双曲线题型归纳含答案

1、2 x例i 设P是双曲线F a三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念2y- i上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2y 0 , Fi. F2 92分别是双曲线的左、右焦点.若I PFi I3,则|PF2|()B.分析：根据标准方程写出渐近线方程,C. 7两个方程对比求出D. 9a的值，利用双曲线的定义求出IPF2I的值.2解：双曲线2a2y- i渐近线方程为y=9-x,由已知渐近线为 a3x 2y 0,a 2, | PFi |IPF2II 4, IPF2 |4 I PFi |.Q| PFi I 3,IPF2I 0, IPF2I 7.故选C.归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程

2、的表示法.（二）基本量求解点,例2（2009山东理）设双曲线则双曲线的离心率为（B.解析：双曲线2x-2a2 y b2所以归纳小结2 x 2 aC.2 y b21的一条渐近线与抛物线x2 I只有一个公共i的一条渐近线为b-x,由方程组 ab_ xa ,消去y,得x2 i55 ,故选D.0有唯一解，所以 =（-）24 0,:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.2X例3 （2009全国I理）设双曲线Ja2L 1 b2（a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=x2 +1 相

3、切,则该双曲线的离心率等于（）A. 3B.2 C.D.解析：设切点P（Xo,yo）,则切线的斜率为22y0X）1,联立两式解得：X01, b 2,eay。X02xo .又有因此选C.例4 （2009江西）设Fi和F2为双曲线2y1(a0,b0）的两个焦点，若Fi, F2 ,P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（B.c斛析：由tan 6 2b2,故选B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征,合思想的应用.（三）求曲线的方程2X例5 （2009,北与）已知双曲线 C：-2 ab2从而得出tan 一 6c2b,体现数形结31（a 0,b 0）的离心率为J3,右准线方程34(1

4、)求双曲线C的方程；(2)已知直线x y m 0与双曲线 C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆22x y 5上，求m的值.分析：(1)由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线 C的方程；(2)将直线与双曲线方程 联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值.a2.3解：(1)由题意，得 c 3 ,解得a 1,c J3. c 3 a 2 222._2 y b c a 2, 所求双曲线 C的方程为x 1. 2(2)设A、B两点的坐标分别为x,y1 , x2,y2 ,线段ab的中点为M x0,y0 ,2,x2 12_2_ _由 2 得x22mxm220 (判别式0),x y m 0x

5、X2一x0 m, y° x0 m 2m,2,一点 M x0,y0 在圆 x2 y2 5上，.22m 2m 5, m 1.2丫1x13由22x 2以x22另解：设A、B两点的坐标分别为 x1,y1 , x2, y2 ,线段AB的中点为M x0, y0 ,1，两式相减信(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y) 0.21由直线的斜率为1, x0 xy。 以22代入上式，得y0 2x0.22一 一一一 22又M(y0,x°)在圆上，得o x05,又M(y0,x0)在直线上，可求得 m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程

6、的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.22例6过M (1,1)的直线交双曲线x4 5 1于A, B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程.分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率.为此可设其斜率是k ,利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线 AB的方程.也可设出弦的两端点坐标用 “点差法” 求解.解法一：显然直线 AB不垂直于x轴，设其斜率是k ,则方程为y 1 k(x 1).222L 1由 42 消去 y得(1 2k2)x2 4k(1 k)x 2k2 4k 6 0y 1 k(x 1)设A(x1,y1)，B(x2, y?),由于M为弦AB的中点,所以包22

7、2k(1 k) 1,所以k 1.21 2k22 1 一.显然，当k 时方程的判别式大于零.21所以直线AB的方程为y 1 一(x 1),即x 2y 1 0.2解法二：设 A(x1 y1), B(x2, y2),则22x1y14222殳必42得(x, x2)(x1 x2) 2(y1 y2)(y1 y) 0.又因为 x1 x22, y1y22,所以 x x2 2(y1 y2).若 xx2,则 y, y2,由 Xx22, y y2 得 xX21, y1y21 则点A B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以x1 x2.所以k 江一y2 -.x1 x221所以直线AB的万程为y 1 (x 1),即x 2y

8、1 0 .2经检验直线x 2y 1 0符合题意，故所求直线为 x 2y 1 0 .解法三：设A （x, y）,由于A、B关于点M （1, 1）对称，所以B的坐标为（2 x, 2 y）,22土匕1,则 42消去平方项，得x 2y 1 0.（2-x） 2 （2 y）2 142.即点A的坐标满足方程，同理点 B的坐标也满足方程.故直线AB的方程为x 2y 1 0.归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所 以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.（四）轨迹问题22x y例7已知点耳（%, y0）为双曲线- 工2 1 （b为正常数）上任

9、一点，F2为双曲线的右8b2 b2焦点，过p作右准线的垂线，垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2.求线段P1 P2的中点P的 轨迹E的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点 P是线段P, P2的中点，可利熟(X 3b).用相关点法.解：由已知得F2（3b,0）, A（8b,y。）,则直线F2A的方程为:3令 x 0得 y 9y0 ,即 P2(0,9y0).包设 P(x, y),则2y09 y02x 2x 22即 v代入吗将y0 y 8bb51得:4x28b22y25b21,即P的轨迹E的方程为2b22y25b21. (x R)13归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析

10、几何常用方法.(五)突出几何性质的考查22例8 (2006江西)P是双曲线上 _y_ 1的右支上一点，M,N分别是圆(x 5)2 y2 4916和(x 5)2 y2 1上的点，则|PM | |PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点 Fi( 5,0)与F2 (5,0)恰好是两圆的圆心，欲使 |PM| |PN|的值最大，当且仅当|PM |最大且|PN |最小，由平面几何性质知，点M在线段PF1的延长线上，点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大.此时 |PM| | PN | (PFi 2) (PF2 1) |PFi IPF2I 3 9 .因此选 D.例9 (2009重庆

11、)已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x ，5,离心率e J5 .5(1)求该双曲线的方程；(2)如图，点A的坐标为(J5Q) , B是圆x2 (y J5)2 1上的点，点M在双曲线右 支上，求 MA |MB|的最小值，并求此时 M点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将 MA、MB转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22xy22 ab1 (a 0,b 0),设 c, a2 b2 ,由准线方程为x5 a2J得一由e4得c非.a2解得a 1,c J5.从而b 2,该双曲线的方程为x2 -y- 1.4（2）设点D的坐标为（J5,0）,则点A、D为双曲线的焦点,则 |MA| |MD 12a 2.所以 |MA | |MB 12 1MB | MD B 2 | BD | .因为B是圆x2 （y 袤）2 1上的点，其圆心为C（0,后）,半径为1,故 |BD|A|CD| 1 布 1,从而 |MA| |MB |> 2 |BD |&