线性代数特征值特征向量试题及答案

1、abJ2m苗第五章特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，使A,则称数为矩阵A的特征值，非零向量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。定义2:EAf(),称为矩阵A的特征多项式，f()=EA0,称为矩阵A的特征方程，特征方程的根称为矩阵A的特征根矩阵EA称为矩阵A的特征矩阵齐次方程组(AE)X0称为矩阵A的特征方程组。性质1:对等式A作恒等变形，得(AE)0,于是特征向量是齐次方程组(AE)X0的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即AE0,说明A的特征值为EA0的根。由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：(1)是A的特

2、征值AE0,即(E-A)不可逆.(2)是属于的特征向量是齐次方程组(AE)X0的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为：(1)计算A的特征多项式，EAf()(2)求特征方程f()=|EA0的全部根，他们就是A的全性质3:设1,2,，n是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到:(1)1+2+n=tr(A)(A的迹数，即主对角线上元素之和).12n=A.性质4：如果是A的特征值，则(1)f()是A的多项式f(A)的特征值.(2)如果A可逆，则1/是A-1的特征值；|A|/是A*的特征值.即：如果A的特征值是1,2,，n,则(1)f(A)的特征值是f(1),f(2),f(n).(2)如果A可逆

3、，则A-1的特征值是1/1,1/2,/也因为AA|A,A*的特征值是|A|/1,|A|/2,A|/n.性质5：如果是A的特征向量，特征值为，即A则(1)也是A的任何多项式f(A)的特征向量，特征值为f();(2)如果A可逆，则也是A-1的特征向量，特征值为1/;也是A*的特征向量，/I征值为|A|/。kAaAbE一A1是刖勺特征值，则：2分别有特征值A2AmA部特征值；(3)然后对每个特征值，求齐次方程组(AE)X0的非零解，即属于的特征向量.性质2:n阶矩阵A的相异特征值1,2m所对应的特征向量是A关于的特征向量，则也是上述多项式的特征向量。推论：(1)对于数量矩阵E,任何非零向量都是它的特

4、征向量，特征值都是(2)上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素(3)n阶矩阵A与他的转置矩阵AT有相同的特征多项式，从而有相同的特1,2线性无关征值，但是它们的特征向量可能不相同5.零为矩阵A的特征值是A为不可逆的（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）非充分、非必要条件一、特征值、特征向量11011.设A430,B11020解：假设10且A的特征值为2和1（二重），那么B特征值。21,2,n为A的所有特征值，则|A|12n.所以0为A的特征值A可逆（C）为答案.解：A,AT具有相同的特征值.BAt,所以B和A具有相同的特征值，B的特征值为：2和1（二重）。2.设A是n阶方

5、阵，A为A的伴随矩阵,|A|=5,则方阵BAA的特征值是特征向量是解：因为AAAA|A|E,所以对于任意n维向量有AA|A|E|A|2是矩阵A的两个不同的特征值，与是A的分别属于量，则有与是2的特征向（A）线性相关（B）线性无关（C）对应分量成比例（D）可能有零向量7.设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,是A的分别属于2的特征向量，则（A）对任意k10,k20,k1k2都是A的特征向量.一_I_*所以|A|=5是BAA的特征值，任意n维向量为对应的特征向量。(B)存在常数k10,k20,k1k2是A的特征向量.3_23.三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则B2A33A2的特征值为(C)当k10

6、,k20时,kk2不可能是A的特征向量.解：2133121,2(1)33(1)25,2233224,(D)存在惟一的一组常数k10,k20,使k1k2是A的特征向量.3.设A为n阶矩阵，A0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特解:12为A的二个相异的特征值,所以存在非零向量,满足，一*9征值，则（A）E必有特征值2.而且线性无关.？A.?A,A、2解：因为A一,A的特征值为一，所以上式的特征值为：（一）A假设存在满足:A(k1k2(k1k2)所以2k2k1k24.设n阶矩阵A的特征值为1,2,，n,试求12AE|.解：因为A的特征值为1,2,，n,所以2A+E的特征值为K)(2k2

