|=1,a为a丰1的任何数;5)N-inzdz,C:|z2i|=2；cz2+9cosz,甘亠门dz，其中C:z1=2取正向，C2:|z|=3取负向。(6)JC1+C2z

8、3解:(1)cosxz在由C:|z|=r>1围成的区域内解析,N=孚(cosxz列z=1=兀5i2)函数f(z)=在由C:z=r<1围成的区域内无奇点，处处解析，所(3)函数f(z)=(x¥z一I2丿以N(z21)(z3-1)dz=0；在由C:|z|=2围成的区域内无奇点，处处解析，所以sinzdz二0；当14>1时，f（八g抒在由C:同=1围成的区域内无奇点处处解析所以ez(zdz=0；当小1时，f（八缶在由C:W=1围成的区域内有奇点z二a'N(e、dz=c(zaJ3竺(ez)2!=eaRi；z=a函数f（zJ=污在由C:lz-2il=2围成的区域内有奇点z=站sinzsindz=Cz2+9z一3iz+3idz=2Risinzz3iz=3i=rin3i=罟sinh3(6)设C-：z=3取正向,C+CC1+C2coszdz=z3C1注dz-Jz32RiC22!z=0=0coszdzz32Ri2!(cosz