2021年中考数学试题及解析：甘肃兰州-解析版

1、甘肃省兰州市2021年中考数学试卷一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）1、（2021兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A、儿°°b、ax2+bx+c=0C、（x-1）（x+2）=1D、3x2-2xy-5y2=0考点:一元二次方程的定义。垮垮垮专题:方程思想。分析:一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最咼次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.解答:解:A、由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0

2、时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C、由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误.故选C.点评:本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2、（2021兰州）如图，某反比例函数的图象过点M（-2,1），则此反比例函数表达式为（）A、y=7B、y=-7C、y=；、，D、y=-考点:待定系数法求反比例函数解析式。专题:待定系数法。k分析:利用待定系数法，设，然后将点M（-2,1）代入求出待定系数即可

3、._k解答:解:设反比例函数的解析式为严.（30）,由图象可知，函数经过点P（-2，1），得k=-2，反比例函数解析式为y=-二.故选B.点评:本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式:图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上利用待定系数法是求解析式时常用的方法.于（3、（2021兰州）如图，AB是O0的直径，点D在AB的延长线上，DC切OO于点C,若/A=25°，则/D等D、50°考点:切线的性质；圆周角定理。专题:计算题。分析:先连接BC,由于AB是直径，可知ZBCA=90°，而/A=25°，易求ZCBA,又DC是切线，利用弦切角定理可知/D

4、CB=ZA=25°，再利用三角形外角性质可求ZD.解答:解:如右图所示，连接BC，TAB是直径，ZBCA=90°，皱皱皱皱又:ZA=25°，ZCBA=90°-25°=65°，TDC是切线，ZBCD=ZA=25°，ZD=CBA-ZBCD=65°-25°=40°.点评:本题考查了直径所对的圆周角等于90。、弦切角定理、三角形外角性质.解题的关键是连接BC,构造直角三角形ABC.4、(2021兰州)如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到厶AC'B'

5、,则tanBz的值为()111血A、B、C、D、-考点:锐角三角函数的定义；旋转的性质。分析:过C点作CD丄AB，垂足为D,根据旋转性质可知，ZBz=ZB,把求tanB'的问题，转化为在RtABCD中求tanB.解答:解:过C点作CD丄AB,垂足为D.根据旋转性质可知，ZB'=ZB.在RtABCD中,CD1tanB=耳1.tanB'=tanB=m.故选B.点评:本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法.5、(2021兰州)抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是()A、(1,0)B、(-1,0)C、(-2,1)D、(2,-1)考点:二次函数的

6、性质。“专题:函数思想。分析:将原抛物线方程y=x2-2x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标.解答:解:由原方程，得y=(x-1)2，.该抛物线的顶点坐标是:(1,0).故选A.点评:本题考查了二次函数的性质.解题时，将原方程的一般形式利用完全平方差公式转化为顶点式方程后,再来求其顶点坐标.6、（2021兰州）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）B、c、D、考点:由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。专题:作图题。分析:找到从正面看所得到的图形即可.解答:解:从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，

7、右边1个正方形.故选D.点评:本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.7、（2021兰州）一只盒子中有红球m个，白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同，从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（）A、m=3,n=5B、m=n=4C、m+n=4D、m+n=8yy93y考点:概率公式。专题:计算题。m、n分析:由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系.解答:解:根据概率公式，摸出白球的概率，m+iu摸出不是白球的概率，771+71由于二者相同，故有一:,整理得，m+n=8,

8、故选D.点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种m结果，那么事件A的概率P（A）=.8、（2021兰州）点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）v'l_1431B、（）C、（）考点:特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标。分析:先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答.解答:解:tsin60°='，cos60°=A、D、(-T 点M（-W4）.T点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P'（m,-n）, M关于x轴的对称点的坐标是（-卡&q

9、uot;_4）.故选B.“紀点评:考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值.9、（2021兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:（1）b2-4ac>0；（2）c>1；（3）2a-b<0；（4）a+b+c<0.你认为其中错误的有（）考点:二次函数图象与系数的关系。专题:函数思想。分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答:解:(1)根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，=b2-4ac>0；故本选项

10、正确;由图象知，该函数图象与y轴的交点在(0,1)，C<1;yyyyy山故本选项错误；由图示，知占对称轴x=->-1；又函数图象的开口方向向下，aV0，-b<-2a，即2a-bV0,故本选项正确；曾yyyyw根据图示可知，当x=1，即y=a+b+cV0, a+b+c<0；故本选项正确；综上所述，我认为其中错误的是，共有1个；故选D.点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.10、(2021兰州)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为()A、(x+1)2=6B、(x+2)

