反常积分与含参量积分ppt课件

1、定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间),a上上连连续续，取取ab ，如如果果极极限限 babdxxf)(lim存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),a上上的的广广义义积积分分，记记作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim12.112.1无穷积分无穷积分第十二章第十二章 反常积分与含参量的积分反常积分与含参量的积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b 上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b

2、上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设函数设函数)(xf在区间在区间),( 上连续上连续, ,如果如果广义积分广义积分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛，则都收敛，则称上述两广义积分之和为函数称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),( 上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(li

3、m极极限限存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散. .例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 11dx

4、xp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.例例 4 4 证明广义积分证明广义积分 apxdxe当当0 p时收敛，时收敛，当当0 p时发散时发散.证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间

5、在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .12.2 12.2 瑕积分瑕积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如

6、果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上除点上除点)(bcac 外连外连续，而在点续，而在点c的邻域内无界的邻域内无界. .如果两个广义积分如果两个广义积分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收敛，则定义都收敛，则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxx

7、f)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分为瑕点，以上积分称为瑕积分.例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 证明广义积分证明广义积分 101dxxq当当1 q时收敛，当时收敛，当1 q时发散时发散.证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2

8、( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 1003

9、2)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 无界函数的广义积分瑕积分无界函数的广义积分瑕积分无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(留意：不能忽略内部的瑕点留意：不能忽略内部的瑕点 badxxf)(小结小结思索题思索题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx思索题解答思索题解答积分积分 能够的瑕点是能够的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕

10、点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、 广义积分广义积分 1021xxdx_；6 6、 广义积分广义积分 xdttf)(的几何意义是的几何意义是_ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收

11、敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为为自自然然数数n） ；4 4、 202)1(xdx；5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为为何何值值时时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为为何何值值时时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .一、一、

12、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左边, ,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、发散；、发散； 5 5、322； 6 6、0 0； 7 7、!)1(nn . .三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11； 当当1 k时发散时发散. .四、四、 xxxxxdttfx2,120,410,0)(2. .练习题答案练习题答案12.3 12.3 无穷限的广义积分

13、的审敛法无穷限的广义积分的审敛法收收敛敛上上有有界界，则则广广义义积积分分在在若若函函数数且且上上连连续续，在在区区间间定定理理设设函函数数 axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不经过被积函数的原函数断定广义积分收不经过被积函数的原函数断定广义积分收敛性的断定方法敛性的断定方法.由定理由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理分有以下比较收敛原理也发散也发散发散，则发散，则且且并并也收敛；如果也收敛；如果收敛，则收敛，则并且并且上连续，如果上连续，如果区间区间在在、设函数设函数比较审敛原理比较审敛原理定理定理 aa

14、aadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2证证.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收敛，得收敛，得及及，由，由设设上上有有上上界界在在即即),)()( adxxfbFba由定理知由定理知收收敛敛 adxxf)(.)(,)(),()(0必必定定发发散散则则发发散散且且如如果果 aadxxfdxxgxfxg也也收收，这这与与假假设设矛矛盾盾收收敛敛，由由第第一一部部分分知知如如果果 aadxxgdxxf)()(例如，例如， 时时发发散散当当时时收收敛敛；当

15、当广广义义积积分分11)0(Ppaxdxap发散发散则则，使得，使得常数常数收敛；如果存在收敛；如果存在则则，使得，使得及及存在常数存在常数如果如果上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10. 0)()0(),)()(3例例.1134的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较审敛法，根据比较审敛法，.1134收收敛敛广广义义积积分分 xdx发散发散则则或或如果如果收敛；收敛；存在，则存在，则使得使得，如

16、果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所给广义积分收敛所给广义积分收敛例例.1122/3的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散例例.arctan1的的收收敛敛性性判判别别广广义

17、义积积分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散也收敛也收敛收敛；则收敛；则如果如果上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5证证).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收收敛敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收敛收敛.)(5称为绝对收敛称为绝对收敛条件的广义积分条

