通量与散度的物理意义

1、通量与散度的物理意义专题摘要：给出向量场通量与散度的定义，有源与无源场的概念，通量为正，为负，为零的物理意义，散度的物理意义。通过实例揭示通量与散度的工程背景。通量与散度是流体运动学中的两个重要的概念，在大气、海洋、热能、电磁场、土木工程等领域有着重要的应用。一些与通量和散度有着密切联系的重要工程术语(如：水气通量、热通量、风通量、电通量、电磁波通量等)在处理具体工程问题时是首先考虑的重要指标。下面以流速场为例研究通量与散度。通量设有流速场7(x，Y，z)V(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中流体是不可压缩的，即流体之密度是不变的，假设其密度为1，P

2、(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)具有连续的一阶偏导数。设S是流速场中一有向曲面，曲面S上点(x,y,z)处的单位法向量为n=cosoi+cos序+cosyk单位时间流体经过S流向指定侧的流体总流量为40=DvDS，(1)nS其中v=V-n=Pcos°+QcosP+Rcosy。v表示流体的流速向量7在有向曲面S的nn法向量n上的投影。由于n表示点(x,y,z)处的单位法向量，所以vdS=V-ndS=V-(ndS)=V-dSn因此，(1)式又可表示为=Bv-dS。S称(1)式的积分为流速场沿指定一侧穿过曲面s的通量。通量为正，为负，为零时的物理意义设在单位时间内流体向正

3、侧穿过S的流量为，则在单位时间内流体向正侧穿过面积元素dS的流量为dO=V-dS。当V是从dS的负侧穿到dS的正侧时，V与n成锐角，此时dO=V-dS>0为正流量;当V是从dS的正侧穿到dS的负侧时，V与n成钝角，此时dO=V-dS<0为负流量。因此，对于总流量=JJv-dS，其物理意义为：它是在单位时间内流体向正侧穿过S曲面S的正流量和负流量的代数和。当0时，表示向正侧穿过曲面S的流量多于沿反向穿过S的流量；当W0时，表示向正侧穿过曲面S的流量少于或等于沿反向穿过S的流量。当S为封闭曲面时，此时总流量为=JLV-dS,（2）S表示流体从内侧穿出曲面S的正流量和从外侧穿入曲面S的负

4、流量的代数和。当0时，表示流出多于流入，此时在S内必有产生流体的泉源。当然还可能有排泄流体的漏洞，但所产生的流体必定多于排泄出的流体。因此，当0时，不论S内有无漏洞，我们说S内有正源；当0时，我们说S内有负源。这两种情况统称为S内有源。但是，当二0时，我们不能断言S内无源。因为这时在S内可能出现既有正源又有负源，二者恰好相互抵消而使得=0。散度的物理意义设流速场V（x,y,z）中有一点M，包含点M的任一闭曲面为AS，所占空间区域为AQ，其体积为AV，A为从AS内穿出AS的通量。则称极限IIV-dSlimAQtMAV为流速场在点M的散度。记为divV。由定义可知，散度divV为一数量，表示在场中

5、一点处通量对体积的变化率，即该点处源的强度；当divV鼻0时，其符号为正（或为负），表示在该点处有散发通量的正源（或有吸收通量的负源）；当divV=0时，表示该点无源，所以称divV=0的场为无源场。由高斯（Gauss）公式，可得散度的数学表达式3)divV上+翌+竺。dxdydz实例在点电荷q所产生的电场中，已知任意点M处的电位移向量为4)其中r是点电荷q到点M的距离，r是从点电荷q指向M的单位向量。以点电荷q为中心,以R为半径的球面为S。那么，1）.在球面S内产生的电通量为=IID-dS=Ur-dS=UdS=q。4兀R24兀R2SSS此时，2）.求电位移D在任一点M的散度取点电荷所在之点为坐标原点D=旦r,4兀r3其中r=xi+yj+zk,r=1rI。因此qz4兀r3