11、2=9C、(x-1)2=6D、(x-2)2=9考点:解一元二次方程-配方法。专题:方程思想。分析:配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.解答:解:由原方程移项，得x2-2x=5，方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1,得x2-2x+1=6 (x-1)2=6.故选C.点评:此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.11、(2021兰州)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班

12、共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A、x(x-1)=2070B、x(x+1)=2070C、2x(x+1)=2070=2070考点:由实际问题抽象出一元二次方程。分析:根据题意得:每人要赠送X-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程.解答:解:根据题意得:每人要赠送X-1张相片，有X个人，全班共送：（x-1）x=2070，故选:A.点评:此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键.12、（2021兰州）如图，OO过点B、C,圆心O在等腰RtAABC的内部，ZBAC=90°,OA=1，B

13、C=6.则OO的半径为（）CA、6d、考点:垂径定理；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形。专题:计算题。分析:延长AO交BC于D,接OB,根据AB=AC，O是等腰RtAABC的外心，推出AO丄BC，BD=DC=3，AO平分ZBAC，求出ZBAD=ZABD=45°,AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可.解答:解:延长AO交BC于D,连接OB,TAB=AC,O是等腰RtAABC的外心， AO丄BC,BD=DC=3,AO平分ZBAC,777TZBAC=90°, ZADB=90°,ZBAD=45°, ZBAD=ZABD=4

14、5°, AD=BD=3, OD=3-1=2,由勾股定理得：OB=,°°一13.点评:本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理,垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键.13、（2021兰州）现给出下列四个命题:无公共点的两圆必外离；位似三角形是相似三角形；菱形的面积等于两条对角线的积；对角线相等的四边形是矩形.其中真命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4考点:命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换。专题:应用题。分析:根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果.解答

15、:解:无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误， 位似三角形是相似三角形，正确， 菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误， 对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，真命题的个数是1.故选A.点评:本题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比较综合，难度适中.14、(2021兰州)如图，已知:正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是()考点:二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：根据条件可知AEHBFECGF

16、DHG，设AE为x，贝VAH=1-x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2,进而可求出函数解析式，求出答案.解答:解:根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，可证AEH竺BFE竺CGF竺DHG.设AE为X,则AH=1-x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2即S=x2+(1-x)2.2222s=2x2-2x+1,所求函数是一个开口向上，对称轴是X.自变量的取值范围是大于0小于1.故选B.点评:本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决.15、(2021兰州)如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分

17、别平行于坐标轴，点C在反比+-2),则k的值为()-2)；根据“矩形ABCD的对角线的图象上，X兀二次方程即可.考点:待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质。专题:函数思想。分析:设C(x,y).根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B(-2,y)、D(x,BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义求得xy=4，又点C在反比例函数所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1；联立解关于k的解答:解:设C(x,y).四边形ABCD是矩形，点A的坐标为(-2,-2),B(-2,y)、D(x,-2)；矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，=，即xy=4；-2死丄十Z死十1又点C在反比例函数的图象上,

18、xy=k2+2k+1,由，得k2+2k-3=0，即(k-1)(k+3)=0, k=1或k=-3；k>0, k=1,点评:本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质.解答此题的难点是根据C(x,y)求得B、C两点的坐标，然后根据B、C两点所在直线的斜率列出方程匸=一二，即xy=4.二、填空题(本题5小题，每小题4分，共20分)16、(2021兰州)如图，OB是O0的半径，点C、D在O0上,ZDCB=27°,则/OBD=63度.考点:圆周角定理。分析:根据圆周角定理可得ZDOB=2ZDCB,再根据等边对等角可得ZODB=ZOBD，进而得到ZOBD=(180°-

19、ZDOB片2,即可得到答案.解答:解:TZDCB=27°,ZDOB=2ZDCB=27°x2=54°,TOD=OB, ZODB=ZOBD, ZOBD=(180°-ZDOB片2=(180°-54°片2=63°.故答案为:63°.点评:此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质，关键是找准角之间的关系.17、(2021兰州)某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1-彳，坝外斜坡的坡度i=i:i,则两个坡角的和为75°.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析:从实际情况和坡度值可以得到两个坡度角都为锐