18、件的广义积分满足定理满足定理定义定义 adxxf必定收敛必定收敛绝对收敛的广义积分绝对收敛的广义积分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的的收收敛敛性性常常数数都都是是判判别别广广义义积积分分 abadxbxeax解解.,sin0收收敛敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛.12.4 12.4 瑕积分的审敛法瑕积分的审敛法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,()()2(60发散发散则广义积分则广义积分，使得，使得及及收敛；如果存在常数收敛；如果存在常数则广义积分则广义积分，使得，使得及及

19、常数常数如果存在如果存在上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf发散发散分分则广义积则广义积或或，使得，使得如果存在常数如果存在常数收敛；收敛；则广义积分则广义积分存在存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0

20、000例例6.ln31的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xdx解解的的左左邻邻域域内内无无界界被被积积函函数数在在点点1 x由洛必达法那么知由洛必达法那么知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根据极限审敛法根据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例7.1sin31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解也收敛也收敛从而从而dxxx 101sin收收敛敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较审敛原理根据比较审敛原理,)0()(01 sdxxessx定义定义特点特点: 1.积分区间为无穷积分区间为无穷;

21、.001. 2右领域内无界右领域内无界的的时被积函数在点时被积函数在点当当 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx设设;,1)1(1是常义积分是常义积分时时当当Is ,10时时当当 s12.5 函函数数与与- -函函数数12.5 12.5 欧拉积分欧拉积分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数定义的两个很重要的非初等函数 一、一、 函数函数 函数函数二、二、- 函数和函数和 函数函数. . 三、三、函数与函数与 函数之间的关系函数之间的关系 一一 函 数 含参量积分：含参量积分：10( )e d ,0 ,(1)sxsxx

22、 s 称为格马函数称为格马函数. . 函数可以写成如下两个积分之和：函数可以写成如下两个积分之和： 11101( )e de d( )( ) ,sxsxsxxxxI sJ s ( )1I ss 当当01s 其中其中时是正常积分时是正常积分, ,当当时是收敛时是收敛 的无界函数反常积分的无界函数反常积分( (可用柯西判别法推得可用柯西判别法推得); ); ( )0J ss当当 时是收敛的无穷限反常积分时是收敛的无穷限反常积分( (也可用柯西也可用柯西 判别法推得判别法推得). ). 所以含参量积分所以含参量积分(1)(1)在在0s 时收敛时收敛, , 0.s 即即函数的定义域为函数的定义域为 .

23、 . ( ) s 0s 1. 在定义域在定义域 内延续且有恣意阶导数内延续且有恣意阶导数 , (0)a b a ( ) ,I s在任何闭区间在任何闭区间 上上, , 对于函数对于函数 当当 01x 11ee,sxaxxx 110edaxxx时有时有 由于由于 收收 ( )I s , a b敛敛, , 从而从而 在在 上也一致收敛上也一致收敛, ,( ) ,J s对于对于 当当 0s 上延续上延续. .用上述一样的方法调查积分用上述一样的方法调查积分1100edelnd.sxsxxxxx xs它在任何区间它在任何区间 , (0)a b a 上一致收敛上一致收敛. . 于是由定理于是由定理 ( )

24、 s , a b( ) s 19.10得到得到 在在 上可导上可导, 由由a, b的恣意性的恣意性, 1x 11ee,sxbxxx 11e dbxxx时时, , 有有由于由于 ( ) s 在在收敛收敛, ,从而从而 ( )J s , a b在在上也一致收敛上也一致收敛, , 于是于是 10( )eln d ,0.sxsxx x s 同理可证同理可证 ( )10( )e(ln ) d ,0,2,3,.nsxnsxxx sn 2. 递推公式递推公式 (1)( )sss 对下述积分运用分部积分法对下述积分运用分部积分法, 有有 1000e dee dAAAsxsxsxxxxsxx 10ee d .A