7、k2)2i1(i1,2,n).所以12AE|(2i1)。i1因为线性无关,所以k1=0,1；水2k2=0,2.和12矛盾.所以（C）为答案.8.设0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(0EA)x0的基础解系当t0,1时为1和2,则A的属于0的全部特征向量是(A)1和2(B)1或2(C)Ci1C22(Ci,C2为任意常数)(D)C11C22(C1,C2为不全为零的任意常数)所以r(A解.因为齐次线性方程组(oEA)x0的基础解系为1和2,所以方程组E)2,方程组(AE)x0基础解系所含解向量个数为1个相应的方程组为x10x22x30.取x31，得x22.所以解向量为0,2,1T对应于1的全部

8、特征向量为k0,2,1To(0EA)x0的全部解为Ci1C22(Ci,C2为任意常数)，但特征向量不能为零，则A的属于。的全部特征向量是：C11C22(C1,C2为不全为零的任意常数),(D)为答案.10.设A是3阶矩阵，且矩阵的各行元素之和均为5,求矩阵A的特征值、9.设1是矩阵的特征值,特征向量。求:(1)t的值;(2)对应于1的所有特征向量。1111题答案:解:因为t为任意实数。(2)0,11.已知1,1,1的特征向量12.设A是阶矩阵,满足A2=A,求矩阵A的特征值。的特征值。所以r(AE)2.方程组(AE)x0基础解系所含解向量个数为相应的方程组为x2x2x300.取x31,得x22

9、.所以解向量为0,2,1T,对应于1的全部特征向量为k0,2,1T解：A2A013.设向量解：E0A0或者AE010或者1b1,b2bn都是非零向量，且满足条件T,求：(1)A2(2)求A的特征值与特征向量。=44=(aTfl)(arp)=f=(pTaapT=aTp(邱'=O22(2)设为特征值，Axx,x不为零，AxAxx特征值为:因为3二0,所以万#=0.因为XHO,故兀=0,即矩阵j的特征值全为零.解:1,2,322332,TT2T任意n个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选n个单位向量。14.设矩阵AA.c*3,其行列式A1,又A的伴随矩阵A有一个特征AA2A的一个特征向量

10、为(1,1,1)T,求a、b、c和0的值解：因为二、相似矩阵定义1：设AB都是n阶矩阵若有n阶可逆矩阵P使P1APB。则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似，记作AsB,可逆矩阵P称为相似变换矩阵。相似是矩阵之间的一种重要关系，它满足：自反性、对称性、传递性。所以也是A的特征向量。相似矩阵的性质：|Ar(A)r(B)B,从而A,B同时可逆或不可逆。B,从而A,B有相同的特征多项式，有相同a15cc,b3,0的特征值，但特征向量不一定相同。tr(A)tr(B)证明：因为A与B相似所以有可逆矩阵P使P1APB因此|BE|P1APE|P1APP1(E)P|又因为1,代入可得:|P1(AE)P|P1|

11、AE|P|AE|即A与B有相同的特征多项式15.设a1,0,Taan为正整数，则aEAn若AsB,则f(A)sf(B),即A1sB-1,ATsBT,AksBk解:10-I000-010120,3从而aE-的三个特征值为：fl-A?r即。，口一2gE，|二d4(口2")="(口2fl).16.若3维列向量满足T2,其中T为的转置，则矩阵T的非零数量矩阵只与自己相似.因相似的矩阵有相同的秩，即相似的矩阵一定等价,三、矩阵的相似对角化定义1:对任意n阶矩阵A寻求相似变换矩阵但等价的矩阵不一定相似。P使P1AP为对角阵称为矩阵A的相似对角化。假设已经找到可逆矩阵P使pAp为对角阵我

12、们来讨论P应满足什么关系把P用其列向量表示为P(P1P2pn)由P1AP得APP即2A(p1,p2,pn)(p1,p2,pn)npn)即ri重特征值i有ri个线性无关的特征向量，则n阶矩阵A与对角阵相似于是有Apiipi(i12n)21.已知矩阵A00000相似，则x=1可见i是A的特征值而P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量反之由上节知A恰好有n个特征值并可对应地求得n个特征向量这n个特征解：因为A,B相似,所以|A|向量即可构成矩阵P使APP（因特征向量不是唯一的所以矢I阵P也不是唯一的|B|2y,y1-并且P可能是复矩阵）相似矩阵的迹相等：tr(A)tr(B)2.于是x0.由上

