有理标准形及其应用

1、课程：高等代数第8.3.1页3有理标准形及其应用教学目的通过教学，使学生基本掌握矩阵相似的有理标准形，熟悉最小多项式的概念(含求解)及其相应的Frobenius定理.教学内容从本节开始，同学们将学习矩阵相似标准形.这一节先讲有理标准形及其在求最小多项式中的应用3.1有理标准形设F0J0fKMt(F),其中口=(冏山at/L,加)，叫It-J做数域F上的t阶Frobenius矩阵.由上节习题第4题知道F0的特征多项式为f()=，：+a1Ml+at九+at.因此也称F0为多项式f(*J的友矩阵.因此，由推论8.2.2,我们不难陈述F上的n阶矩阵的有理标准形.设1,1,dk*(K),dk嚏(K),d

2、n(九)是A的不变因子，且dk+i(K)的次数1,dk+iCF内，i=1,2,nk,则由dj(初dj+1(九)可知n-k1w2W,&rnk,G=n.i1取F1,F2,Fn-k分别是dk+1(飨,dk+2(肛，dn(制的友矩阵,则Fi分别是h阶矩阵，i=1,2,nk.定义1块对角矩阵FA=diag(F1,F2,Fn-k)叫做A的有理标准形，或Frobenius标准形,而Fi叫做Fa的Frobenius子块,i=1,2,n-k.定理8.3.1数域F上的任意n阶矩阵A(在F上)必相似于它的有理标准形Fa.证由推论8.2.2,只要证A与FA有相同的不变因子.任取A的不变因子dk+i(A),Kin-k,

3、设dk+(-)=Q+ai1万+airi九十ai.考虑dk+i(4的友矩阵Fi000-airiri100-明Fi=0100,-iV01-ai1/第8.3.2页课程：高等代数则Fi的1阶行列式因子为|九1ri|=dk+i(簿.且其ri-1阶行列式因子=1.于是由定理8.2.1,存在；i阶可逆九一B$Pi(，J,Qi(，J,使Pi(九)(？JrFi)Qi(*J=diag(1,1,dk+i(Q),1in-k.因此1diag(P1(笫,Pnk(功(机FA)diag(Q1(Q,Qnk(Q)=diag(1,1,dk+1(Q,1,1,dn(?J).显然可用第一种初等矩阵Pj作行及列的对换，把上式右边矩阵对角线

4、上的1都调到前面k个位置上.因此，九InFa与对角矩阵diag(1,1,dk+1(A),dn(九)相抵，所以AFa.例1若4阶矩阵A的不变因子是1,1，儿+1,(儿+1)3=九3+32+3,+1,则A的有理标准形是由两个Frobenius块构成的块对角阵：的有理标准形.解经计算,A的不变因子为七1o00)0o0-1010-31。01-301-1、=3-201-1；Fa=A1,1,(八一1)(片+4,什2)=13+3九227l2,所以A的有理标准形是一个Frobenius块所成的3阶矩阵002、Fa=10291-3J于是A在有理数域上相似于Fa.矩阵的有理标准形Fa的优点是，它不仅在理论上是存在

5、的，而且总可以具体求出它.因此，无论在应用上还是在理论推导中，它都有较大的价值，特别是一些用别的方法难以证明的结论，有时却可用它来解决.3.2最小多项式定义2设ACMn(F),多项式m(冷CF川的首项系数为1.若m(?9是以A为根的、且次数最低的多项式中，则称m(K)为矩阵A的最小多项式.命题8.3.1n阶矩阵A的最小多项式存在且唯一.证由自然数的最小数原理及Hamilton-Cayley定理知道最小多第8.3.3页课程：高等代数项式的存在性成立.设mi(7,)、m2(冷同是矩阵A的最小多项式，若mi(7jwm2(，j,则中(K)=mi(?Jm2。)w0.由定义，mi(%)与m2。是同次的首一