25、sAsxAsxx0s 在在 上可导上可导, , 且且A ( ) s 让让就得到就得到 的递推公式的递推公式:(1)( ) .(3)sss 设设1,01,nsnsn 即即运用递推公式运用递推公式(3) n(3) n次次 可以得到可以得到 (1)( )(1) (1)ssss ss (1)() () .(4)s ssnsn ( ) s 01s 公式公式(3)(3)还指出还指出, , 假设知假设知 在在上的值上的值, , 那那么在其他范围内的函数值可由它计算出来么在其他范围内的函数值可由它计算出来. . 假设假设s为正整数为正整数n+1,那么那么(4)式可写成式可写成 0(1)(1)2 1(1)!e

26、d!.(5)xnn nnxn 3. 函数图象的讨论函数图象的讨论 ( )( )ss 和和( ) s 对一切对一切 0s , ,恒大于恒大于0, 0, 因此因此 的图形的图形 x(1)(2)1 ，位于位于 轴上方轴上方, , 且是向下凸的且是向下凸的. . 由于由于 ( ) s 0s 00(1 2) .xx且且，所以所以 在在 上存在独一的极小点上存在独一的极小点 0lim (1)(1)1,ss 故有故有00(1)lim( )lim.sssss ( ) s 0(,)x 由由(5)式及式及 在在上严厉增可推得上严厉增可推得( ) s 0(0,)x0(,)x 在在内严厉减内严厉减; ;在在 内严厉增

27、内严厉增. . 又又由于由于 ( )(1)( )(0)sssssss 及及lim( ).ss 0s 综上所述综上所述, 函数的图象如图函数的图象如图19-2中中 部分所示部分所示.4. 延拓延拓 ( ) s 改写递推公式改写递推公式 (3) 为为 (1)( ).(6)sss 当当10s 时时, (6), (6)式右端有意义式右端有意义, , 于是可运用于是可运用(6)(6)式式 ( ) s ( 1, 0)来定义左端函数来定义左端函数 在在内的值内的值, ,并且可推知并且可推知 ( )0 .s这时这时 192 图图x1 ( )x 2 3 4 123412341 2 3 4 用同样的方法用同样的方

28、法, 利用利用式又可定义式又可定义 在在 ( ) s ( 2,1) 内的值内的值, 而且而且这时这时 依此依此 ( )0 .s下去可把下去可把 ( ) s 延拓到整个数轴延拓到整个数轴( (除了除了 0,1,2,s以外以外),),其图象如图其图象如图19-219-2所示所示. . 已在已在 ( 1,0)内有内有( ) s 定义这一现实定义这一现实, 由由(6)5. ( ) s 的其他方式的其他方式( ) s 2,xy在运用上在运用上, , 也常以如下方式出现也常以如下方式出现, , 如令如令 那么有那么有 212100( )ed2ed(0) .sxsysxxyys令令,xpy 就有就有 110

29、0( )e ded(0,0).(7)sxsspysxxpyysp二、二、B B 函函 数数 含参量积分：含参量积分： 1110B( , )(1)d ,0 ,0(2)pqp qxxxpq称为贝塔称为贝塔 (Beta) 函数函数 (或写作或写作 B 函数函数). 注注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B ,B 函数函数 是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完 全类似的全类似的. . 1p 0 x B 函数函数(2)当当 时时, 是以是以 为瑕点的无界函数为瑕点的无界函数 1q 1x 反常积分反常积分; ; 当当

30、 时时, 是以是以 为瑕点的无界函数为瑕点的无界函数 反常积分反常积分. . 运用柯西判别法可证得当运用柯西判别法可证得当 0,0pq 时时 这两个无界函数反常积分都收敛这两个无界函数反常积分都收敛. . 所以函数所以函数 B( , )p q的定义域为的定义域为 0,0.pqB( , )p q0,0pq1. 在定义域在定义域 内延续内延续 由于对任何由于对任何000 ,0pq 成立不等式成立不等式 00111100 ,(1)(1),pqpqxxxxppqq 而积分而积分001110(1)dpqxxx收敛收敛, , 故由故由 M M 判别法知判别法知 B( , )p q00,ppqq 在在上一致