13、面讨论可知，A能否与对角阵相似，取决于P是否可逆，即p1,p2pn是1.设，为3维列向量,的转置，若矩阵否线性无关，当P1,P2Pn线性无关时（此时P可逆），则由AP=P,得P1AP,2相似于000,则T0即A与对角阵相似。综上所述，有：定理1:n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是解:线性无关的特征向量推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等则A与对角阵相似a2a3a2a33,相似矩阵的迹相等。n当A的特征方程有重根时1.设a1,1,1T,1,0,k若矩阵T相似于能对角化定理2:设就不一定有n个线性无关的特征向量从而不一定m是n阶矩阵A的互异特征值，其重数分别为解:2.与n阶

14、单位矩阵E相似的矩阵是（A）数量矢巨阵kE（k1)(B)n,则A与对角阵相似的充要条件为（C）单位矩阵E(D)r(AiE)nri(i=1,2,解：令PE,则P1E.所以P1EP3.设A为2阶矩阵,对角矢I阵D（主对角元素不为1）任意n阶矩阵AEEEE.所以（C）是答案.2为线性无关的2维列向量，A10,A2212,则A的非零特征值为解:0,21a2ApPB1Ap和B相似，有相同的特征值,210601566618532弓232324.A,B是n阶方阵，且AsB,(A)AB的特征矩阵相同6.设矩阵(B)AB的特征方程相同A与B相似,其中A(C)AB相似于同一个对角阵(D)一1一存在正交矩阵T,使得

15、TATB(1)求x和y的值；(2)求可逆矩阵P,使得P1APB。解：AB,则存在可逆方阵P,使得1PAPB.所以解：因为A相似于B,所以|A|=|B|,所以xy;且tr(A)tr(B),所以_1_1|EB|EPAP|PIIEA|P|EA|所以A,B的有相同的特征方程,(B)是答案.xy2.得x1,y1。5.设三阶矩阵A满足Aiii(i1,2,3),其中列向量1(1,2,2)T,由B的表达式知：A的二个特征值为(2,2,1)T,(2,1,2)T,求矩阵Ao(AE)x解:P1,2,，AP1,22,33因为1,2,3是特征值,1P1APr(AE)相应的方程组为0,(2)1方程组x2x32(AE)x0

16、,即00(AE)x0,0的基础解系只有个解向量20x0,得特征向量：1,0,0Tr(AE)1,方程组(AE)x0的基础解系有二个解向量，相应的方程组为X1X2X3°,取X11,X2。，得X31,取X1°,X21,得X315121时，AE131°26得二个线性无关的特征向量11,°,1T°,1,1T有2个线性无关的特征向量，可对角化,°,°1T,22,1,°T所以矩阵2时，A2E1°565,1,37.矩阵A=解:(1)(2)33的特征值有重根，判断矩阵5A能否相似化，并说明理由。P1,2,1P1AP281&

17、#176;9.2,2是重根,81°2代入2。是重根,有2个线性无关的特征向量，可对角化。当a6,4时,1°问k为何值时U-1AU是对角矩阵.解：A可对角化？(2)此时作可逆矩阵U使得2,不能对角化。48.已知A=131036判断A能否对角化，若能对角化则求可逆矩阵P,1°.已知3阶矩阵化A为相似标准形。(1,-1,解：AE解:a21a31°,rA1AUA的第一行元素全是1,且°)T是A的3个特征向量，求A(1,a22a23a32a3313,11,所以k°,可对角化1,)T,(1,°,-1)T,331PAP0，AP0P0011

18、设A为3阶矩阵，1,2,3是线性无关的3维列向量组，满足12.设矩阵A1A.,I11可逆，向量对应的特征值，其中.T.?1,b,1是矩阵A的一个特征向量，是A?是矩阵A的伴随矩阵，试求a,b的值。(1)求作矩阵B,使得A(1,2,3)(1,2,3)B(2)求A的特征值。(3)求作可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。33)因为1,2,3是线性所以ACBC1解：由于矩阵A可逆,A,可逆，于0,:A(1,2,3)(13,2a2AA1,2,无关的，所以C可逆,所以A和B相似，相似的矩阵有相同的特征值。2-100AE-B=-1z-2-2=(71尸(74)=0,1-1A-3b=11112或匕=-2;*=

