初中数学重点梳理：二次函数拓展

1、二次函数拓展.知识定位本节主要内容有运用两点式求二次函数表达式，以及二次函数中一些技巧规律和方法, 综合题函数与方程的转化思想，二次函数也一直都是高考和高中联赛一试的重要内容之一. 本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求 解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。1知识梳理1、二次函数的定义：一般地，如果），=4/+公+式”,。是常数，4W0）,那么y叫做X 的二次函数.注意点：二次函数y = a +bx + c用配方法可化成：），=。（工一力）2+攵的形式，其中/?=一=，k = 4uCh-.2a 4a2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。的符

2、号决定抛物线的开口方向：当。0时，开口向上；当a0时，开口向下：当相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x = /?.特别地，y轴记作直线x = 0.注意点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.3 .求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y = ax2 +bx + c = cx + ! +, k 2a J 4a顶点是（一上4 一”）,对称轴是直线x = -2.2a 4a2a（2）忆方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为），=。（X-力）2+上的形式，得到顶 点为（力，Q,对

3、称轴是直线x = .（3）运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再 用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.4 .抛物线y = a/+8x + c中，的作用（1）。决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）。和，共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y = 4/ +bx + c的对称轴是直线h ux =,故：2aZ? = 0时，对称轴为y轴：2>0 （即力同号）时，对称轴在），轴左侧： ae<o （即匕异号）时，对称轴在），轴右侧. a（3）c的大小决定抛物

4、线丁 = at2 +以+。与y轴交点的位置.当x = 0时，y = c,.抛物线y = ad+bx + c与y轴有且只有一个交点（0, c ）：c = 0,抛物线经过原点；c > 0,与），轴交于正半轴：c<0,与），轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在），轴右侧，则 2<0.a5 .用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式：+以+。.已知图像上三点或三对工、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y = "x-/7）2+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与x轴的交点坐标/、与，通常选用交点式：y

5、= a（x 玉）（工一七）6 .直线与抛物线的交点（1），轴与抛物线丁 = ax'+以+。得交点为s, c）.（2）与），轴平行的直线x = /z与抛物线y = ax2+bx + c有且只有一个交点（/?, ah2 +bh + c）.（3）抛物线与x轴的交点二次函数丁 = "/+以+ c的图像与x轴的两个交点的横坐标王、是对应一元二次方程”/+以+ c = O的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方 程的根的判别式判定：有两个交点U> >()<=>抛物线与X轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)OA = 0。抛物线与x轴相切：没有交点&l

6、t;00抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k,则横坐标是，江2+/求+。=攵的两个实数根.(5)一次函数)，=kx+n(k W 0)的图像/与二次函数y = ax2 +bx + c(a丰0)的图像G的交r y = kx+ n点，由方程缎， 的解的数目来确定：j y = ax +bx + c方程组有两组不同的解时O /与G有两个交点；方程组只有一组解时OI与G只有一个交点；方程组无解时O /与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线，= ad+bx + c与x轴两交点

7、为4(孙0)凤,0),由于巧、4是方程a/+" + c = 0的两个根，故bcX + X)= , X X-)=加|H)2 =府/砧=月后=与三音例题精讲【试题来源】1996年全国高中数学联赛 【题目】如果在区间1，2上，函数/(x/+px+q与g(x)=x+1在同一点取相同的最小值，求/(x) 在该区间上的最大值 【答案】4一萍用 【解析】 解：由于g(x)= x+/=|x+$+ 23|=|正.11当且仅当炉=，即时等号成立.由于也£1, 2,故“也时g(x)取得最小值.因为 /(x)=x2+px+q=(X + )2 + <7 - < 24所以一=/i且色力&q

8、uot;微率解得p=-2射，q二沈卷季.由于5 - 1<2可L故在1. 2上f(x)的最大值为f(2)=4-浙+也.【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】1992年全国高中数学联赛【题目】求函数/月)时/数一3乂2 - Gx+lBdk-xZ+l的最大值。【答案】M【解析】解：/(x)X43x2 6x+13 -X4x2+lx44x: + 44-x: -6x+9-xjx4 -2x: + lH-x:=-J(x-2)2-/x2+(x -I)2于是/W表示点P(x, X2)与点A(3, 2)及B(0, 1)距离差|PA|一|PB|。由于点P(x, x2)在抛物线y=x