31、收敛上一致收敛. . 因因B( , )p q0,0pq 而推得而推得 在在内延续内延续. . 2. 对称对称 性性 B( , )B( ,)p qq p作变作变 换换 1,xy得得1110B( , )(1)dpqp qxxx1110(1)dB( ,) .pqyyyq p3. 递推公式递推公式 1B( , )B( ,1) (0 ,1),(8)1qp qp qpqpq1B( , )B(1, ) (1,0),(9)1pp qpqpqpq (1)(1)B( , )B(1,1)(1)(2)(1,1).pqp qpqpqpqpq证证 下面只证公式下面只证公式(8), 公式公式(9)可由对称性及公式可由对称性

32、及公式(8) 推得推得, 而最后一个公式那么可由公式而最后一个公式那么可由公式(8), (9)推得推得. 1110B( , )(1)dpqp qxxx111201(1) (1)dppqqxxxxxp1112110011(1)d(1)dpqpqqqxxxxxxpp11B( ,1)B( , ) ,qqp qp qpp当当 时时, 有有1,1pq111200(1)1(1)dpqpqxxqxxxpp移项并整理就得移项并整理就得(8) .(8) .4. B( , )p q的其他形的其他形 式式 在运用中在运用中 B B 函数也经常以如下方式出现函数也经常以如下方式出现: : 如令如令 2cos,x 那么

33、有那么有212120B( , )2sincosd. (10)qpp q 如令如令 21d,1,d,11(1)yyxxxyyy 那么有那么有10B( , )d .(1)pp qyp qyy11d .(1)pp qyyy1,yt考考 察察 令令 那么有那么有11011dd .(1)(1)ppp qp qytyyyt 所以所以 1110B( , )d .(1)pqp qyyp qyy B三、三、 函数与函数与函数之间的关系函数之间的关系 ,m n当当为正数时为正数时, ,反复运用反复运用 B B 函数的递推公式函数的递推公式, ,可得可得 1B(, )B(,1)1nm nm nmn121B(,1)

34、.121nnmmnmnm又由于又由于 1101B(,1)d,mmxxm所以所以 1211 (1)!B(, )121(1)!nnmm nmnmnmmm(1)!(1)!,(1)!nmmn( ) ()B(, ). (11)()nmm nmn 即即 对任何正实数对任何正实数 p, q 也有一样的关系也有一样的关系: ( ) ( )B( , )(0,0).(12)()pqp qpqpq 这个关系式将在第二十一章这个关系式将在第二十一章8 中加以证明中加以证明. 例例1 求证求证0d11 1( , ).4 23cos2 2xBx 证证 令令2cos,2xu 那么那么002dd3cos22cos2xxxx

35、1 201 21 21111d(1)2(1)uuuu 121 21 201(1)d .2uuu 再令再令 2,tu 那么那么121 21 201(1)d2uuu 11 21 41 201(1)d2 2tttt 111112401(1)d2 2ttt 11 1B( , ).2 42 2 复习思索题( , , )f x y z , , ,)a bc de 1.假设假设是定义是定义 在在 的函数的函数, ( , )( , , )d ,( , ) , , .eJ x yf x y zzx ya bc d试定义含参量积试定义含参量积 分分 ( , )J x y的一致收敛性的一致收敛性.( , , )f

36、x y z , , ,)a bc de 2. 假设假设是定义是定义 在在 的函数的函数,( , )( , , )d ,( , ) , , .eJ x yf x y zzx ya bc d试推行含参量积分试推行含参量积分 ( , )J x y一致收敛性的一致收敛性的 M M 判别法判别法. . 函数函数, , ( , )( , , )d ,( , ) , , .eJ x yf x y zzx ya bc d( , )J x y( , )J x y假设含参量积分假设含参量积分为一致收敛为一致收敛, , 试证试证在在 , , a bc d 上延续上延续. . ( , , )f x y z , , ,