19、a=1对应于4=4=1,解齐次线性方程组(E-B)X=01得基础解系4=(LL。尸，&=120,1)33+b3-b节占=-2时*A=4.13设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特对应4二*解齐次线性方程组(4E-B)义=0,得基础解系曷二(01),一征值的特征向量，则矩阵p1Ap属于特征值的特征向量是(APla1因为Q1BQ1，又因为ACCBBC1AC4解：p1Ap_TT-1Tptatp1PTApT1又因为Apta1Q1c1ACQ1PCQ4120(1,2,3)101011PtApTpta同理可求：p1ApP1A21,0,1当7时，A对应的一个特征向量为1,1

20、,114设矩阵A特征向量，其中1,BPAP,求B+2E的特征值与为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.B+2E对应于特征值9的全部特征向量为k1p1kil,1,0解：设A特征值为，特征向量为.由于A70,所以k2P12k21,1,1,其中k1,k2是不全为零的任意常数0.又因A*AB+2E对应特征值3全部特征向量为k3Pk30,1,1,k3是不为零的任意常数.所以B的特征值为,B+2E的特征值为2。或者用另一种方法:22又由P可得5PAPP1A1A*P(P12E所以:(B2E)P12)P因此B+2E的特征值为1,对应的特征向量为P1由于根据E(B+2E)|7,7,1。因此,9)2(3),可知B+2

21、E的特征值为9,3.同样方法求特征向量。(1)2(7)，故A的特征值为15已知3阶矩阵A与三维向量3Ax3Ax2A(1)记x,使得X、AX、A2X线性无关，且满足一一21(x,Ax,Ax),求3阶矩阵B,使APBP；A,的特征值是,A7,所以A的特征值是B+2E的三个特征值分别为9,9,3.当121时，A对应的线性无关特征向量可取为11,1,0(2)计算行列式解：APBPAPPB一.2APAx,Ax,AxA(x,Ax,Ax)(Ax,Ax,Ax)02(x,Ax,Ax)10.2.3Ax,Ax,Ax(Ax,Ax,3Ax00人门AP03.2_2Ax,Ax,3Ax2Ax.2Ax)(2)由(1)知，A与B

22、相似，故3PBA+E与B+E也相似，于是有(4)把这n个两两正交的单位特征向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q,便有Q1AQQTAQ=，注意中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应。五、矩阵的合同定义：设A,B为两个n阶方阵，若有n阶可逆阵P使得PTAPB,则称100AE|BE1134011四、实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的性质：(1)特征值全是实数，特征向量是实向量；(2)不同特征值的特征向量必定正交；(3)k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；1(4)必存在n阶正交矩阵Q,使Q1AQQtAQ=矩阵A与B合同，记为AB。合同也是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质：自反性、对称性、

23、传递性。定理1：若A为实对称矩阵，则A一定与对角阵合同。性质1：合同的矩阵有相同的秩，即合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不定合同。三、实对称矩阵的对角化1,设3阶实对称矩阵A的特征值为1、2、3,(1,1,-1)丁和(-1,2,1尸分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求Ao解：根据不同特征值的的特征向量相互正交，设3的特征向量为a,b,cn1, 2n,为矩阵A的特征值。于是，我们得出：实对称矩阵可对角化，并且可以用正交矩阵将其对角化.设A是实对称矩阵，构造正交矩阵Q使得Q1AQ是对角矩阵)的步骤：(1)求出A的全部互不相等的特征值12s它们的重数依次为k1k2ks(k1k2ks

24、n)0(2)对每个ki重特征值i求方程(AE)x0基础解系得ki个线性无关特征向量。(3)利用施密特正交化方法，把对应于每一个i的线性无关的特征向量先正交化再单位化得ki个两两正交的单位特征向量，他们仍为矩阵A的对应于i的特征向量。a2b2,三阶实对称矩阵0,1,1T1,0,1TP1AP解：设0,1,132521025213的特征值为1,1,2,3)对应于1的特征向量为31对应的特征向量为:x1，x2,x3x301T,3I。,。T，A(1,2,3)(11,22,33)2,33)(3)2,3为B的属于1的两个线性无关的特征向量，因为不同特征值的1010010101101101101特征向量相互正