9、2上，即在抛物线上找到一点P,使|PA|一|PB|取得 最大值.由三角形的两边差小于第三边知，当且仅当点P为抛物线与AB的延长线的交 点时，|PA| 一 |PB|取得最大值。由于直线AB的方程为)，= lx + l.1土质 = 7-，解得 6一19±V37V =H* > 上 / 1 J37 19 J37, . AA.7-T LZ L其中点（一-，）在AB的延长线上。618IA B |二依与六心丁 二 M ,即函数 /(x) = 1一 3一 6x+13一 W+1 的最大值为 V10【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂练习【难度系数】5【试题来源】1996年江苏省数学竞赛【题目】

10、对于给定的常数p、q w(0/)，p + q>l , p2+q2<i .试求函数f (x) = (1 -x)ylp2 -x2 + Xyjq2 -(1-x)2(1-gKxKp)的最大值°答案(X)m” =；"( + 4)2-11一(一幻2【解析】 解：/2(x) = (l-x)2(2-x2) + x2<?2-(l-x)2+2x( 1 -(- -马厅 -(1-口)2«(1 x)2(p -x2) + x2q (1-x)2+X(1 - X)(2 _/) + /_ (1 - 4 =x2 _(p2 _q2 +l)x+ p2+ 2=。-22111)2-4( +

11、 幻2-11一( q)2 乙*1<l(p + q)2-ll-(p-q)2,4其中等号成立当且仅当/一片=42 -(1 一幻2 ,时,即工=/'（X）max =:>/（ +4）2-1=一（一夕）【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】设是方程一31+ 1 =。的两根。求满足/（。）=4，八/3） = a, /（1） = 1的二次函数/(x)【答案】f(x) = x2 -4x + 4.【解析】 解1 设二次函数/(X)= "2 +"+ C,由题意, a a2 +ba + c = /3(1)< up2 +bp + c

12、= a (2)a + b + c = 1(3)(i)+(2) a (a2 + .2) + (b-l)(a +夕) + 2c = 0,/ a + (3 = 3 , ap -1, 7u + 3b + 2c = 3(4)(1)-(2)4( 一42) + (。+ 1)(。一夕)=0 n3a + Z? = -l (5) 由(3)、(4)、(5)解得 6/ = 1, Z? = -4, C = 4 .因此，所求函数为/0)=工2 4x + 4.解 2 由/=1,可设二次函数/(X)= 4(X-l)(X-"?) + l,贝 IJa (a - l)(a - m) + 1 = /7 aa2 - a(m

13、+ l)a + am + 1 =尸(1)a (0 1)(/7 in) + l = a 4 42 a(m +1)/7 + am + = a (2)/ cr + /? = 3, ap = 1,(1) + (2) a (a +。一) “(? +1) + l(cz + B) + 2am + 2 - 0=> 4a am 1 = 0(3)(i) - (2) ci (a2 /32) a(m +1) lj(a ) = 0=> 2a - am + 1 = 0(4)由(3)、(4)解得 a = = 3.因此，所求函数为了(%)=工24x + 4.【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂练习题【难度系数】

14、5【试题来源】1995年全国初中数学联赛试题【题目】设x为正实数，则函数y=x2-x+L的最小值是.X【答案】1【解析】 解：y=x2-x+i x=(x-1) 2+ (x+ ) -1X=(X-1) 2+ ( «)2+1要求y的最小值，最好有(X-1) 2=0且(41) 2=0,这时得到工二L于是，当X=1时，厂X?-X+L取最小值1X【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2003年天津市竞赛题【题目】已知函数y=(a+2) x2-2 (a2-l) x+1,其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x 何值时，函数值最小.L当 =1时,【答案】o-L当1 v

15、a < 4时, 2或3,当。=4时，“一 2,当a >4时.【解析】解+2）（x-痣）3曰4 一13其对称轴为X二国二"）+小3a T因为a为正整数，故0<Wl, a-2<WaT. a+2a+2因此，函数的最小值只可能在x取a-2, a-1, 二二时达到. a + 2（1）当（二1二aT时，a=l,此时，x=l使函数取得最小值.。+ 2（2）当a-2人? <a-b即a>l时，由于x是正整数，而上?为小数, 。+2a+2故x二二不能达到最小值.a + 2当 x二a-2 时，y= (a+2) (a-2) 2-2 (a2-l) (a-2) +1,当 x二

16、a-1 时，y= (a+2) (a-1) 2-2 (a2-l) (a-1) +1.又 yi-y2=4-a.(i)当4-a>0,即la<4且a为整数时,x取a-1,使y2为最小值;(ii)当4-a=0时，即用4时，有丫产丫2,此时x取2或3；(iii)当4-a<0,即a>4且为整数时,x取a-2,使为最小值.综上，x=<1,当 =1时，。一1,当 1<。<4 时，（其中a为整数） 2或3,当 =4时,。一2,当>4时.评注：求二次函数y=ax2+bx+c在给定范围的最值，关键是看对称轴方程是否在给定范围内，并与端点一并比较.【知识点】二次函数拓展【