37、)a bc de 3. 假设假设是定义在是定义在的延续的延续 小结小结比较审敛法极限审敛法无穷限的广义积分审敛法比较审敛法极限审敛法无界函数的广义积分审敛法广广义义积积分分审审敛敛法法绝对收敛绝对收敛12.6 12.6 含参量正常积分含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进展积分构成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种方式. 一、含参量正常积分的定义一、含参量正常积分的定义 五、例题五、例题 四、含参量正常积分的可积性四、含参量正常积分的可积性 三、含参量正常积分的可微性三、含参量正常积分的可微性 二、含参量正常积分的延续性二、含参量

38、正常积分的延续性 一、含参量正常积分的定义一、含参量正常积分的定义( ,)f x y , ,Ra bc d设设是定义在矩形区域是定义在矩形区域上的上的 定义在定义在 ,c d上以上以 y y 为自变量的一元函数为自变量的一元函数. . 倘假设这时倘假设这时 ( ,)f x y ,c d在在上可积上可积, , 那么其积分值那么其积分值 ( )( ,)d , , (1)dcI xf x yy xa b是定义在是定义在 , a b上的函数上的函数.普通地普通地, 设设 ( ,)f x y为定义在区域为定义在区域二元函数二元函数. .当当 x x取取 , a b上的定值时上的定值时, ,函数函数 是是

39、( , )f x y( ,)| ( )( ) ,Gx yc xyd xaxb上的二元函数上的二元函数, , 其中其中c (x), d (x)c (x), d (x)为定义在为定义在 , a b上的连上的连续函数续函数( (图图19-1), 19-1), 191 图图OyxbaG( )yc x ( )yd x , a b( ,)f x y假设对于假设对于上每一固定的上每一固定的 x x 值值, , 作为作为 y y 的函的函 数在闭区间数在闭区间 ( ),( ) c xd x 上可积上可积, 那么其积分值那么其积分值 ( )( )( )( ,)d , , (2)d xc xF xf x yyxa

40、 b是定义在是定义在 ,a b上的函数上的函数.( )I x( )F x用积分方式用积分方式 (1) (1) 和和 (2) (2) 所定义的这函数所定义的这函数 与与通称为定义在通称为定义在 , a b上的含参量上的含参量 x x 的的( (正常正常) )积分积分, , 或简称为含参量积分或简称为含参量积分. 二、含参量正常积分的延续性二、含参量正常积分的延续性( )I x 的的连连续续性性( ,)f x y定理定理12.1 (12.1 () 假设二元函数假设二元函数在矩在矩 形区域形区域 , ,Ra bc d 上延续上延续, 那么函数那么函数( )( ,)ddcI xf x yy在在 a ,

41、 b上延续上延续.证证 设设 对充分小的对充分小的 , ,xa b, , xxxa b有有 ( (假设假设 x 为区间的端点为区间的端点, 那么仅思索那么仅思索 00 xx或或), ), 于是于是 ()( ) (,)( ,)d ,(3)dcI xxI xf xx yf x yy 由于由于 ( ,)f x y在有界闭区域在有界闭区域 R R上延续上延续, , 从而一致延续从而一致延续, , 0 , 0 , 即对恣意即对恣意总存在总存在对对R R内恣意两点内恣意两点 1122(,)(,)xyxy与与，只需只需1212|,|,xxyy 就有就有 1122|(,)(,)|. (4)f xyf xy 所