25、交，所以:0,3.3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值，向量(1,1,0)丁和(2,1,1尸和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量。X1(1,1,1)X20，可取X3(1)求A的另一个特征值与相应的特征向量.(2)求A.解：因为rA2A00是它的一个特征值。B的全部特征值的特征向量为:k111k2k3k10，是不为零6的3个向量中，任意2个都是线性无关白1可选向量(1,1,0)丁和(2,1,1尸的任意常数，k2,k3是不同时为零的任意常数设4=0所对应的特征向量为ct=(司,心内则仃的，二0,«7、即=0.=0.P1-0,4.设3阶对称矩阵2-1111A的特征值11,2

26、2,1的一个特征向量，记(k为任意不为零的常数).1J.1312312,(1,1,1),是人的属于5.设实对称矩阵求可逆矩阵P,1Ap为对角型矩阵，并计算行列式AE的值。解:_5._3_BA54A3E其中E为3阶单位矩阵(I)验证1是矩对于特征值44=n+L时应的两个线性无关的特征向量阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量.(II)求矩阵B.=(LLO),0=(L(U).解：B的3个特征值为12,21,31,对)特征值&二口一2,可汨对应的祥怔向量=(-lJl,l)r因为A111,所以A51J1,A31131(A54A3E)15314111,所以1是B的特征向量,1I-11010

27、11j由且的特征值可得看一上的特征值为6口一3.是齐次方程组Bx0的解向量，求Bx0的解空间的一个标准正交基。解：rB2,所以基础解系含有2个向量。3个向量中任意2个都是线性无关的,6.设3阶实对称矩阵A11,(1)求可逆阵P,0我们可以取1,2P1AP为对角阵(2)求正交阵Q,1AQQTAQ为对角阵。解:(2)11.312,00(向1,2,设:1,1,17.设3阶实对称矩阵(2)求正交阵解：AE3,a102A=1,1,20,1,1TQ,使Q3，2112P.-生=15-38.设B是秩为2的50,1,1T1AQ求可逆阵P,QTAQ为对角阵7,1AP为对角阵9.设A解：PA100求An1APAnP

28、P1PP1nP100P10.设A=解:31003n3n3n3n1323234矩阵,1,1,2,3T,a21,1,4,T,a35,1,8,9TA100653511,2,3A100210。21012100*23100故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为k11,k22(匕*2为不全为零的任11.设矩阵A,矩阵B(kEA)2,其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵解：AE所以B的特征值为:k22,3(k因为;3是A的1重特征值，其对应的特征向量为k3(k3为任意非零实数)相似，并求k为何值时，B为正定矩阵.222010,23222)2.其中2,3(k2一2)为二重根.1,2正交化1,1)1)(i,

29、0,i)T,BT为实对称矩阵,2TkEA所以B为实矩阵。121T(.6,.6,、6),2(I。.IT(1,2,1)T,666(11(.3；3kEat2kE实对称矩阵必与对角阵相似:(k2)2001,2,30(k2)2000k2(3)k2,k0时，B的特征值都为正，此时，B为正定阵.12.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量11,2,20,1,1是线性方程组AX=0的两个解，(I)求A的特征值与特征向量(n)求正交矩阵和对角矩阵，使得qtaq36(3)求A及AE,£为3阶单位矩阵。2解：A的各行元素之和均为3,A0,必有特征值为0,=(L1.1)丁是/的属特征值3的特征向.向量

30、11,2,0,1,1)是线性方程组AX=0的两个解,所以1和2是属于矩阵A的特征值0的特征向量。(1L362,6161_)T1R，1300，QtAQ31213_Lf内613.设A为3阶矩阵,Aa3a2a3,证明证法一：假设2线性无关，则E弛E64a1,a2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量a3满足1(1)a1,a2,a3线性无关；(2)令P31e2e3,求PAP.3线性相关，因为3可由1,2分别属于不同特征值的特征向量,2线性表出，不妨设3111122,其中ll,l2不全为零(若ll2同时为0,则3为0,由A33可知(2)若,求秩r(A-E)及行列式|A+2E|.特征向量都是非0向量，矛

31、盾)。解：设kik2k3因为a),a2A的分别属于特征值1,1特征向量,所以1,A2由题设i(i1,2,3),2l11l22,又A3A(l1l22)11l2l11l222l11l22,整理得:21112线性相关，矛盾.所以,3线性无关.代入整理得证法二：设存在数k1,k2,k3，使得k11k22k3(k1k2k312)(k122、k22k32)2(k1+k23+k33)30.用A左乘(1)的两边并由A11,A22得k11(k2k3)k330因为2,3是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关，于是有一(2)得2k11k3k1k2k3因为1,2是A的属于不同特征值的特征向量，所以2线性无关，从而

