5关于“反比例函数的应用”课例及分析

1、反比例函数的应用课例及分析摘要：课标（2019年版）倡导过程教育但在以反比例函数的应用为载体的研修活动中发现，课堂教学普遍与过程教育存有偏差鉴于此，作者在重复式观课与反思基础上，对这节课的教学实行重建，改进后的教学得到了同仁的认可关键词：过程教育；反比例函数的应用；教学方法；教学分析一、背景介绍义务教育数学课程标准（2019年版）（以下简称课标（2019年版）倡导过程教育，以全方位发挥数学的育人功能但在以浙教版义务教育教科书数学八年级下册第六章第3节反比例函数的应用为载体的“多人同课异构”式的研修活动中发现，课堂教学普遍与过程教育存有偏差，也没有体现以学为中心思想.网上查阅同类课例发现也有类似

2、现象.鉴于此，作者在重复式观课与反思基础上，对这节课的教学实行重建，改进后的教学过程与效果得到了同仁的认可现将其整理出来，以飨读者.二、教学实录环节1：经历回顾并提出问题的过程明确研究问题师：我们知道，若问题中的变量X,y满足xy=k（为常数，且k丰0）”，则可直接列出反比例函数关系式.对于简单的“确定性”问题（根据条件能直接确定两个变量的变化关系是反比例函数）,我们已有给定一个变量的值或范围求另一个变量的值或范围的经历与经验.怎样解决“不确定性”问题（有些问题只提供部分数据，不能直接确定其函数解析式）和带有多个约束条件的问题？本节课就来研究解决这类问题的方法.（揭示课题）环节2:再认解决“确

3、定性”问题的方法一一体会“数”与“形”方法的优缺点师：现在我们一起来分析并解决下列问题1.问题1:设ABC中BC边的长为x（cm）,BC上的高线AD为y（cm）,ABC的面积为常数，且y关于x的函数图象过点（3,4）.问：（1）y关于x的函数表达式是什么？（2）自变量x的取值范围是什么？函数值y的取值范围是什么？（3）当x=4时，y的值是多少？当2x0即一xIxaO，所以自变量x0x的取值范围是：x0.同理可得：函数值y的取值范围是：y0.师：好的.你用的是“数”的方法.谁来回答（3）的问题?312生4：当x=4时，y=3;当2x8时，亍八6，因为反比例函数“匚在第一象限内y随着x的增大而减小

4、.师：好的.你用的也是“数”的方法（使用了反比例函数的性质）能用反比例函数12y=x12的图象解决（3）的问题吗？请大家尝试用y的图象来解决这个问题.x（约3分钟后）师：谁来说说求解的过程?3生5:根据图1可得：当x=4时，y=3;当2x8时，y：6.2师：不错.这是“形”的方法（利用图象求给定条件的变量的值或范围）图1师：“数”的方法与“形”的方法的优点与缺点分别是什么?生6:“数”方法的优点是能得到准确的结果，其缺点是比较抽象;“形”方法的优点是比较直观，其缺点是得到的结果可能不准确.师：有道理.以后在解决已知一个变量的值或范围求另一个变量的值或范围时,要结合详细问题灵活使用“数”与“形”

5、两种方法.师：求实际情况问题变量的取值范围有何经验？生7:既要使函数关系式有意义，也要考虑其实际情况意义.师：不错.解决上述问题经历了哪几个步骤？生&（1）根据问题中变量的变化规律创建函数模型；（2）根据给定条件用待定系数法求出函数表达式；（3）用“数”的方法或“形”的方法求给定条件的变量的值或范围.师：不错.这个已知函数类型（根据题意能确定函数类型）解决给定一个变量的值或范围求另一个变量的值或范围问题的思维过程具有普遍适用性，以后会经常用到.环节3:探索解决“不确定性”问题的方法体会建模思想方法师：现在我们一起来分析并解决下列问题2.问题2:如图2,在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸

6、顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的数据如下表:体积V(mL)10090807060压强P(kPa)60677586100(1)根据表中的数据能否用反比例函数来刻画变量V与P之间的函数关系？如果能,请求出这个反比例函数表达式.(2) 当压力表读出的压强为72kPa时，气缸内气体的体积压缩到多少毫升？(3) 当压强80P83(mL).72师：能利用图3求V的值吗？生17：能但用作图法得到的结果可能不准确.师：好的.当80P90时，估计V的取值范围是什么?生18：当80P90时，66.7V0),BC=y(y0)，贝Ux与y应满足怎样的关系?生20：xy=12

7、，或12y=x师：好的.根据题意,0yW7.9，所以x的取值范围是什么？生21：x_12ADXXbyc图479师：你是怎样得到这个结果的？生21：禾U用反比例函数的性质.师：好的.x与y还有什么条件约束？生22：因为可用篱笆总长为11m,所以y+2x11.师：好的.这样能给出几种围法？生23:有很多种围法.例如，x=2m,y=6m；x=2.5m,y=4.8m等.师：不错.若取园子的长、宽都是整数，则有几种围法？12120生24：因为y(x)且x是整数，所以x只能取2,3,4,6,12,其对应的x79y值分别是：6,4,3,2,1.又因为y+2x11,所以只有三种围法：x=2m,y=6m；x=3

8、m,y=4m；x=4m,y=3m.师：好的.若要使11m长的篱笆恰好用完，应怎样围？23生25:由y+2x=11，且xy=12，得2x2-11x10，解得4,x2.当x=4时,23y=37.9(不符合题意).所以只有一种围法：x=4m,y=3m.2师：好的.这个问题中的变量有哪些约束条件？12生26：y,0yW7.9,y+2x11,x是整数，y是整数.x师：好的.解决带有多个约束条件问题的基本策略是什么？生27:米用逐步缩小解范围的策略.师：不错.其基本策略是：先求“通解”，再求“特解”.即用检验的方法去掉“通解”中不满足约束条件的解.接下来，老师要求学生完成课本中的练习题1,并在学生完成任务

9、后实行交互反馈与评价.在此基础上，老师引导学生参与反思与总结的活动.三、教学分析反比例函数的应用是理解反比例函数应用的继续一一从解决简单的“确定性”问题“根据问题提供的条到解决“不确定性”问题和有多个约束条件的较复杂的实际情况问题.件创建反比例函数模型T用待定系数法求出反比例函数表达式T用反比例函数的表达式或其图象解决给定一个变量的值或范围求另一个变量的值或范围的问题”的过程具有普适性，也有水平发展点、个性和创新精神培养点，其蕴含的建模思想、数形结合思想、变化与对应思想、函数问题转化为方程问题的思想等是数学中的重要思想，求实际情况问题变量的取值范围的经验、用“数”与“形”两种方法解决函数问题的

10、经验、解决带有多个约束条件的实际情况问题的经验，这些对发展学生的智力有积极的影响课标（2019年版）（课程内容）对反比例函数的应用提出的教学要求是“能用反比例函数解决简单的实际情况问题”当前在这节课的教学中普遍存有创建反比例函数模型的认知过程短暂和解决问题之后反思过程缺失等问题，导致不能满足学生内化思维和思想的需要，也不利于发展学生的水平与个性本课例根据课标（2019年版）提出的教学要求和教科书的意图，将其教学立意于“感悟思想，积累经验，发展水平与个性”，并以教科书提供的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，使用详细到抽象的思维方法及老师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生

11、经历了完整的认知过程.在问题1的教学中，既有“分析T列式T求解T作答”的过程，又有解决问题之后的反思，以积淀求实际情况问题自变量取值范围的经验和感悟“数”方法与“形”方法的优缺点在问题2的教学中，既有“分析t画图t估计t列式t验证t求解t作答”的过程，又有解决问题之后的反思，以感悟建模思想方法在问题3的教学中，既有“分析t列式t求解t作答”的过程，又有解决问题之后的反思，以感悟“通解”到“特解”的思维策略这体现了过程教育和以学为中心的思想，也遵循了问题解决教学的基本规范，能全方位发挥其育人功能.所以，问题解决教学，要选择有代表性的问题，要引导学生经历“分析t列式T求解t检验t作答t反思”的过程，使学生在高情意学习氛围中，理解和