42、以由所以由(3), (4)可得可得, |,x 当时当时| ()( )|(,)( ,)|ddcI xxI xf xx yf x yy d().dcxdc即即 I (x) 在在 , a b 上延续上延续.同理可证同理可证: : 假设假设( ,)f x y在矩形区域在矩形区域 R R上延续上延续, ,那么含参那么含参 量量 y的积分的积分 ( )( ,)d (5)baJ yf x yx在在c ,d c ,d 上延续上延续. .注注1 对于定理对于定理19.1的结论也可以写成如下的方式的结论也可以写成如下的方式: 假设假设( ,)f x y在矩形区域在矩形区域 R R 上延续上延续, ,那么对任何那么

43、对任何 0 , ,xa b都有都有 00lim( ,)dlim( ,)d .ddccxxxxf x yyf x yy这个结论阐明这个结论阐明, ,定义在矩形区域上的延续函数定义在矩形区域上的延续函数, ,其极其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的限运算与积分运算的顺序是可以交换的. . , , , ,a bc dc d上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续 其其中中 为恣意区间为恣意区间. . 注注2 2 由于延续性是部分性质由于延续性是部分性质, , 定理定理19.119.1中条中条件件f 在在( )F x 的的连连续续性性( ,)f x y定理定理12.2 (12.2 () 假设二元函数

44、假设二元函数在区在区 域域( ,)| ( )( ) ,Gx yc xyd xaxb上延续上延续, , 其其 中中c(x), d(x)c(x), d(x)为为 , a b上的延续函数上的延续函数, , 那么函数那么函数 ( )( )( )( ,)d(6)d xc xF xf x yy在在 , a b上延续上延续.证证 对积分对积分(6)用换元积分法用换元积分法, 令令 ( )( ( )( ) .yc xt d xc x当当 y 在在c(x)与与d(x)之间取值时之间取值时, t 在在 0, 1 上取值上取值, 且且 d( ( )( )d .yd xc xt所以从所以从(6)式可得式可得 ( )(

45、 )( )( ,)dd xc xF xf x yy10( , ( )( ( )( )( ( )( )d .f x c xt d xc xd xc xt由于被积函数由于被积函数 ( , ( )( ( )( )( ( )( )f x c xt d xc xd xc x在矩形区域在矩形区域 , 0 ,1a b 上延续上延续, , 由定理由定理19.119.1得积分得积分 (6)所确定的函数所确定的函数 F(x) 在在a, b延续延续. 三、含参量正常积分的可微性三、含参量正常积分的可微性( )I x 的的可可微微性性( ,)f x y定理定理12.3 (12.3 () 假设函数假设函数 与其偏导与其

46、偏导 ( ,)xfx y , ,Ra bc d数数都在矩形区域都在矩形区域 上延续上延续, 那么函数那么函数 ( )( ,)ddcI xf x yy在在 , a b上可微上可微, 且且d( ,)d( ,)d .dddxccf x yyfx yyx , a b , xxa b 证证 对于对于 内恣意一点内恣意一点x, x, 设设(假设假设 x为为 区间的端点区间的端点, 那么讨论单侧函数那么讨论单侧函数), 那么那么 ()( )(,)( ,)d .dcI xxI xf xx yf x yyxx 由微分学的拉格朗日中值定理及由微分学的拉格朗日中值定理及 ( ,)xfx y在有界闭在有界闭 域域 R

47、 R上延续上延续( (从而一致延续从而一致延续),),对对 0 ,0, 只需只需 x 时时， 就有就有(,)( ,)( ,)xf xx yf x yfx yx (,)( ,),xxfxx yfx y (0,1). 其其中中因因此此( ,)ddxcIfx yyx (,)( ,)( ,) ddxcf xx yf x yfx yyx () .dc , ,xa b这就证明了对一切这就证明了对一切 有有 , , Ra bp q , a b上延续上延续, c(x), d(x), c(x), d(x)为定义在为定义在 上上 d( )( ,)d .ddxcI xfx yyx( )F x( ,),( ,)xf