32、k1k30,代入(1)得k220,又由于20,所以k22,3线性无关.(II)记P3),则P可逆,APA(1,2，3)(A1,A3)k1k1k22122230,必有k1(2)由k2k30,其系数行列式0.2122230,线性无关3)1所以PAP令P=,贝UP可逆，因为AP=PB,P-1AP=14.设A0=B.10为三阶矩阵,的三个不同特征值，对应特征向量为即AB,于从而有是A-EB-E,A+2E-B+2E.3。(1)证明线性无关;r(A-E)=r(B-E)=r1011011=2,200|A+2E|=|B+2E|=121=6.012本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相

33、似矩阵的性质等多个重要知识点.四、综合性题型1111111aIa-aL*%,rr01-f70aa1-a=(¥-+«001£T门门nI1n1.-0111Q1110设:间惭印修A1111因为rAn1A0a1或者a,当a1neA3.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的个特征值是11L11rA_1LLLLLLLL-1-1L-11依次加到其他任意一行,11L11-1L-1LLLLLLLL11L一n1L1n-1L-1LLLLLLLLn1L11L10L0nLLLL00LiiLi一n解：把任意一列都加到第一列，然后第一行aaala日单邦阿一4=n门1Q0=T第二行第一列中的1为0,1

34、1L1nn1,0以矩吒A0勺n个特征值是j和0(n-1重)。n;(n)n-4.设齐次线性方程组LLLL'门网-b、2如0"L0+1-=0.2.L具中心工db不。兰之代旧匕口必小何I伫的Y白冬解、有无穷姿组解？在右无穷L(功=(C)-l.(告,解：把任意一列都加到第一列，然后第一行1依次加到其他任意一行,多组解时,求山华部解.并用基册解系衣示全部解abb-bbabb|j|=bba-b+(«11.bbb&解：.2:当门=51卜，时系数也abb-bbabb1=6%q-bfbbb-'-ai1,1.0.0，；m=仃必+r：4+4cTaYlr,r邪=(】r词靠麒

35、IU构#更热2变化是把最后一行士A作初等变换.肓111-r000000001,01,00T，6为任意常数)疗-.il-n)1I1I-T11-?1111,0,0,0.1T1加到其余各行。-100.0-I-100.0-1原方程组的通解方程组为U1口UT01。0Tj0010140010-L-1>-=>-"-1嗝100011.00011T""111,一11-n000,一00A-i=An1加到其余各行，也可把把第一行其基础解系为#=(1-方程组的全部材解是x=cflC为任意常数)5.已知齐次线性方程组(现a1X1LLa”b)X1a2X2b)X2a?X223X3a

36、nXn(a3LL83X3a3X3b)X3(ananXnanXnb)Xn满足何种关系时，(1)方程组仅有零解;程组的一个基础解系.解：方程组的系数行列式a1a?a2ba3|A|aia1Ma2Ma3a3bMa1ana2a2ba3b)a2Ma3a3bMa3nbn1(aii1b).当b0,0,0,其中0.naii10.试讨论a1,a2,L,an和b(2)方程组有非零解,在有非零解时，求此方anaManbnaiaiaiain(aii1a2a3ana2ba2a2b)a3a3ba3a,a2b0Ma30bMan00Mb0日t,|A|.0,方程组仅有零解(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为：a1X1a2X2

37、LanXn0.11a11122aa00B.na00an由ai0可知ai(i=i,2,，n)不全为零，不妨设a10.因为秩r(A)=1,取i1X2,X3,L,Xn为自由未知量，可得方程组基础解系为Xn0,%二(-见=(一三一010)，,4=(-区电口15当a=0时，r(A)=1<n,故方程组有非零解，其同解方程组为：x1x2基础解系为:1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)Tn1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为：Xk11kn1n1,其中K,kn1为任意常数nn当baj时，由ai0知b0,系数矩阵可化为i1i1将在)第1行的-1倍枷到其余各行.当a0时，对矩阵B作初等行变换，有

