圆锥曲线题型归类总结

1、高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：(1)椭圆(2)椭圆(3)椭圆2、定义的应用(1)寻找符合条件的等量关系(2)等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M与圆C:(x+1)2+y2=36内切，与圆C2:(x-1)2+y2=4外切，求圆心M的轨迹方程。例2、方程反而可一而罚守二B表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：1、椭圆：由'分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由才“，项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题22例1

2、、已知方程4一1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是|m|12m2二1的曲线:5k2X例2、k为何值时，万程9k是椭圆；是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、椭圆焦点三角形面积Sb2tan；双曲线焦点三角形面积Sb2cot222、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、mn,mn,mn,m2n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题22例1、椭圆:51(ab0)上一点P与两个焦点Fi,F2的张角/abF1PF2,求证：FFE的面积为b2tan一。2例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且/凡愿60'求

3、该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题220)的两焦点，以线段F1F2为例1、已知三、F2是双曲线斗41(a0,bab边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(B.31C.-A-JD.312例2、双曲线一2a2yb21(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B

4、.1,3C.(3,+)D.3,22例3、椭圆G:3与1(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0),椭圆上存在ab点m使FMF2M0.求椭圆离心率e的取值范围；22例4、已知双曲线占匕1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直ab线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A)(1,2(B)(1,2)(C)2,)(D)(2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系22点在椭圆内:121ab22点在椭圆上1ab22点在椭圆外xy当1a2b22、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：>0相交=0相切(需要注意二次项系数为0的

5、情况)<0相离3、弦长公式：AB<1k2x1x2，1k2(x1x2)d'1k2'laABW,1y2卡表(y1y2)14、圆锥曲线的中点弦问题：1、伟达定理：2、点差法：(1)带点进圆锥曲线方程，做差化简(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点，若|AB|=2五,O为坐标原点，OC的斜率为<2/2,求椭圆的方程。题型六：动点轨迹方程:1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定

6、点的范围；2、求轨迹方程的常用方法：(D直接法：直接利用条件建立几t之间的关系声比用=0；例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线五三3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M(m0)(那,端点A、B到x轴距离之积为2项以x轴为对称轴，过A、。B三点作抛物线，则此抛物线方程为(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例3、由动点P向圆'+¥1作两条切线PAPB,切点分别为A、B,/APB=6

7、0,则动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线上叶的距离小于1,则点M的轨迹方程是例5、一动圆与两圆。M和。N:”*/一.+LQ都外切，则动圆圆心的轨迹为代入转移法：动点而出依赖于另一动点。如)的变化而变化，并且0("口)又在某已知曲线上，则可先用"的代数式表示加注,再将刈外代入已知曲线得要求的轨迹方程：例6、如动点P是抛物线"川+】上任一点，定点为小0,7，点M分后所成的比为2,则M的轨迹方程为（5）参数法：当动点尸（兀向坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将小，均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，冉消去参数得普通方程

8、）。例7、过抛物线炉=4,的焦点F作直线?交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+n的区另U）二、设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）OAOBK1?K21“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”题”X1X2y1y2>0;“等角、角平分、角互补问题

9、”OA?OB0x1x2y1y20向量的数量积大于、等于、小于0问斜率关系（KiK20或KiK2）；“共线问题”（如：AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元

10、素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已

11、知点F0,1,直线l:y1,P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q,且QPQFFPFQ.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D0,2,圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DAl1"DB|l2,求上12的最大化I2li例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODLAB,Q为线段OD的中点，已知|AB=4,曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA+|PB的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点MN,且M在DN之间,设DM=入,求入的取值范围.DN22例3、设Fi、F2分别是

12、椭圆C:3与1(ab0)的左右焦点。ab(1)设椭圆C上点(品到两点Fl、F2距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程;(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线PM,PN的斜率都存在，并记为kpM,kpN,试探究kpMKpn的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；(H)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右