48、x yfx y定理定理12.4 (12.4 (的可微性的可微性) ) 设设在在 其值含于其值含于 p, q内的可微函数内的可微函数, 那么函那么函数数( )( )( )(, )dd xc xF xf x yy在在 , a b上可微上可微, 且且( )( )( )( ,)d( ,( )( )d xxc xFxfx yyf x d x d x ( , ( ) ( ). (7)f x c x c x证证 把把 F(x) 看作复合函数看作复合函数: ( )( , ,)( ,)d ,dcF xH x c df x yy( ),( ).cc xdd x由复合函数求导法那么及变动上限积分的性质由复合函数求导

49、法那么及变动上限积分的性质, 有有 ddd( )dddHHcHdF xxxcxdx( )( )( ,)d( , ( ) ( )( , ( ) ( ) .d xxc xfx yyf x d x d xf x c x c x注注 由于可微性也是部分性质由于可微性也是部分性质, , 定理定理12.3 12.3 中条件中条件 f f 与与 , , , ,xfa bc dc d 在在上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续其中其中 为恣意区间为恣意区间. . 四、含参量正常积分的可积性四、含参量正常积分的可积性由定理由定理12.1与定理与定理12.2推得推得:( )I x 的的可可积积性性( ,)f x

50、 y定理定理12.5 (12.5 () 假设假设在矩形区域在矩形区域 , ,Ra bc d , a b上延续上延续, ,那么那么 I (x)I (x)与与 J (x)J (x)分别在分别在和和 ,c d上可积上可积. . 这就是说这就是说: 在在( ,)f x y延续性假设下延续性假设下, 同时存在两个同时存在两个求积顺序不同的积分求积顺序不同的积分: : ( ,)ddbdacf x yyx ( ,)dd .dbcaf x yxy 与与 为书写简便起见为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作今后将上述两个积分写作d( ,)dbdacxf x yyd( ,)d .dbcayf x yx 与与 前

51、者表示前者表示( ,)f x y先对先对 y 求积然后对求积然后对 x 求积求积, 后者那么后者那么表示求积顺序相反表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分它们统称为累次积分.在在( ,)f x y延续性假设下延续性假设下,累次积分与求积顺序无关累次积分与求积顺序无关.( ,)f x y , , Ra bc d定理定理12.6 12.6 假设假设在矩形区域在矩形区域上上 延续延续, 那么那么 d( ,)dd( ,)d . (8)bddbaccaxf x yyyf x yx1( )d( ,)d ,udacI uxf x yy2( )d( ,)d ,ducaI uyf x yx证证 记记 1d( )

52、( )d( ).duaI uI xx I uu12 , ,( )( )ua bI uI u现现在在分分别别求求与与的的导导数数. .其中其中2( )( ,)d .dcIuH u yy2( ) ,( ,)( ,)d ,uaIuH u yf x yx令令对于对于 那么有那么有( ,)H u y( ,)( ,)uHu yf u y由于由于 与与都在都在R R上延续上延续, , 由由 12( )( )().I uIukk为为常常数数2d( )( ,)d( ,)dddduccI uH u yyHu yyu( ,)d( ) .dcf u yyI u定理定理12.3, 12( )( ) ,I uIu , ,

53、ua b故得故得 因此对一切因此对一切 有有 12( )( ) , , .I uIuua b当当 时时, 12( )( )0 ,0,I aIak于于是是即得即得ua取取 就得到所要证明的就得到所要证明的(8)式式.ub122d( ).1aaxI axa,1aa以以及及解解 记记由于由于 五、例五、例 题题 例例1 求求 1220dlim.1aaaxxa2211xa都是都是 a a 和和 x x 的延续函数的延续函数, , 由定理由定理19.2 19.2 知知1200dlim ( )(0).41axI aIxI (a) 在在 处延续处延续, 所以所以 0 a例例2 讨论函数讨论函数21ln(1)( )dxyI xyy 的延续性的延续性.( )I x( 1 2,).解解 易见易见的定义域为的定义域为 令令ln(1)1( , ), ( , )(,) 1,2.2xyf x yx yy 0011(,), ,22xa baxb使使得得 ( , )f x y ,