38、1a111ann_1)00221002210n001n00n(n1)2时，第n行倍到第2行的-%倍加到第1行，再将第1行移到最后一行r(A)n1n,故方程组也有非零解，其同解方程组为2x1x23X1X30,由此得基础解系为:(1,2,n)TnX1Xn0,由此得原方程组的同解方程组为巧=可，巧=*，.彳=巧可得Ax=0的基础解系为(1,1,1L,1)T.于是方程组的通解为:xk,(其中k为任意常数)。6.设有齐次线性方程组n2(1a)X1X2Xn0,2X1(2a)X22Xn0，试回a嬖何值时，方程组有非零解，并求出其通解nX1nX2(na)Xn0,【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有【

39、详解2】方程组的系数行列式为1 a111A22a22(a皿小1.nnnna当A0,即a=0或an(n1)时，方程组有非零解2当a=0时，方程组的同解方程组为x1x2Xn0,结果同解法1.当an(n1)时对系数矩阵a作初等行变换，有2解:111、。00。4。0。力11a1122aa0na00当口=Q时，r()=l<4,其同解方程组为再十勺+x5+v4=0/=(Ll,0,0)。小=(LOJ,O)。珞=(I,。，。)，a=%+上空+&糙.Jt中片飞门法为任意常数故方程组的同解方程组为：同上【详解3】矩阵A的行列式A也可这样计算:当日于0时,1+廿11-2100-3010-40。IZ+1

40、0000、-2100-3010“-40011 a112 2a2Annn111矩阵222nnn111222=aE+nannnn12的特征值为0,0,n(n”,从而A的特征值为2“"二-10时，尸()=3<4,故方程组也有非零解.其同解方程组为由此得基础解系为7=(1，2,3.4/,所以所求方程组的通解为，二切，其中it为任点:常微.8.设n阶矩阵Abb(1)求A的特征值和特征向量a,a,a7.设有齐次线性方程组n(n1)n(n1)、n1n),故行列式A(an)a22bb1(2)求可逆矩阵P,使得P1AP为角矩阵。+*口+=O,=M+(2+=O13nt*°+e)8+3x4

41、-O.14m十4-az+4Am十(4十=O试问"取阿依时.俄力札:汨f时皆解.并求山式通便(1) 1.当b*Q时.解：A-1-b-&'b3_1b>£-A=.-b-b="i=x-i-(«-i)dA-(i-i»)r1,得d的特征值为4=1+5-1%=一-=4=1-6.心备+招备+忠盘（品.房,E,是不全为零的常数）.对=1+(nl)i*.2当:=0时,;.-1001+S-朋'l汪-1二04-1-Q二a1厂PAP=1-b00，一1I1-M特征佬为4=-=勺=1.任意非零列向就均为特征向H.（IDr当boo时，力右打个线性

42、无关的特征向最，令尸二心.,之），则T当b=0时，A=E,对任意可逆矩阵尸，均有Tdp=E二w尸，所以/的属尸乙的全部特征向量为（后为任意不为手的常妫0.幡=ML1,L,1)丁心=(L-4=(L0.-1.tO)rt9.设n元线性方程组Ax2a1a22a1a22a1AOOOa22a2a(I)证明行列式|A1(nb,X2,b2Xb1MM2a，Xn,bnXi1)an.（II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求X1（III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.解：证法一xi.oo1)。故/的相于4的全部特征向策为2a2a12a2a12aO12an22a13a22a13a22a2aO2aDn

43、12n1aDn22anaa2(n1)an(n1)an233aR4一a3a212aOO2a12aIA|(n1)an证法三：记DnaDmDn|A|,将其按第一列展开得Dn2aDnaDm2Dn2a(Dn1aDnc3a2a一2(nn1.、一1证法二：记Dn(n1)an当n1时，D1假设结论对小于12aO13a22a2a1)a(n1)anIA|,下面用数学归纳法证明Dn2aO(n2a,结论成立.当n2时，D?n的情况成立.将Dn按第1行展开得Dn2aDn112a2a12aOOO1a22a(Dn2aDn2(D2aD1)anOnan1Dn1)an.2a2a2a3a2,结论成立.naaDn1(n2)an/n1a(aaDnn2)2aDn22D2(n1)ann1,aD1(n1)an2a(n1)a(II)因为方程组有唯一解，所以由由克莱姆法则，将Dn的第X12a2a12aOOO2a2aAx列换成2a2a