贵州省贵阳市2021届高三期末数学试卷含答案解析

1、乙主视團侧视囱A.C.5.V=V甲乙V、V大小不能确定甲乙丁T下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（A.y=sin2x+cos2xB.7Ty=sin(4x+_7r贵州省贵阳市2021届高三期末数学试卷含答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知集合A=x|x2+2x-30,B=x|0VxV2，则AnB=（）A.x|1VxV2B.x|xV-3，或1VxV2C.x|xV-3，或0x2D.x|0VxV15+i-2. 设i为虚数单位，则复数Z=.的共轭复数为（）A.2-3iB.-2-3iC.-2+3iD.2+3i3. 设x

2、,yWR，贝x,y1”是x2+y22”的（）A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件4. 甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V,甲乙的体积为v，贝y（）（甲）俯视图（乙）俯视图V VD.甲乙C.y=sin2xcos2xD.y=sin22x-cos22x6.如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP丄BC的条件是（）A.APIPB，AP丄PCB.APIPB，BC丄PBC.平面BPC丄平面APC，BC丄PCD.AP丄平面PBC7. 阅读程序框图，为使输出的数据为31,则处应填的表达式为（）A.iW3B.iW4C.iW5D.iW68.

3、 已知O为坐标原点，点A(-1,2),若点M(x,y)为平面区域玄上的一个动点，则顶五的取值范畴是()A.-1，0B.0，1C.1，3D.1，49. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(D.f(x)=ln(x2-1)2込A.f(x)=eB.f(x)=eC.f(x)=e-110. 若点A(a，b)在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b()A.最大值为2B.最小值为1C.最大值为1D.没有最大值和最小值11. 在-4,4上随机取一个实数m,能使函数f(x)=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为()B.C.D.22.12. 已知双曲线与函数y=i工的图象

4、交于点P,若函数y=i曲勺a图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(-2,0),则双曲线的离心率是(A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 图中阴影部分的面积等于.,ABC的形状14.在ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c,定是.15.若直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直，则二项式(ax2-)5的展开式中x4的系数为16.在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x-m)2+(y-2)2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若ABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范畴是.三、解答题：解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设等差数列a

5、n的前n项和为Sn，已知a5=-3,S10=-40.(I)求数列an的通项公式；(口)若从数列an中依次取出第2,4,8,2n，.项，按原先的顺序排成一个新数列bn，求数列bn的前n项和Tn.18在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图：(I)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(口)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为E，求E的分布列和数学期望.乙86967t586824659419.如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知ADBC,ZASC=60,ZBA

6、D=135,AD=DC=l迈,SA=SC=SD=2,O为AC中点.(I)求证：SO丄平面ABCD；(n)求二面角A-SB-C的余弦值.X220.设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：飞+V=1(al)的左、右焦点，Pa为椭圆C上任意一点，且帀亟的最小值为0.(1) 求椭圆C的方程；(2) 如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M,N是直线1上的两点,且FM丄1,F2N丄1,求四边形F1MNF2面积S的最大值.(I)设F(x)=f(1)x2+f(x),讨论函数F(x)的单调性；(口)过两点A(X,f(X),B(x2f(X2)(XVx2)的直线的斜率为k,求证：爲请

7、考生在第22,23,24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。选修4-1：几何证明选讲22.如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E,作EFCB，同时交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.(I)求证：DEFsEFA；(口)假如FG=1，求EF的长.选修4-4:坐标系与参数方程23. 选修4-4：坐标系与参数方程.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知工二时弋3占口曲线C的极坐标方程为p=4cos0,曲线C2的参数方程为彳(t为参数，OWaV12ly=tsmCl兀7Tn),射线e

8、=e，e=e+v，e=e-v与曲线c1交于(不包括极点o)三点a、b、c.(I)求证：|OB|+|OC|=P|OA|；(口)当e=T7时，B，C两点在曲线C2上，求m与a的值.选修4-5:不等式选讲24. 设f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m.(I)求m；(口)若a，b，cW(0,+x),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.2020-2021学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|x2+2x-30,B=x|0VxV2，则AnB

9、=（）A.x|1VxV2B.x|xV-3，或1VxV2C.x|xV-3，或0x0,解得：x1,即A=x|x1,.B=x|0x2,则AnB=x|1xVD.V、V大小不能确定甲乙甲乙【考点】由三视图求面积、体积.【分析】甲几何体为四棱锥，乙几何体为甲几何体切去一个三棱锥后剩下的三棱锥.【解答】解：由三视图可知甲几何体为四棱锥S-ABCD，乙几何体为三棱锥S-BCD.其中底面ABCD是正方形，SA丄平面ABCD,SA=AD=1,甲几何体的体积大于以几何体的体积.故选C.5.下列函数中，以飞-为最小正周期的奇函数是()A.y=sin2x+cos2xB.y=sin(4x+C.y=sin2xcos2xD.

