复变函数积分方法总结

1、复变函数积分方法总结acer选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iyi2=-l,x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z)zy=Im(z)oargz=0i6称为主值“色工兀,Arg=argz+2k7T。利用直角坐标和极坐标的关系式x二rcos。,y二rsin。,故z=rcos0+irsinO；利用欧拉公式e,e=cos0+isin0oz=re'°o1.定义法求积分：定义：设函数w寸(z)定义在区域D内，C为区

2、域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=Zo,Z1，-,Zk-l，Zk，Zn=B,在每个弧段第五(1<=1,2n)上任取一点盘并作和式5n=Xk-if()(Zk-Zk-i)=“盘切网记zk=Zk-Zk，弧段的长度巴?黑5k)(kE，2,n),当6->0时，不论时C的分发即盘的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(Z)沿曲线C的积分为：fcf(z)dz=lim50Sk-if()Azk设C负方向(即B到A的积分记作)/_f(z)dz.当C为闭曲线时，f(z)的积分记作f(z)dz(C圆周正方向为逆时针方向)例题:计算积分1)(dz2

3、)f2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。(1)解：当C为闭合曲线时，fcdz=O.Vf(z)=l5n=Xk-if(fe)(Zk-Zk-i)=b-a/.limn.>oSn=b-a,即1)(dz=b-a.(2)当C为闭曲线时，J；dz=O.f(z)=2z;沿C连续，则积分(zdz存在,设金Zk.1,则Ei二(k1)(Zk-Zk-i)有可设<QZk，则±2二Xk-iZ(k-1)(Zk-Zk-D因为Sn的极限存在，且应与£1及22极限相等。所以5户(Ei+E2)=Ek-izk(Zk-Zk-i)=b2-a2fc2zdz=b2-a21.2定义衍生1：参数法：f二u(x,y

4、)+iv(x,y),z=x+iy带入工f(z)dz得：fcf(z)dz=fcudx-vdy+(vdx+udy再设z=x+iy(t)(aWtWB)ff(z)dz=ff(z(t)z(t)dt参数方程书写：z=z0+(zrz0)t(0<t<l)；z=z0+re,e,(0<0<2k)例题1：fz2dz积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=(3+i)t)+72(12=4(3+-)2(3+»,dt=(3+i)3j01t2dtz26.=6+i3例题2：沿曲线y二x?计算J0rH(x2+iy)dz解：参数方程；匚或z=t+it，(0<t<l)Jf：+，(x

5、2+iy)dz=JQ1(t2+it2)(1+2it)dt=(l+i)fo(t2dt)dt+2iJt3dt1 5.=-FT661.3定义衍生2重要积分结果：z=zo+re10.(0<9<2tt)由参数法可得：(£-=f2Kireied6=-f1+ie-inedO*mC(ZZ0)n+1J。ei(n+l>©rn+lpHJ。Jdz2nin=0%(z-z0)n+1"ton¥0rdZrdZ例题LG|=l二例题2：必=1Q2解：=0解=2ni2 .柯西积分定理法：2.1 柯西古萨特定理：若fdz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：&#

6、167;f(z)dz=O2.2 定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点Zo与终点Z1来确定。2.3 闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与G是D内两条正向简单闭曲线,G在c的内部，且以复合闭路二C+G所围成的多连通区域G全含于b则有:Jf(z)dz=，f(z)dz+f(z)dz=OCCj即。f(z)dz=f(z)dzcC1推论：§f(z)dzN忆iff(z)dzcck例题Mdzc为包含。和i的正向简单曲综解：被积函数奇点z二。和z=l.在C内互不相交，互不包含的正向曲线Ci和C2oz2-z2z12z1jr2z1j；"dz+q)

7、；"dzZ(l-z)Jc2z(1-z)+-dz4-4-dzz-lZ,c2z-lz4uclz-ldz+4-dz+Zc2dz+-dzz-lc2Z=O+2Tri+2rri+O=4tti2.4 原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点Zo与终点Zi有关，即fcf(Od<=£if(9d4这里的和Zo积分的上下限。当下限Zo固定，让上限Z】在B内变动，则积分斑B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=fzlf(Od所以有z0若f(z)在单连通区域B内解析,则函数F(z)必为B内的解析函数,且F6)寸(z),根据定理2.2和

8、2.4可得f(z)dz=F(zD-F(z0).z()例题：求。zcoszdz解：函数zcosz在全平面内解析1j：zcoszdz=zsinz|o-Jsinzdz=isini+cosz|)=isini+cosi-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5 柯西积分公式法：设B为以单连通区域,Z。位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数照Z-Zq在Zo不解析，所以在B内沿围绕Zo的闭曲线C的积分人里dz一般CZ-Zo不为零。取Zo位中心，以5>0为半径的正向圆周|z-Zol二b位积分曲线小,由于f(z)的连续性，所以f-dz=f-dz=2Tr

9、if(Zo)Jcz-zoJCsz-zo、J2.5.1 定理：若f(z)在区域b内解析，c为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，zo为C内的任一点，有：f(z。)嗫4胆dzz-z0例题一)心2等dz解：二2ttisinz|z=o=O2)(£.£dz1z|=2(9-z2)(z+i)z解：=4zl2¥TdZJ|z|=2z-(-i)=2-nZ=-,=F2.6 解析函数的高阶导数:解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为f3)(zo)二亲f.曲二1,2)其中C为f(z)的解析区域D内围绕Zo的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：&|dzC：