6、多项式，则deg中vdegmi(，J.又母(A)=m1(A)m2(A)=0,这说明mi(K)不是A的最小多项式，与假设矛盾.因此，mi(K)=m2(Z),唯一性得证.今后，将A的最小多项式记作mA(?j.利用带余除法定理易证命题8.3.2A的最小多项式整除任一个以A为根的多项式.推论8.3.1任一矩阵的最小多项式必定整除它的特征多项式.推论表明，矩阵的最小多项式的次数不会超过它的特征多项式，而最小多项式，象特征多项式那样，具有“以A为根”的性质.这就使得一些用Hamilton-Cayley定理解决的矩阵问题，在改用最小多项式解决时更为方便.下面考虑矩阵最小多项式的寻求.命题8.3.3相似矩阵有

7、相同的最小多项式.证设B=PAP,则mA(B)=PmA(A)P=0,于是由命题8.3.2知道mB(掰mA(第.同理可证mA(箝|mB(箝.又mA(九)与mB()都是首一多项式，所以mA(九)=mB(?J.A2),其中AiCMni(F),i=1,2,则0L0mA(A)J0-命题8.3.4设A=diag(AnmA(九)=mA1(第,mA2(初.证由mA(A)=0知道Ea(A)0所以mA(Ai)=0,i=1,2.故由命题8.3.2知道mA(九)|mA(M(i=1,2).对于mAK)、mA2的任一公倍式刈冷，由mA(A)=0可推出中(Ai)=0,i=1,2.于是：(A)=3(A)00.)厂0再由命题8

8、.3.2知道mA(初用(约.因此,mA(第=m(Q,mA2闻.应用归纳法，则得命题8.3.5设人=129(Ai,A2,As),AWMni(F),i=1,2,s,则mA(九尸mS),mA2(肛，m、(闻.命题8.3.6数域F上矩阵的特征值必定是它的最小多项式的根.辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.4页证用反证法.若笳是矩阵A的特征值，而不是A的最小多项式的根，则(mA(Z),X-%)=1.因而存在多项式u(Q,v(也使得u(X)mA(K)+v(K)(九一而)=1,从而有u(A)mA(A)+v(A)(AZoIn)=In.注意到mA(A)=0,则V(A)(A%In)=In.两边取行列式可得|A一

9、%|n|W0,与物是A的特征值相矛盾.所以，%必定是A的最小多项式的根.定理8.3.2(Frobenius)设数域F上的n阶矩阵A的特征多项式与最小多项式分别是|7JnA|=fA(与mA(Z),则1) mA(Z)=dn(Z),这里dn(7J是A的最后一个不变因子；2) fA(Z)在F上的任一不可约因式都是mA(K)的因式.3) 证1).因为A在F上相似于它的有理标准形FA=diag(Fi,F2,，,Fnk),而相似矩阵有相同的最小多项式，所以Fa的最小多项式也是mA(九).另一方面，Fa的最小多项式是Fi,F2,Fn-k的最小多项式的最小公倍式，且由第一章5例2知道Fi的最小多项式是dk+i(

10、K),再注意到dk+i(K)|dk+i+1(K),i=1,nk1,所以Fi,F2,Fn-k的最小多项式的最小公倍式就是dn(九)，故mA(Q=dn(九).再证2).设fA(九)在F上的标准分解式为fA(九)=p1(九)1P2(九)2ps(九)(1)其中Pi(凡在F上皆不可约，i=1,2,s.但fA(*J=dk+1(九)dk+2(Q,dn(Q,(2)这里dk+i(可是A的非常数不变因子，i=1,2,n-k,由(1),(2)可知，任一Pi(h)至少要整除某一dk+j(Z),1WiWs,Kjnk,1dk+j(Q|dn(机j=1,nk,故pi(Q|dn(为.推论8.3.2A的特征多项式与最小多项式相等

11、的充分且必要条件是九InA的第n1个行列式因子Dn1(A)=1.推论8.3.3A的任一特征根必是A的最小多项式mA(K)的复根.证因为fA(冷在复数域上的不可约因式必为八一垢i=1,2,n,而由定理8.3.2之2),(八一X)|mA(X),故mA(九)=0,i=1,2,n.推论8.3.4若n阶矩阵A的n个特征根互不相同，则A的特征多项式与最小多项式相等.课外作业：P415416:1、1);2、2);3;7.辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.5页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.6页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.7页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.8页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.9页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.10页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.11页辽东学院教案纸课程：高等代数第8.3.12页辽东学院