10、y=sin2兀兀y=sin2xcos2x-sin4x是奇函数，周期为=，故满足条件.2x-cos22x【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】由条件利用两角和差的三角公式，二倍角公式，诱导公式化简所给的函数的解析式,再利用三角函数的周期性和奇偶性，得出结论.【解答】解：Ty=sin2x+cos2x=T2sin(2x-)是非奇非偶函数，故排除A；兀*/y=sin(4x+)=cos4x为偶函数，故排除B；Ty=sin22x-cos22x=-cos4x,为偶函数，故排除D,故选：C.A.APIPB,AP丄PCB.APIPB,BC丄PBC.平面BPC丄平面APC,BC丄PCD.AP丄平面PBC【考点

11、】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】利用线面垂直的判定与性质，即可得出结论.【解答】解：关于A,APIPB,APIPC,PBnPC=P，贝VAP丄平面PBC,：AP丄BC,不合题意；关于B,APIPB,BC丄PB,不能证明AP丄BC,合题意；关于C,平面BPC丄平面APC,平面BPCn平面APC=PC,BC丄PC,：BC丄平面PAC,ABC丄AP,不合题意；关于D,AP丄平面PBC,AAP丄BC,不合题意；故选：B.7. 阅读程序框图，为使输出的数据为31,则处应填的表达式为（）开始=lrj=l*结束IA.iW3B.iW4C.iW5D.iW6【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各

12、语句的作用，再依照流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情形，不难给出答案.【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Si是否连续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当iW4时退出,故选：B.8. 已知O为坐标原点，点A(-1,2),若点M(x,y)为平面区域X1上的一个动r点，则5!丽的取值范畴是()A.-1,0B.0,1C.1,3D.1,4【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算.【分析】由约束条件作出可行域，化OR丽为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解，代入最

13、优解的坐标得答案.【解答】解：由约束条件*曲1作出可行域如图,z.由图可知，当直线y=x+z过A(1,1)时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于z=-1+2=1；当直线过B(0，2)时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，z=2X2=4,A0A丽的取值范畴是1,4.9. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()222A.f(x)=eB.f(x)=eC.f(x)=e-1D.f(x)=ln(x2-1)【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法.【分析】结合函数的图象，利用函数的定义域，最值以及单调性进行判定即可.【解答】解：函数关于y轴对称，则函数f(x)为偶函数.f(0

14、)有意义，则排除D.若f(x)=ln(x2-1),则f(0)=ln(-1)无意义，不满足条件.f(0)0,p排除C,若f(x)=e赛2-1，则f(0)=1-1=0，不满足条件.当x=0时，函数f(x)取得最大值，排除B，故选：A10. 若点A(a，b)在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b()A.最大值为2B.最小值为1C.最大值为1D.没有最大值和最小值【考点】对数的运算性质；差不多不等式.【分析】由题意结合差不多不等式的性质求得ab的最大值，再由对数的运算性质得答案.【解答】解：由题意可得，杯0，La+2b=4则4=a+2b2i2.abW2.Iog2a+log2b=lo

15、g2abWlog22=1.故选：C.11. 在-4,4上随机取一个实数m,能使函数f(x)=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为()1353AbcD_q呂gQ【考点】几何概型.【分析】利用导数求出函数f(x)为增函数的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解：若f(x)=x3+mx2+3x在R上单调递增，则f(x)20恒成立，即fz(x)=3x2+2mx+320,即判别式厶=4m2-4X3X3W0,即m2W9,得-3WmW3,3-(-3：)63则对应的概率P=g=，故选：D2212. 已知双曲线与函数y=i工的图象交于点P,若函数y=i工的且b_图象在点P处的切线过双曲线左