20、角，并都是特殊角从而很容易解得.解答:解:坝内斜坡的坡度i=13,说明tga=，则a=30°外斜坡的坡度i=1:1,说明tgv=1,v=45度，两角和为75°.故答案为:75°.点评:本题考查了解直角三角形及其坡度计算，从坡度值以及实际情况可以得到两个坡度角都是锐角而解得.18、(2021兰州)已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心0所经过的路线长是（2n+50）米.00考点:弧长的计算。二22":v：“

21、加&；*：；:“加：&；*：；：；：*:;二分析:根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求.解答：11解:由图形可知，圆心先向前走0102的长度即二圆的周长，然后沿着弧0203旋转二圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，<90+90?-tt.2则半圆形的弧长l=2n,圆心0所经过的路线长=（2n+50）米.点评:本题主要考查了弧长公式l=nnr180，同时考查了平移的知识.解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长.

22、19、（2021兰州）关于x的方程皆a（x+m）1第二个矩形的面积是L）2x3-2=；+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，aH0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是-4,x2=-1.考点:一元二次方程的解。专题:计算题。分析:直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=-2-2=-4，x2=1-2=-1.解答:解:T关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，aH0）,则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=-2-2=-4，x2=1-2=-1.故答案为:X=-4，x2=-1.点评:此题主要考查了方程解的定义.注意由两个方程的特

23、点进行简便计算.20、（2021兰州）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第考点:矩形的性质；菱形的性质。专题:规律型。111分析:易得第二个矩形的面积为L）2，第二个矩形的面积为（I）4，依次类推，第n个矩形的面积为（二）加-2.解答:解:已知第一个矩形的面积为1；“11第二个矩形的面积为原来的（了）2边-2=1故第n个矩形的面积为：（）2nN点评:本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）总s1

24、_工21、（2021兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算*-4cosa-（n-3.14）0+tana+二.的值.考点:特殊角的三角函数值；零指数幕；负整数指数幕。专题:计算题。分析:根据特殊角的三角函数值得出a,然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幕、负指数幕的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果.解答:解:sin60°=，a+15°=60°,a=45°，匂匂匂匂原式=2.2W-1+1+3=3.点评:本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幕、负指数幕的性质及实数运算法则，难度适中.22、（2021兰州）

25、如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x,B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x,y）.记s=x+y.请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏:当SV6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？考点:游戏公平性；列表法与树状图法。分析:（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；游戏是否公平，求出游戏双

26、方获胜的的概率，比较是否相等即可.解答:Yx12342(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(2)TP(甲获胜)=7刍j,g2P（乙获胜）=2，这个游戏不公平，对乙有利.点评:此题主要考查了游戏公平性的判断.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平.23、（2021兰州）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是

27、:“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是'每天锻炼超过1小时"的学生的概率是多少？“没时间"锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；2021年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2021年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？请根据以上结论谈谈你的看法.I-第対題圈45010150迦2502CDISOLOD50n1小时未趙ill小时锻炼未超过1.4逊r频数分布團20=1_不喜欢没时间苴它原因用样

28、本估计总体；扇形统计图；概率公式。考点:频数(率)分布直方图；分析：(1)根据扇形统计图得出，超过1小时的占90°，利用圆心角的度数比得出概率；1Z703利用"每天锻炼超过1小时"的学生的概率是匚，得出未超过1小时的为声=匚，即可得出总人数，再利用条形图求出；(3)利用样本估计总体即可得出答案；根据锻炼身体的情况可以提出一些建议.小林小901解答:解:=选出的恰好是"每天锻炼超过1小时”的学生的概率是;270720X=540（人），540-120-20=400人，“没时间”锻炼的人数是400；1(3)2.4x(1-二)=1.8(万人)，2021年兰州市初

29、二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人.根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现，同学们需要加强锻炼.说明:内容健康，能符合题意即可.点评:此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用，根据扇形图与条形图综合应用得出每天锻炼未超过1小时的概率是解决问题的关键.24、(2021兰州)已知:如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数=一(x>0)的图象交于点P.PA丄xOC_1轴于点A,PB丄y轴于点B.次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D,且SDbp=27,求点D的坐标；求一次函数与反比例函数的解析式；yyy根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？考点:反比例函数与一次函数