17、适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】1997年湖北省荆州市.初中数学联赛试题【题目】已知二次函数y=（a?-a+1） x2+bx+a的图象与x轴交点为A （xn 0）, B （x2t 0）, 6其顶点横坐标为L,设t=xj+x/.2（1）试用a把t表示出来：（2）问实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？【答案】如下解析【解析】解：根据题意得=一；7'2aX/ =a2-a + b二一 (a2-a+l), xi+xz=l.此时，=b?-4 (aa+l) = (a2-a+l) 2- - a (a2-a+l)63=(a2-a+l) (a2- a+1)324可取任意实数值.636=

18、(a-) 2+- (a-) 2>0,(1) t= ( X1+X2) 3-3X!X2( X1+X2)ci 2a3a + 2a2 一。+ 1 2a? -2a+ 2/ 八、ia2cl 3。+ 2 + 宜/ /口（2）将t二一.变形，得2,广2。+ 22 (t-1) 2a2+ (3-2t) a+2 (t-1) =0,显然，当"0时，t=l.当 tHl 时，.= (3-2t) 2-4X2 (t-1) X2 (t-1) 20,即 12t2-20t+70,26综上所述，tmi/L，仅当a=l时取得.评注：在求二次函数的最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑?（）与二次项系数 不为0的条件.【

19、知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】点A为），轴正半轴上一点，4 B两点关于不轴对称，过点A任作直线交抛物线y = 于p，。两点.（1）求证：ZABP = ZABQ；（2）若点A的坐标为（0, 1）,且NP8Q=60。，试求所有满足条件的直线PQ的函 数解析式.V【解析】解:（1）如图，分别过点P，。作y轴的垂【答案】y = -gx+l设点A的坐标为（0,f）,则点8的坐标为（0, T ）线，垂足分别为G D.设直线PQ的函数解析式为y = kx + t，并设P, Q的坐标分别为（%， %），（4， “）.由 y = kx + t,2 ,得于是于是2 ,

20、八 一厂一如一/ = 0, 3XPXQ = _ 51'即 / = T XPXQ , 2丫242 2 22 /、BC_yp+! _3Xf> +Z_.xMo _（Xp（呼_BD y +t 2 2*7 -22 2 一2一 4+/ -XQ APXQ -XQ（XQXP） JJJJT7H4.PC Xp 匚匚 BC PC 乂因为乐.机所以而=逅因为N BCP = N BDQ =90。,所以5CPs/8。, 故N ABP二NA3Q.（2）设尸C = ，DQ = b,不妨设由（1）可知Z ABP = Z ABQ = 30° , BC=小a , BD二®,所以AC二小。-2, A

21、0=2-回.因为尸C。，所以ACQs/xa。.工日 PC AC Hll a 出。-2DQ AD b 2一小b所以 a+ b = y/3ah .由（1）中 XpX0=-3, B|J -ab = -,所以岫=3, a+ b =,2222于是可求得。="=不.将=曰代入），=+：得到点。的坐标（，1）.再将点。的坐标代入)，=依+1,求得攵=-£ .、所以直线PQ的函数解析式为)，=1.【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为A(l, -1)的抛物线经过点B (5, 3),且与x 轴交于C, D两点(点C在点D

22、的左侧).(1)求抛物线的解析式；(2)求点O到直线AB的,距离：(3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且NMND=NOAB,当DMN与4 OAB相似时，请你直接写出点M的坐标.【答案】如下解析【解析】 解：(1)设抛物线的解析式为y=a (x-1) 2-1,将B点坐标代入函数解析式，得(5 - 1)- 1=3,解得a=l.4故抛物线的解析式为y= (x- 1) 2- 1：(2)由勾股定理,得OA2=P+12=2, OB2=52+32=34,AB2= (5-1) 2+ (3+1) 2=32,OA2+AB2=OB2,，ZOAB=90%O到直线AB的距离是OA=J：(3)设 M (a,

23、b), N (a, 0) 当 y=0 时，-1 (x- 1) 2- 1=0,解得 X1=3, X2= - 1，D (3, 0), DN=3 - a.当MNDs4OAB 时，理M即上士工0A AB x： 2 4%； 2化简，得4b=a-3M在抛物线上，得b,（a - 1） 2 - 144b=3-a联立,得J1 ,1、2 ,，吟（a-1 ） / -1解得a3 （不符合题意，舍），az=-2, b4,4M, （ -2,工），4当MNDs/BAO 时，MTLND 叩匚3-aBA 0At、4阮 '化简，得b=12-4a，fb=12-4a联立，得b= (a T )2-r解得ai=3 （不符合题意，