16、焦点F(-2,0),则双曲线的离心率是()A.5+1TD.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率.【解答】解：设P(m,iG),函数工的导数为y，可得切线的斜率为尹二，又在点P处的切线过双曲线左焦点F(-2,0)，可得佥=，解得m=2，即P(2,占)，可得-=1，又c2=a2+b2.c=2，且一b-解得a=b=J2，则双曲线的离心率是e=1龙，a故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 图中阴影部分的面积等于.y|v=3卡JO【考点】定积分.【分析】依照题意，所求面积为

17、函数3x2在区间0,1上的定积分值，再用定积分运算公式加以运算即可得到本题答案.【解答】解：依照题意，该阴影部分的面积为-|I1=x3=(13-03)=1c-a若sin22=ABC的形状故答案为：114.在ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，定是，直角一角形.【考点】三角形的形状判定.【分析】直截了当利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判定三角形的形状._t-a1-cosBa【解答】解：Tsin?歹二，二，即cosB电，a，-.-b?：由余弦定理可得：cosB=c2ac.整理可得a2+b2=c2,三角形是直角三角形.故答案为：直角三角形.15. 若直线x+ay-1=0与2x-

18、y+5=0垂直，则二项式(ax2-：)5的展开式中x4的系数为_80.【考点】二项式定理的应用.【分析】直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得a.则1.21.5rrr-rrr二项式(ax2-.)5化为，可得Tr+1=j(2x2)r=(-1)5-r2r.x3r-5.令3r-5=4，解得r即可得出.【解答】解：直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直，.-=X2=-1，a解得a=2.11r则二项式(ax2-)5化为【2工KXrrr-_L5_rrTr+1=(2x2)r=(-1)5-r2rx3r-5.令3r-5=4，解得r=3.r3.T4=8x4=80x4.

19、展开式中x4的系数为80.故答案为：80.16. 在平面直角坐标系中，已知点P(3，0)在圆C：(x-m)2+(y-2)2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若ABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范畴是-3VmW-1或7WmV9.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】依照圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论._【解答】解：圆C：(x-m)2+(y-2)2=40，圆心C(m，2)，半径r=2逅5，SABcr2sinZACB=20sinZACB，.当ZACB=90时S取最大值20，_现在ABC为等腰直角三角形，

20、AB=lr=4l冗，则C到AB距离=2:,2立WPCV2-応，即2京；：5-3)522/TCj,.20W(m-3)2+4V40，即16W(m-3)236,圆C：(x-m)2+(y-2)2=40内，|OP|=伯一十2-.10,即(m-3)236,.16W(m-3)236,.*.-3mW-1或7Wm9,故答案为：-3mW-1或7Wm9.Ff7-屮4S2，甲乙说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳固，故应选择学生乙参加知识竞赛.（口）E的所有可能取值为0，1，2，则p&0）=2=T，P&1）=，P（E=2）=市=二E的分布列为E2PP515152ojQ因此数学期望EE=.=.19.如图

21、，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知ADBC,ZASC=60,ZBAD=135,AD=DC=_P，SA=SC=SD=2，O为AC中点.(I)求证：SO丄平面ABCD；【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析(I)推导出ASC为正三角形，且AC=2,OS=P,/畑O*，且OD=1,SO丄OD,由此能证明SO丄平面ABCD.(口)以O为原点，分别以OE,OC,OS所成直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角A-SB-C的余弦值.兀【解答】证明：(I)T在AASC中，SA=SC,ZASC=,O为AC中点，ASC为正三角形，且AC=2,OS=_E,在ADC中，D

22、A2+DC2=4=AC2,O为AC中点，z兀，且OD=1,在SOD中，OS2+OD2=SD2,r兀SOD为直角三角形，且乙空.SO丄OD,又TSO丄AC,且ACnOD=O, SO丄平面ABCD.解：(口)如图，设直线DO与BC交于点E,则OE、OC、OS两两垂直，以O为原点，分别以OE,OC,OS所成直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由(I)知ZDAC=45，且ZBAD=135,.ZBAC=90,ABx轴，又在ABC中，AB=2, A(0,-1,0),_B(2,-1,0),(0，1，0)，S(0,0,_；g)，_A5=(2,0,0)，菖=(0,_1,-/3),西=(2,-1,-士)，SC