10、|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式:原式:2巾能，)码吗3 .解析函数与调和函数:定义：(1)调和函数：如果二元实函数(p(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：需言二0,则称(p(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确(2)共规调和函数:u(x,y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共辗调和函数。若v是u的共拢调和函数，则-u是v的共规调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共规调和函数。3.1 求解

11、方法：(1)偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数会二券两边对y积分得v=/黑dy+g(x).再由新二-3又得/Mdy+g6)=-詈从而g(x)二/一兽一白/鲁dydx+CdxJdxJz0yokzjlQydxJdx'1*丫+八_新_/+dydx+C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2 不定积分法：因为f&)=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVx所以f(z)=JU(z)dz+cf(z)=fV(z)dz+c3.3 线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的.嘤dx+新dy二一新dx+/萨dy故虚部为(X，y)Ou.Ou(V二/

12、、一7dx+-dy+CJ(xo.y0,)药dx该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共筑函数v(x,y)级解析函数f(z”u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R条件d2uo卡-2duc011cd2uc-=2x+y=-2y+x=2dxOydxz所以满足拉普拉斯方程，有dvducdvdio-=二2y-x-=t-=2x+ydxdyrdydx1所以v=/(2y-x)dx+(p(y)=2xy-y+<p(y)萨二2x+(p(y)=2x+y<p(y)=y叩(y)二3cv(x7)=2xy-y+cf(z)=u(x/y)

13、+iv(x/y)=|(2-i)z2+iC4 .留数求积分：留数定义：设Zo为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、O<|z-zo|<6，我们把f(z)在zo处的洛朗展开式中负一次基项系数j称为f在zo处的留数,记为Resf,玄即Resf(z),z0=c.i1或者Resf(z),z0=af(z)dzC为0<|z-Zo|<64.1 留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点ZZ2Zn,&f(z)dz=2TTi2g=1Resf(z),zk其中Zk表示函数f(z)的孤立奇点4.2 孤立奇点：定义:如果函数/在Zo不解析，但在Zo某个去心邻域O<

14、|zZo|<b内解析，则称zo为f(z)的孤立奇点。例如L£都是以z=0为孤立奇Z点函数以z=-l、z=2为孤立奇点(z+1)(z+2)在孤立奇点Z二Zo的去心邻域内，函数f(z)可展开为洛朗级数n/N葭8"(z-zo)洛朗级数中负事项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在Zo处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点Zo的类型：4.2.1可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点Zo的去心邻域内的洛朗展开式中不含负某项，即对一切n<0有品;0,则称Zo是f(z)的可去奇点因为没有负某项,即c分0,(E,2.)故遇到函数千的奇点、类型是可去奇点，一般对函数&

15、#163;求积分一般为零必f(z)dz=2Tri3=1Resf(zXzk=0o期新可去奇点方格函数/在某个去心邻域0<|z-z0|<8内解析，则zo是f(z)的可去奇点的充要条件是存在极限(Z)"o,其中J是一复常数；在的假设下，Zo是f(z)可去奇点的充要条件是:存在rWb,使得f(z)在O<|z-Zo|<r内有界4.2.2 极点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负曷项，即有正整数m,c_mW0,而当n<-m时c.n=0则称Zo是f(z)的m级极点。C-m+C-m+l""Tn十m+T+'z-

16、z0)(z-z0)+-EzaCo+c1(z-Zo)n>rn+-+Co(z-zo)nZ-Zo这里C_m#。，于是在0<|z-Z()|<b有f(Z)=C-m.C-m+1m(z-z0)妥Co+Ci(Z-Zo)tWn+Co(Z-Zo)n+:Fr?(p(z).Z-Zo(Z-Zo)川m+1(z-z0)其洛朗展开式是：f(z)二<p一个在0<|zZo卜6解析,同时(p(z)¥O,则Zo是f(z)的m级极点。判断定理：(1)f(z)在Zo的去心邻域0<|zZokb解析，Zo是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。(2)zo是f(z)的m级极点的充要条件

17、是limzTz。f(z)=8.4.2.3 本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负曷项，则称Zo是f(z)的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限limzTZof(z)。4.3 函数在极点的留数：准则一：若Zo为一级极点，则Resf(z),z0=limzTZof(z)(z-z0)准则二：做Zo为m级极点，则Resf(z)，z小氤圾爵(z-z°)mf(z)准则三：设f(z)二照,P(z)以及Q(z)都在Zo解析，如果P(Zo)=O,QQ(z0>0,则Zo是f(z)的一级极点，而且:Resf(z),z0=4.4

18、无穷远处的留数：定义:扩充z平面上设z=8为f(Z)上的孤立奇点，即f(Z)在R<|z|<+00内解析，C为圆环绕原点Z二0的任一条正向简单闭曲线，则积分值亲打dz称为f(z)在Z=8处的留数，记作Resf(z),8二白gtf(z)dz如果f(z),在R<|z|<+8内的洛朗展开式为f(z)=E=-oocnzn贝|J有Resf(z)zc»=-c.i4.4.2 如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远处在内)设为Z,Z2,，zn,8则f(z)在各奇点的留数总和为零，即Ek=iResf(z)dz+Resf(z),oo=0;4.4.3 Resf(z),oo=-Resf(1)«0例题：求下列Res夕,8的值(1)f(z)=z2-l(2)f(z)=z(z+1)4(z-4)解：(1)在扩充复平面上有奇点：±1,00,而±1为f(z)的一级极点且Resf(z),l=limz_>1(z-l)f(z):limzTi-=-eResf(z)rl=limz(z-l)f啊二六VResf(2),00+Resf(z)4+Resf(z)rl=0得:.Resf(z)zoo=-Resf(z),l+Resf(z)rl=-(e-1+e)=-shl2(2)由公