二项式定理中展开式系数的六种常见类型

1、二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、(a+b)n(ngN*)型例1.(x-J2y)io的展开式中x6y4项的系数是()(A)840(B)840(C)210(D)210解析：在通项公式Tr+1二，2y)rX10-r中令r=4,即得(x-桓y)i0的展开式中x6y4项的系数为C4(-廟2)4=840,故选A。10例2.(x-L)8展开式中x5的系数为。x1g_33解析:通项公式T=Crx8-r(-)r=(-1)rCrx-2r，由题意得8-r=5,冲8駅82则r=2，故所求x5的

2、系数为(-1)2C2=28。8评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r的值。二、(a+b)n土(c+d)m(n,mgN*)型21例3.(x-2)4+(x+i)8的展开式中整理后的常数项等于.xx解析；(x-2)4的通项公式为T=Cr(-2)r(x-)4-r=Cr(-2)rx12-4r,令xr+14x412-4r=0,则r=-,这时得(x-2)4的展开式中的常数项为-C-2-=-32,x411(x+-)8的通项公式为T=Ck()kx8-k=Ckx8-2k，令8-2k=0，则k=4，这时得xk+18x8(x+1)8的展开式中的常数项为C4=70,故(x-2)4

3、+(x+1)8的展开式中常数项x8xx等于-2+70=-8。例4.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x-的项的系数是()(A)-5(B)5(C)-10(D)10解析：(1-X)5中X3的系数-C3二-10,-(1-X)6中X3的系数为5-C3-(1)3二20，故(1-x)5-(1-x)6的展开式中X3的系数为10,故选D。6评注：求型如(a+b)n土(c+d)m(n,meN*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三、(a+b)n(c+d)m(n,meN*)型例5(X2+1)(X-2)7的展开式中X3项的系数是。解析：(X-2)7的展开式中X、X

4、3的系数分别为C1(-2)6和C3(-2)4，故77(X2+1)(X-2)7的展开式中X3项的系数为C1(-2)6+C3(-2)4=1008。77例6(X-1)(X+1)8的展开式中X5的系数是()(A)-14(B)14(C)-28(D)28略解：(X+1)8的展开式中X4、X5的系数分别为C4和C5，故(X-1)(X+1)8展88开式中X5的系数为C4-C5二14,故选B。88评注：求型如(a+b)n(c+d)m(n,meN*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四、(a+b+c)n(neN*)型例7(X+1+2)5的展开式中整理后的常数项为,2x解法

5、一：X1(2+)+通项公式T=Ck2：(工+i)5-k,k+152X3/5(2+1)5-k2X=CrX5-2k+-k,令5-k的通项公式为T二CrX-rX5-kr2-k-rr+15-k5-2r-k=0，贝Uk+2r=5，可得k=1,r=2或k=3,r=1或k=5,r=0。当k二1,r二2时，得展开式中项为c£2；2-2二竽;当k二3,r二1时，得展开式中项为C3O2J2-2-1=20J2；52当k二5,r二0时，得展开式中项为C54/2=4迈。5综上，匸+1+迈)5的展开式中整理后的常数项为旦2+202+4迈=亘2。2x22x1x2+2迈x+2、x+J2)2】(x+J2)io解法一：

6、(+2)5=()5=，对于一2x2x(2x)5(2x)5项式(x+巨)10中，T=Crxi0-r(迈)r，要得到常数项需10-r=5，即r=5。所r+110以，常数项为弓泮63迈2解法三：(送+1+<2)5是5个三项式©+1+迈)相乘。常数项的产生有三2x2x种情况：在5个相乘的三项式(x+1+J2)中，从其中一个取-，从另外4个三2x2项式中选一个取1,从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得xC1丄-C1-C3-&2)3二20Q；从其中两个取-，从另外3个三项式中选两个取1，52432x从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得C2-(1)2C2迈=15<2；从5个

7、相5232乘的三项式(-+1+*'2)中取常数项相乘，可得C5(迈)5=4迈。2x5综上，(x+1+<2)5的展开式中整理后的常数项为2x20迈+旦2+4迈=亞。22评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五、(a+b)m+(a+b)m+i+(a+b)n(m,ngN*,1<m<n)型例8在(1+x)+(1+x)2+(1+x)6的展开式中，x2项的系数是。用数字作答)解析：由题意得x2项的系数为C2+C2+C2+C2+C2

8、二35。23456例9在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1x)8的展开式中，含X3的项的系数是()(A)74(B)121(C)74(D)121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1X)8二(Ix)5l(IX)4_(-x)5-(-x)91-(1-x)x(1x)5中x4的系数为C4_5,(1x)9中x4的系数为一C4_126,126+5二一59121,故选D。评注：例8的解法是先求出各展开式中x2项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1x)5,公比为(1x)的等比数列的前4项和,用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求(a+b)m+(a+b)m+

9、1+(a+b)n(m,neN*,1<m<n)的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六、求展开式中若干项系数的和或差例10.若(12x)2004_a+ax+ax2+.+ax2004(xeR),0122004则(a+a)+(a+a)+(a+a)dF(a+a)。(用数字作答)01020302004解析：在(12x)2004_a+ax+ax2+.+ax2004中，令x_0，贝Ua_1,01220040令x_1，贝廿a+a+a+a+a_(1)2004_101232004'故.(a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a)01020302004=2003a+a+a+a+a+a_2004

10、。001232004例11(2x+J3)4_a+ax+ax2+ax3+ax4，贝U(a+a+a)2(a+a)20123402413的值为()(A)1(B)1(C)0(D)2解析：在(2x+*3)4_a+ax+ax2+ax3+ax4中,01234令x_1，可得a+a+a+a+a_(2+13)4，01234'令x_1，可得aa+aa+a_(23)401234'4/5以，(a+a+a)2(a+a)2=(a+a+a+a+a)(a+a+aaa)024130241302413=(a+a+a+a+a)(aa+aa+a)=(2+、：3)4(2-、：3)4=1,'故0123401234选A。评注