30、的交点问题。专题:计算题；数形结合。分析：(1)本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标.QC_1(2)本题需先根据在RtACOD和RtACAP中，,OD=3,再根据Sdbp=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果.根据图形从而得出x的取值范围即可.解答:解:(1)t一次函数y=kx+3与y轴相交根据题意，得:D(0,3)“在RtACOD和RtACAP中,OD=3 AP=6,0B=6.DB=9RtADBP中，:产尸=27, BP=6,P(6,-6)一次函数的解析式为:丁二-3反比例函数解析式为:根据图象可得:当x>6时，一次函数的值小于反比例函数的值.点评:本题

31、主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题,在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键.25、(2021兰州)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.请完成如下操作： 以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD、CD.请在(1)的基础上，完成下列问题： 写出点的坐标:C(6,2)、D(2,0)； OD的半径=/习结果保留根号)； 若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为n(结果保留n)； 若E(7,0),试判断直线E

32、C与OD的位置关系并说明你的理由.考点:垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图一复杂作图。分析：（1）根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；利用中所作的坐标系，即可表示出点的坐标； 在直角厶OAD中，利用勾股定理即可求得半径长； 可以证得/ADC=90。，利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积； 利用切线的判定定理，证得ZDCE=90°即可.解答：（本题满分9分）!K»«!丄亠七丄上'+=1O解：（1建立平面直角坐标系E”匸-（1分）yv找出圆心（3分）（2）C（6，2）；D（2，0）（5分）2飞（6分） n（7分） 直线EC与OD相切

33、（8分）证CD2+CE2=DE2=25（或通过相似证明）得/DCE=90°（9分）直线EC与OD相切.故答案为:C（6，2）；D（2，。乙门n点评:本题主要考查了垂径定理，圆锥的计算，正确证明DCE是直角三角形是难点.26、（2021兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad）,如图，在ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作EC?sadA，这时sadA=底边/腰=手.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也

34、是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°=.（2）对于0°VAV180°,ZA的正对值sadA的取值范围是0VsadAV23（3）如图，已知sinA=g，其中ZA为锐角，试求sadA的值.图考点:解直角三角形。专题:新定义。分析：(1)根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答;求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；(3)作出直角厶ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答.解答:解：(1)根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等

35、边三角形，则sad60°=1.故答案为：1.(2) 当/A接近0°时，sada接近0,当/A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sada接近2.于是sadA的取值范围是0VsadAV2.故答案为0<sadAV2.3(3) 如图，在ABC中，ZACB=90°，sinZA=.在AB上取点D,使AD=AC，作DH丄AC,H为垂足，令BC=3k，AB=5k,I22贝9AD=AC=-(3k)=4k，亠3又在ADH中，ZAHD=90°，sinZ运.DH=ADsinZA=k,AH='k.4-贝在厶CDH中,CH=AC-AH=k,CD

36、=.k.于是在ACD中，AD=AC=4k,CD=kCD"TS""TS"由正对的定义可得:sadA=,“即sada=*.点评:此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答.27、(2021兰州)已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.求证:四边形AFCE是菱形；若AE=10cm,ABF的面积为24cm2,求厶ABF的周长；在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP?若存在，请说明点P的位置，并

37、予以证明；若不存在,请说明理由.考点:相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换(折叠问题)。专题:几何综合题。垮垮垮垮分析:通过证明厶AOE竺COF,可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC,即可证明;(2)由勾股定理得AB2+FB2=100,ABF的面积为24cm2可得，ABxBF=48；变换成完全平方式，即可解答；过点E作AD的垂线，交AC于点P,通过证明厶AOE-AEP，即可证明；解答:证明:由题意可知OA=OC，EF丄AO，TADIIBC，ZAEO=ZCFO，ZEAO=ZFCO，AOE竺COF，AE=CF，又AEIICF，.四边

38、形AECF是平行四边形，TAC丄EF，7777 四边形AECF是菱形；T四边形AECF是菱形，.AF=AE=10cm,设AB=a,BF=b,ABF的面积为24cm2, a2+b2=i00,ab=48, (a+b)2=i96,a+b=14或a+b=-14(不合题意，舍去), ABF的周长为14+10=24cm；存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P,点P就是符合条件的点；证明:TZAEP=ZAOE=90°,ZEAO=ZEAP, AOE-AEP, 77=7T， AE2=aoAP,T四边形AECF是菱形，1 AOfAC,_B AE2=ACAP,2AE2=ACAP.点评:本题考查了相似和全等

39、三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.28、(2021兰州)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D求抛物线的解析式.如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同蚌蚌时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2) 试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； 当S取3时，在抛物线上是否存在点R，使得以p、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.考点