矩阵的特征值和特征向量

1、200例 5 已知矩阵 A=002与B：01x一2000y0相似，则x=00-1_2例 6 设n阶万阵A满足A-3A+2I=0,求A的特征值例 8 设 A 为非零方阵，且Am=0（m 为某自然数），证明：A 不能与对角阵相似例 9 设n阶方阵 A 满足A2-7A+10I=0,求证：A 相似于一个对角矩阵结论总结1n阶方阵 A 有n个特征值，它们的和等于 A 的主对角线元素之和（即 A 的逆trA）,它们的乘积等于 A 的行列式 IA2如果人1,，九m是方阵 A 的特征值，R,，Pm是与之对应的特征向量，如九1,，九m互不相等时，PI,，巳线性无关第四章矩阵的特征值和特征向量例 1 求下列矩阵的

2、特征值与特征向量460A=-3-50，并判断它能否相似对角化。若能,-3-61求可逆阵P,使P,AP=八（对角阵）。例 2 已知三阶方阵A的三个特征值为-2,3,4,则A的特征值为,AT的特征值为,A*的特征值为,A2-3A+2E的特征值为00例 3 设矩阵A=x11011y有三个线性无关的特征向量，则0 x,y应满足条件一2例 7 已知向量U=（1,k,1）T是矩阵A=1111一_1.21的逆矩阵A的特征向量，求常数k123如果n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4如果n阶方阵A与对角阵人相似，则人的主对角线元素就是A的n个特征值5n阶方阵A与对角阵人相似，即A

3、可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量6如果n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似，即A可相似对角化7实对称矩阵的特征值全为实数8实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9对实对下矩阵A=AnM,必存在正交矩阵P,使P,AP=A，其中八是以A的n个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零习题一、单项选择题901、1.设A=010,则A的特征值是()。U0。(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,21102 .设A=1101，则A的特征值是()。I0(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,

4、1,13 .设A为n阶方阵，庆2=1,则()。(a)|A|=1(b)A的特征根都是1(c)r(A)=n(d)A一定是对称阵4 .若XI,X2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量，则k1K+k2X2也是A的特征向量的充分条件是()。(a)k1二0且k2=0(b)k1#0且k2#0(c)k1k2=0(d)30且卜2=05 .设A为n阶可逆矩阵，九是A的特征值，则A*的特征根之一是()。(a)|A|n(b)|A|(c)|A|(d)|A|n6 .设2是非奇异阵A的一个特征值，则JA2),至少有一个特征值等于()。3(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/47 .设n阶方阵A的每一行元素之

5、和均为a(a#0),则2A,+E有一特征值为()。(a)a(b)2a(c)2a+1(d)2+1a8 .矩阵A的属于不同特征值的特征向量()。(a)线性相关(b)线性无关9 .下列说法不妥的是(a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵23yzA的特征值为1,2,3,则(0122230-一f-5,、已知矩阵有一特征向量，则x=()-12xj4一13若n阶可逆阵A的每行元素之和是a(a丰0),则数一定是2A+E的特征值4设三阶矩阵A有 3 个属于特征值九的线性无关的特征向量，则A

6、=5若A2=E，则A的特征值为(c)两两相交(d)其和仍是特征向量110 设矩阵 A=x0A)x=2,y=4,z=8B)x=1,y=4,zRC)x=-2,y=2,zRD)x=1,y=4,z=311126 设n阶方阵A的n个特征值为1,2，n,则A+I=1017 设A=021n之2,则An2An=10I口48A=00L三解答题-1211n-0则limA=5口干0161.设三阶矩阵 A 的特征值为K1=1,K2=2,?，一3=3,对应的特征向量依次为:W=(1,1,1)T,。=(1,2,4)1%=(1,3,2)T,又向量P=(1,1,3)T1）将P用匕42r3线性表示 2）求AnP（n为自然数）一

7、2x11已知A=030有 3 个线性无关的特征向量，求A1003-60_一13.设A=2：22212求 A 的特征值与对应的特征向量,21A 是否对角阵相似。若相似，写出使P,AP=八的矩阵P及对角阵人,并计算A10（1,3,2）T,A52-12._一_.-._*-4.设A=5b3，已知A=-1,A 的伴随矩阵A的特征值九0对应的特征向量102口=(1,1,1)T,求九0和b的值四、证明题1 设a为n维非零列向量，口=（a1,a2，an）T,A=a3T证明：1）A2=kA（k为某常数）2）c（是A的一个特征向量。3）A相似于对角阵。2 设n阶方阵A有n个对应于特征值K的线性无关的特征向量，则A

8、=九E。3 设n阶方阵A的每行元素之和都为常数a,求证:1 略 2 略 3 略 4 略 5 若AB有特征值0,则AB=0,从而BA=0即BA也有0 为其1）a为A的一个特征值；2）对于任意自然数m,Am的每行元素之和都为am4 设三阶方阵A的三个特征值九1,九2,九3互异，分别对应于特征向量3102P3证明：0tl+ot2,a1+a2+口3都不是A的特征向量。5设A,B为n阶方阵，证明：AB,BA都有相同的特征值。6设心，九2是 A 的两个不同的特征值，1 是对应于i的特征向量，证明：之不是九2的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。答案410-1,b-3四、提示1.a2.c3.c4.d5.b6.b7.b8.d9.b10B11B12A13D二、1 一6A的特征值为:；2A23A+E的特征值为:10,6,3；5.2.x=-2,y=-1;3.2一+1；a4.A=-16.(n1)!7.08.02-2：=21-22+4,An-：2-2n1.2-2n3-3n+3n由+3n也A1031101-1001-323100-243100-63100-63100-103100一11-10一500【0一13：2一2父510-112父510-2M5110一1111042-1041104133311041-11042-1104133311041-11041-11042-一333特征值