23、=(0,1,-i亏)，设平面ABS的一个法向量n=(x,y,z),inpAB=2x=0一l一则，令z=-1,得i=(0,：3,-1),|i|=2,ni陋二y+Jsz二0设平面SBC的法向量n=(a,b,c),门.SB=2a-b-l一ll“则r.，取a=Q3，得EF(寸；丫1),nSC=b一V3c=0cosVnxi=mn3-|n|-|nrV7=T面角A-SB-C的余弦值是弓.y220.设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C：飞+=1(a1)的左、右焦点，Pa为椭圆C上任意一点，且耳亟的最小值为0.(1) 求椭圆C的方程；(2) 如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点

24、M，N是直线1上的两点,且FM丄1,F2N丄1,求四边形F1MNF2面积S的最大值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.a2-i【分析(1)利用PF-PF2的最小值为，可得FF!PF?=x2+y2-c2=,x2+1-c2,x且e-a,a,即可求椭圆C的方程；(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，=，即可得到m,k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到di=|FM|,d2=|F2N|.当kM时,设直线1的倾斜角为8,则|d-d2|=|MN|X|tane|，即可得到四边形FMNF2面积S的表达式，利用差不多不等式的性质，结合

25、当k=时，四边形FMNF2是矩形，即可得出S的最大值.【解答】解：(1)设P(x,y),则FF=(x+c,y),F=(x-c,y),.-1FF2=x2+y2-c2=x2+1-c2,x-a,a,a由题意得，1-c2=nc=lna2=2,、启2椭圆C的方程为厂十：(2)将直线1的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.由直线1与椭圆C仅有一个公共点知，=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0,化简得：m2=2k2+l.I_k+m|址斗功|设di=|FiM|=，5=巴2=打当kzo时，设直线1的倾斜角为e,则|d-d21=|MN|

26、X|tane|,|mn|=|di-d2|,.11,2|id|l,|m|+2,|ni|SV2.当k=0时，四边形FMNF2是矩形，S=2.因此四边形FMNF2面积S的最大值为2.21.设函数f(x)=xln(ax)(a0)(I)设F(x)=f(1x2+f(x),讨论函数F(x)的单调性；(口)过两点A(X,f(X),B(x2f(x2)(x1x2)的直线的斜率为k,求证：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)求出导函数的解析式，化简F(x)二导x2+f(x),然后求解F(x)的导数，通过导函数的符号，讨论函数F(x)的单调性；(口)求出过两点A(x,fz

27、(X),B(x2f(x2)(xx2)的直线的斜率k的表达式，利用分析法证明.转化为证明，通过左右两个不等式，两s2K11次构造函数，利用函数的导数判定函数的单调性，利用函数的最值即可证明.1.少【解答】(I)解：f(x)=ln(ax)+1，因此F丘)2函数F(x)的定义域为(0,+-)，而二IK 当lna20时，即a1时，恒有F(x)20,函数F(x)在(0,+*)上是增函数； 当lna0,即0a0,得(1na)x2+10,解得吒丁令F(x)0,得(lna)x2+10,解得综上，当a1时，函数F(x)在(0,+-)上是增函数;当0a0,忑1/1忑2/*2A1人r即证，令，则tl,XJXy*1则

28、只要证1-lnT。11),故g(t)在1,+丙)上是增函数.因此当t1时，g(t)=t-1-lntg(1)=0,即t-1lnt成立. 要证1一+1,即证t-1Vtlnt,设h(t)=tlnt-(t-1),则h(t)=lnt0(t1),故函数h(t)在1,+b)上是增函数，因此当t1时，h(t)=tlnt-(t-1)h(1)=0,即t-1Vtlnt成立.由知成立，得证.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。选修4-1：几何证明选讲22.如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E,作EFCB，同时交AD

29、的延长线于点F,FG切圆O于点G.(I)求证：DEFsEFA；【考点】相似三角形的判定.【分析(I)由同位角相等得出zbce=zfed，由圆中同弧所对圆周角相等得出zbad=ZBCD，结合公共角ZEFD=ZEFD，证出DEFsEFA(口)由(I)得EF2=FAFD，再由圆的切线长定理FG2=FDFA,因此EF=FG=1【解答(I)证明：因为EFCB，因此ZBCE=ZFED，又ZBAD=ZBCD,因此ZBAD=ZFED,又ZEFD=ZEFD，因此DEFsEFA.EFFD(口)解：由(I)得，ef2=fafd.因为FG是切线，因此FG2=FDFA，因此EF=FG=1.选修4-4:坐标系与参数方程23.选修4-4：坐标系与参数方程.曲线C的极坐标方程为p=4cose，曲线C2的参数方程为,极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