13、顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.例5、已知椭圆两焦点Fi、F2在y轴上，短轴长为2盘,为叵,P是椭圆在第一象限弧上一点，且2PF1PF21,过P作关于直线FiP对称的两条直线PA别交椭圆于A、B两点。(1)求P点坐标；离心率(2)求证直线AB的斜率为定值；典型例题：例1、解=设产（匹丁），则0居1），二（。沙+1）工一工2）=（“一1网儿-2）.即2（y+1）=/一2（y7）,即7=4y,所以动点P的轴迹c?的方程1=4了.（2） S¥；设圆M的局心坐标为（口户%则公二4匕.-前的半径为1版刃|=J?+-2y.国”的方程为卜-4十bY）W十侬-2令尸二。，则（la+B&

14、#39;=/+伯一2）整理得，/一20齐+4&-4=。.由、解得，xa2.不妨设Aa2,0,Ba2,0,liaa224,12aa224.L121121222a216I2liI1I2.a46416a24a464当a0时，由得，-匕2j116<2Jj12J2.1211a26428当且仅当a2应时，等号成立.当a0时，由得，L艮2.1211故当a2战时，L匕的最大值为2点.l2I例2、解：(1)以AROD所在直线分别为x轴、y轴，rO为原点，建立平面直角坐标系，|PA+|PB|=|QA+IQB=2J22i22十>|ab=4.曲线C为以原点为中心，AB为焦点的椭圆.设其长半轴为a,

15、短半轴为b,半焦距为c,则2a=2括，.二a=V5,c=2,b=1.2曲线C的方程为土+y2=1.5设直线l的方程为y=kx+2,2代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.5A=(20k)24X15(1+5k2)>0,得k2>3.由图可知DM上=入5DNx2由韦达定理得Xix2将Xi"入X2代入得(122)X22400k222(15k2)22X21515k2两式相除得")2k2(1)216320k15k21515k22400k215(15k2)3,5803(5-7)k20口心，即4380X1X2DMDNDMDN0,-1解得3可在DN中间,16又

16、当k不存在时，显然入=%1(此时直线l与y轴重合)DN3综合得：1/30入1.3、解：(1)由于点(瓜昱)在椭圆上,2_32K3-1得2a=4,2ab椭圆C的方程为,焦点坐标分别为(1,0),(1,0)(2)设KF1的中点为B(x,V)则点K(2x1,2y)2把K的坐标代入椭圆42y3线段KF1的中点B的轨迹方程为(x2L134分(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点设M(X0,y0)N(X0,y0),p(x,y),N关于坐标原点对称M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,2X02a2V。b222上1a2b210分kK=10kPMkPNXX022yv。yv。22xX0XX013分故：kpMKpn的值

17、与点P的位置无关,14分同时与直线L无关,X2例4、解：(I)椭圆的标准万程为一4(5分)(H)设A(X1,y1),B(X2,y2),ykxm,联立x2y2得(34k2)x28mkx4(m23)0,1.4364m2k216(34k2)(m23)0,即34k2m20,则x1X2Xi%8mk34k2'24(m23)34k2.22又y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m3(m24k2)34k2'因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),kADkBD'即/上1,yiy2xix22(xix?)40,3(m24k2)34k24(m23)234k216mk

18、234k2_22_9m16mk4k0.-2k解得：mi2k,m2,且均湎足34km0,1、当mi2k时，l的方程为yk(x2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k222、当m2至时，l的方程为ykx2,直线过定点-,0777所以,直线l过定点，定点坐标为(14分)22例5、解(1)匕1Fi(0,&),F2(0，扬，设P(x0,y0)(x00,y00)则PFi(x°q2y。),欣(x0.2y。),22PFiPF2x2(2y2)1:点P(x0,y0)在曲线上，则2x02弓1.x244y22.42c从而:(2y0)1，得y0亚,则点P的坐标为(1,72)(2)由(1)知PF/x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k0),则PB的直线方程为：y度k(x1)y2k(x由22ixy1241)得(2k2)x22k(、,2k)x(、,2k)2设B(xb，yB工则xb2k(k.2)2k2k22.2k22k2同理可得Xak222k则xx小xAxB22kVaVbk(xA1)k(xB1)所以：AB的斜率kAByAyB8k2k2、.2为定值例6、解:XaXb(1)由2/31|OF|FP|sin，得|OF|FP|243.,由cossin2F巴旦,|OF|FP|4.3徂存tan0,的取值范围是(一,一)43(2)设P(x0,y。),则FP(x。c,y0