24、舍）,a2=- 17, b=L2 - 4x ( - 17) =80,M2 （ - 17, 80）.综上所述：当DMN与OAB相似时，点M的坐标（-2, -）, （-17, 80）4【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，折叠矩形OABC的一边BC,使点C落在0A边的点D处，已知折痕BE=5J用，且叽i以0为原点，0A所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线I： y=0E 3-二x2+x+c经过点E,且与AB边相交于点F.16 2(1)求证：AABDAODE：(2)若M是BE的中点，连接MF,求证：MF1BD；(3) P是线段BC上一点，点Q

25、在抛物线1上，且始终满足PD_LDQ,在点P运动过程中，能否使得PD=DQ?若能，求出所有符合条件的Q点坐标：若不能，请说明理由.【解析】 解：（1）:四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知BCEgZBDE,AZBDE=ZBCE=90%,: NBAD=90。，:.NEDO+NBDA=NBDA+NDAB=90。，NEDO=NDBA,且NEOD=NBAD=90。，AAABDAODE：（2）es=AOE 3，设 OD=4x, OE=3x,则 DE=5x,*.CE=DE=5x>AAB=OC=CE+OE=8x,XVAABDAODE,> DQE. 3盛而DA=6x>，BC=OA=10x

26、,在RtBCE中，由勾股定理可得BE2=BC?+CE2,即(575)2=(10X)2+ (5x) 2,解得 x=l,，OE=3, OD=4, DA=6, AB=8, OA=10>抛物线解析式为y= - -x2+-ix+3»16 2当x=10时，代入可得y,，AF=X BF=AB - AF=8 -44 4在RtAFD中，由勾股定理可得，BF=DF,又M为RtABDE斜边上的中点，MD=MB,AMF为线段BD的垂直平分线，AMF1BD：(3)由(2)可知抛物线解析式为y= - -lx2+lx+3,设抛物线与x釉的两个交点为M、16 2N,令 Y=o,可得 0= - -l-x2+-i

27、x+3> 解得 x= - 4 或 x= 12,16 2AM ( -4, 0), N (12, 0),过D作DG_LBC于点G,如图所示，.点M、N即为满足条,件的Q点，.存在满足条件的Q点，其坐标为（-4, 0）或（12, 0）.【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点。顺 时针旋转90。得到平行四边形ABOU.抛物线y= - x?+2x+3经过点A、C、A，三点.（1）求A、A，、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形AB9C重登部分ACOD的面积；（3）点M是第

28、一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，AMA，的面积最大？最大 而积是多少？并写出此时M的坐标.2【答案】如下解析【解析】解：(1)当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=3,X2=-l,则 C ( -1, 0), A' (3, 0)：当 x=0 时,y=3,则 A (0, 3)；(2) :四边形ABOC为平行四边形,/.ABIIOC, AB=OC,而C ( - 1, 0), A (0, 3),B (1, 3)又;平行四边形ABOC旋转90。得平行四边形AB9C, .NACO=nOCD, OC=OC=hX'ZACO=ZABO./.ZABO=ZOC/D.又.NCOD=NA

29、OB,.CODBOA,./C，0D=(0C，)2=(_1_)2A0OA °B VTO 10 S ZxC'OD=- J：10 2 20(3)设 M 点的坐标为(m, - m2+2m+3), 0<m<3,作MN IIy轴交直线AA，于N,易得直线AA的解析式为y= - x+3,则 N (nit -m+3),MN= - m2+2m+3 - ( - m+3) = - nF+3m,/.S.ama'=Saanm+S.amna,MN.32J ( - m2+3m )2=-nr+-Sn223 ,3、 , 27,此时M点坐标为（?，英）. 24【知识点】二次函数拓展【适用场合

30、】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，ABC在平而直角坐标系中的位置如图所示，A点坐标为（-6, 0）, B点坐 标为（4, 0）,点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的 抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.（1）求抛物线的解析式：（2）如图，将4BDE以DE为轴翻，折，点B的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线 的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax、bx+8的对称轴上是否存在点F, 使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标：若 不存在，请说明理由.【答案】如下解析【解

31、析】 解:解：(1)抛物线丫=2*2+6*+8经过点A ( -6. 0), B (4, 0), .136a - 6b+8=0 16a+4b+8=。不解得 9，抛物线的解析式是：y=-&2-2x+8.33设G点的坐标为(-1, n),由翻折的性质，可得BD=DG,VB (4, 0), C (0, 8),点 D 为 BC 的中点，点D的坐标是(2, 4),，点 M 的坐标是(-1, 4), DM=2 - ( - 1) =3,VB (4, 0), C (0, 8),B C=g_2=4 V5,.BD二2巡，在 RtZkGDM 中，32+ (4-n4 2=20,解得 n=4±JH，AG

