垂直于弦的直径

1、垂径定理教学设计一、引言教师对教材深入开发和挖掘，创设有利于学生的问题情境，给学生轻松、愉快、平等、有趣、和谐的教学环境。在教学中达到师生共同相互参与，学生积极主动地投身到教学过程中来。教师充分关注学生的自我体验、自我发现、自我反思。让学生达到自主学习、掌握知识、发展能力、促进自身主体性发展，方可推进有效课堂教学。本文在初中数学“垂径定理”课堂教学中使用参与式教学模式，通过创设问题情境，改进活动探究问题，有效地完成了“垂径定理”的学习内容，学生获得记忆最深刻的知识。二、背景：人教版九年级上册数学，1.2垂直于弦的直径，新授课，酒泉市二中九年级（5）班学生，共有54人，上课时间2017年3月9日

2、。教材设计是这样的：共有5个部分。1、情境引入，提出问题以我国隋代建造的石拱桥赵州桥为背景，已知它的跨度为37.4米，拱高7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2、活动探究，做好准备用纸剪一个圆，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？3、展开思考，有所发现如图，AB是OO的一条弦，做直径CD使CDLAB,垂足为E.（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？4、分析归纳，得到定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。5、应用定理，解决问题最后利用垂径定理、勾股定理求出赵州桥主桥拱的半径是2

3、7.9m三、提出问题教材中的教学设计存在的问题：在第二个环节“活动探究，做好准备”，用纸剪一个圆的探究活动，活动还不够深入。在第三个环节“展开思考，有所发现”，应更改设问，因为原来设问的内容太直接，且问题不够开放。只有这样更改，在第三个环节“分析归纳，得到定理”，才会产生有效的知识迁移，学生会获得记忆最深刻的知识。四、解决问题理论依据：建构主义认为，学生不是被动的学习者，而是主动地根据先前的经验和已知的知识进行主动的建构，知识不能被灌输、强加。学生应在体验、领悟和创造中学习。通过有目的的观察、动手实验由内到外主动建构。教学过程是师生的双边活动，数学教学是数学思维活动的教学，其范型为过程+结果；

4、教师的主体性主要表现为设计利于学生主动建构知识的环境。教师所应从事的活动为：支持学生的自主性；支持学生的反省行为；设计反映学生学习实际和教师对学习材料理解的案例；以案例为基础与学生共同商讨一种可能的学习方案；回顾学习步骤。交互性、协商性、合作性、反思性等特征，是建构主义对数学教学过程的基本解释。“参与式教学”是一种较为复杂的教学方式，它要求教师留出空间、时间供学生思考，创造给他们相互学习的氛围，让参与者发现他们的发言如何影响到了同伴的思考。“参与式教学”的目的就是让学生在参加的过程中体验并学会学习，进而成为一种能力。于是本堂课的教学设计作出如下改变：1、教学设计成“参与式教学”。2、“探究”沿

5、任意直径对折圆的问题，再增加一问：“沿任意弦对折呢，你发现了什么？”3、“思考”题改为：AB是OO的弦，请你寻找弦AB的中点，有几种方法？五、教学实录课前准备：学生备好要用的纸、剪刀、直尺等。教师用多媒体课件展示部分图片。学生前后排为一个学习小组，安排好组长、中心发言人，计时员等、全班共有11个小组。教学过程：1、情境引入，提出问题略2、活动探究，做好准备师：用圆规在纸上画出一个圆（大一些的），标上圆心0。然后用剪刀把这个圆剪下来。生：画出一个圆，标上圆心0,并剪下了圆。（大多数学生都认真、仔细的做）师：在OO上画出几条直径，画1条、2条或3条都可以。（教师提示）有几人）生：有的画出1条直径，

6、有的画出2条或3条直径，有的把直径画成了弦师：把OO沿着它的直径对折，你发现了什么？生：沿着OO的直径对折。（多数学生都可以完成）生1：重合。生2：对称。生3：是个半圆。生4：圆是个轴对称图形?（学生们积极回答）生：圆是轴对称图形，直径是它的对称轴。师：万洪彬同学，你对折的圆是这样的吗？生：一次重合，另一次不重合。（学生笑，教师示意并开始安静）师：还有同学是这样吗？生：好像不重合、我的两次都不重合?（教室安静，学生精力集中）师：请万洪彬等同学上来演示（共3位学生），看看有什么问题。生1：没有对整齐生2：画的不是直径、生3：要折两次?师：请同学们再补充归纳一下吧。生：圆是轴对称图形，直经都是它的

7、对称轴，弦不是它的对称轴。（教师表扬）师：圆沿着它的直径对折后是什么图形？（转而又问）生1：半圆.生2：它是轴对称图形。（教师表扬）师：圆沿着它的弦对折后是什么图形？（教师出示图1）生1：帽子。（教师出示图2，同学笑）生2：是轴对称图形。师：是轴对称图形，为什么？对称轴在那里？生：思考、开始作垂直、半径、对折等?图4师：配合学生在图1、图2上演示。生1：把“帽子”对折。（图3）生2:对称轴是过0作AB的垂线。生3：对称轴只有1条。生4:作AB的垂线平分线。师:我们把这个“帽子”叫做弓形，它是由弦和弦所对的弧组成的图形。弓形是轴对称图形，它有一条轴对轴。（教师出示图4）图1图2图33、展开思考，

8、有所发现师：如图5,AB是OO的直径，那么AB的中点是？生：AB的中点是点Q因为AOBO是半径，且AO=BO.（教师表扬）师：如图6，AB是OO的弦，那么AB的中点是？师：我们换一种提法？怎样找到AB的中点？你能想出几种办法？师：同学们可以小组讨论，也可以独立思考？生：开始讨论、思考。（积极性很高）图5图6生：共归纳了8种方法（教师整理）。1用刻度尺量出AB的长度，算出AB一半的长度，就可以找到它的中点。2、连接OAOBAOB是等腰三角形，过O作OCLAB于C,则点C是AB的中点。3、过O作OO的直径CDLAB于E,则点E是AB的中点。4、找到弧AB的中点C,连接OC与AB相交于D,则点D是A

9、B的中点。5、作线段AB的垂直平分线MN垂足C是AB的中点。6、过O作CD/AB连接BCAD相交于E,作直线OE交于F,则点F是AB的中点。7、在纸上画出OO和弦AB再用剪刀把OO剪下来，对折OO,使AB重合（点A、点B重合），折痕与AB的交点就是AB的中点。8、在纸上画出OO和弦AB再用剪刀把OO剪下来，沿AB折叠，再对折“帽子”（弓形），使AB重合（点A、点B重合），折痕与AB的交点就是AB的中点。?4、分析归纳，得到定理略5、应用定理，解决问题略六、自评与反思“垂径定理”课堂教学并不困难，一般两个课时便可完成教学内容，学生普遍能够掌握，但随后学生在使用“垂径定理”时，我发现学生总出现以下

10、问题：1、未能记住平分弦。当已知弦的长度，未能求出它的一半。2、未能记住平分弦所对的两条弧。两段等弧所对的圆周角相等在很多题型中都会出现。3、未能构造出直角三角形。连接半径后将得到一个直角三角形，可用到勾股定理。4、未能理解“垂径定理”中垂直于弦的直径这一核心的条件。5、未能记住“垂径定理”中所有结论。我在过去的教学设计中，主要围绕解决第4、第5这两个问题，通过数学的三种语言互相转换使学生明白。按图形语言t文字语言t符号语言反复进行讲解。文字语言符号语言条件：垂直于弦的直径。/CDDO的直径主要讲清两个对象（直径和弦），且CDLAB一种关系（直径丄弦）。ABBE结论：平分弦，并且平分弦弧人0弧

11、BC所对的两条弧。弧人4弧BD主要讲清E是AB的中点，C是优弧AB中点，D是劣弧AB中点。反思整个教学过程，我忽视了学生是教学活动的主体，而教师却扮演了“传话筒”的功能，把教材内容通过讲授教给学生，很少让学生活动参与体验和探究问题。这样安排教学虽然加快了初三的教学进度，但实践下来却发现问题很多。因学生未能亲身参与问题的活动探究，对知识的理解不可能深刻，不可能记得牢固。更糟糕的是没有学生的主动参与，课堂教学显得很沉闷，学生学习积极性不高，长期如此的被动学习方式势必冲淡学生的学习兴趣，更谈不上提高学生的分析解决问题能力、创新思维能力，提高学生的综合素质能力。结合过去的教学得失，通过重新思考，重新设

12、计，我把“参与式教学”用于本堂课的教学，深刻感受到了参与式教学给我带来的喜悦。有几点体会如下：1、营造出活跃、积极的学习气氛。增大了学生的学习参与面。2、多数学生获得了清楚的知识，牢固掌握“垂径定理”。3、开放式的问题设计，使学生主动参与，积极思维，主动探索。4、解决的问题方法多样，启发性强，学生自身体验价值和成功的喜悦。5、提高了学生的学习兴趣，浓厚学习兴趣是使学习进行下去的关键。七、结束语1、可以肯定“参与式”教学增强了学生主体的责任感与使命感，增强了合作意识、提高了交往的能力，有利于学生追求和实现自我价值。对培养学生学习兴趣，形成良好思考习惯，主动参与学习，提高解决问题能力有益。2、“参与式”教学要求教师要精心设计，做好充分的准备，包括问题情景的创设，教学过程的设计，突发问题的应对，时