32、 点的坐标为(-1, 4+V1I)或(-1, 4 - V1T).（3）抛物线y=ax?+bx+8的对称轴上存在点E使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行 四边形.当CDEF,且点E在x轴的正半轴时，如图，图由（2）,可得点D的坐标是（2, 4）, 设点E的坐标是（c, 0）,点F的坐标是（-1, d）,1+2|TI F=4 则（ 8+0_d+4 2 = 2点F的坐标是（-1, 4）,点C的坐标是（1, 0）.国当CDEF,且点E在x轴的负半轴时，如图,由（2）,可得点D的坐标是（2, 4）,设点E的坐标是（c, 0）,点F的坐标是（-1, d）,5（-1） _c+22工点F的坐标是（-1,

33、- 4）,点C的坐标是（-3, 0）.当CEDF时，如图，图由（2）,可得点D的坐标是（2, 4）,设点E的坐标是（c, 0）,点F的坐标是（-1, d）,-0+2尸（ D,r =2则<8+4_d+02 = 2点F的坐标是（-1, 12）,点C的坐标是（3, 0）.综上，可得抛物线y=ax?+bx+8的对称轴上存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边 形，点 F 的坐标是（-1, 4）、（ - 1, - 4）或（-1, 12）【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】5'演练【试题来源】 【题目】求函数尸（4-x） +2尸历的最值【答案】4+3x/3【解

34、析】 解：设u=2+9-X,则u>0,且尸4+u.于是（u+x） 2=4 （x2+9）,即3x2-2u x+36-u2=0.VxER,.上式的判别式= （2u） MX3X （36-u2） 20,即4227,故u23有.y=4-x+2 6+9的最小值为4+3 G （当x二G时取到）.评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由 20即可求得u的范国，从而求得y的最值.这是一种常用的方法，应掌握【知识点】二次函数拓展【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】2002年太原市竞赛题【题目】已知二次函数厂X2-X-2及实数a>-2,求（1）函数在-

35、2<xWa的最小值；（2）函数在a-+2的最小值.9 【答案】-4【解析】解：函数y=乂2-工-2的图象如图.1 19(1)当-2<a<一时，ymin=y I x=a=a2-a-2：当 a2 时，ymin= y I ,.2 2. r 41 3(2)当-2<a 且 a+2一，即-2<a<- 时,ymin=yIx=a+2= <a+2) 2- (a+2) -2=a2+3a：2 21 31当 a< Wa+2,HP- -时，2 229Ymin= y I )=-.X、 4评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，而数形结合的方法 可以直观地帮

36、助求解.【知识点】二次函数拓展【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxS 与x轴交于A ( - 3, 0), B (1, 0)两点.与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线的对称轴对称.(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标：(2)如图1,点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A玲B匀速运动，到达点B 时停止运动.以AP为边作等边APQ (点Q在x轴上方)，设点P在运动过程中， 与四边形AOCD重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式:(3)如图2,连接AC,在第二象限内存在点M,使得以M、O、

37、A为顶点的三角形与 AOC相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.【答案】如下解析2【解析】 解：解：（1）:抛物线丫=*2+6乂+经过A （-3, 0）, B （1, 0）两点,f9a - 3b+V3=0、a+b+= 0Ja=T解得b二一等I，抛物线解析式为y= 一 回一空x电;33则D点坐标为（-2,6）.（2） 点D与A横坐标相差1,纵坐标之差为击，则tanZDAP=,，NDAP=60。，又APQ为等边三角形，,.点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD刃（的）2 + 俨2.当0小2时，P在线段AO上，此时4APQ的面积即是4APQ与四边形AOCD的

38、重叠面 积./ ZQAP=60%此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上, 设QP与DC交于点H,VDC/AP,，/QDH=NQAP=NQHD=NQPA=60。，A AQDH是等边三角形，A S=SAQAP - S/.QDH,VQD=t - 2,ASaqdh= (t-2) 2,4：.S=t2 -立(t - 2)- V3.44此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，设QP与DC交于点E,与OC交于点F,过点Q作AP的垂涎，垂足为G,OP=t-3, ZFPO=60% OF=OPtan6(T=6 (t - 3), SAFOP=ixV3 (t- 3) (t-3) £ (t-3) 222/S=SaQAP - SaQDE - S&FOP，S