停车场泊位设计数学模型

1、停车场的泊位设计数学建模学号：1407022046班级：14数学与应用数学2班姓名：刘桃摘要：“停车场的泊位设计”数学模型是利用数学模型的计算来规划出一种使用更合理、利用率高的停车场车位停泊方案。近几年来，随着人们生活水平的提高，私家车的数量越来越多，汽车的停泊就成为一个越来越重要的问题，如果汽车停泊问题不能合理的解决，将会影响到汽车的使用。许多大型公司或者是商场门前，都设有自己的停车场，停车场的面积是有限的，而我们希望的就是在这有限的面积内尽可能停放更多的汽车。当然，停放尽可能多的汽车只是建造停车场时一个需要解决的问题，一个比较成功的停车场还需要具备的就是良好的汽车疏导能力，这就需要在停车场

2、设计时更合理的安排汽车的停放位置。当停车场面积一定的时候，合理安排空间使得更多的车辆能够停泊进来。此次建立的模型是通过探究车辆停放角度与停车场面积的方程，继而对面积函数进行求解，得到车位最佳设计角度，解出3°°*1°0m2的停车场最佳泊位情况，进而推广到一般的s*tm2，同时对车型进行分类，分别计算小轿车、小型车、大型车三种停车情况。关键词：车辆停放角度；层次分析；最优方案。正文1、问题重述1.1自20世纪90年代以来，我国经济呈现出持续高速发展态势，家用小汽车更以惊人的发展速度进入普通居民家庭。但人们在享受汽车所带来的便利和快捷的同时，又必须面对由此所引发的一系

3、列问题，其中停车问题就是越来越突出的问题之一。停车场泊车位规划是指在有限的空间区域内，设计车位布局，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。停车泊位设计考虑的因素较多，如平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，停车场内部道路畅通程度等等。请设计一个完整的指标体系对停车场效度进入评价。现有如图1所示的停车场，请你设计该停车场的泊车位设计方案；如果图1中的停车场宽度和长度分别为未知量t米，请你重新设计你的方案。300米7A100:米f停车场13米|r*1车辆出入口图1某地面停车场示意图1.2停车场的整体规划。停车场在车库中出出入入，如果没有一个合理的整体规划，那么汽车出入的效率将会很低，这不是一个合理的停

4、车场应出现的。什么样的规划才是比较合适的方案呢？不同的车型停车方案又是什么样的呢？尺项目外廓尺寸(m)总长总宽总高微型车5.501.601.80小型车4801-80為00轻型车7.002.10中型车a002.503.20C400)大型客车12.002.503.20胶接客车IS.00120大型货车10.002-50400萤接货车16.502-50400图2汽车型号长度表间览汽车尺寸5)Cm)项目车-6或车虫车-KCs或1E车宽2.2&车或车宽2.5车>12或车>2.5汽车2汽车0.50.T.8.9汽车与埴0.50.50.50.5汽车与柱0.30.30.40.4图3汽车与汽车之

5、间以及汽车与墙、柱之间的间距2、合理假设与变量约定2.1合理假设(1) 进入停车场的车型只考虑小型车；(2) 假设每辆车都能够按规定停车，不超出车位线。2.2变量约定表1变量约定符号符号说明0车辆停放角度n一区车位数l一区长度a车位长度R准则层成对比较矩阵的特征向量B各准则层下的成对比较矩阵bi矩阵A每行元素的积cib(1,2,.,n)的次方根。ii对向量C=(C1,分,I"作的归一化处理max最大特征根Ui准则层第i个因素的模糊综合评价向量Ri准则层各因素的权向量3、模型建立考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半

6、径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为C1=5.5米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为C21.7对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边是靠9(0<9<-)B=-通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为2，其中2便是车辆垂直从通道驶入车位，9=0就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图5所示。西<东图5上图中，小轿车是自东向西行驶顺时针转弯。

7、角度驶入车位的。我们来具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见图3,其中Ci为最小转弯半径，R为通道的最小宽度。我们假定小轿车的最外端在半径为Ci的圆周上行驶，且此时轿车的最内端在半径为C2的圆周上随之移动，然后以0角度进入停车位，所以通道的最小宽度R=CiC2C0S0。在保证车辆能够自由进出的前提下，本着要求通道宽度尽量小的原则，我们来看一下一排车位之间的各个数据，见图7。R图621）L图74、模型求解4.1 小轿车停车位最佳角度的求解每辆车均以角度°停放，用W表示小轿车停车位宽度，L表示小轿车停车位长度（这里L的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域可以留给对面停车位使

8、用），Lo表示停车位末端的距离，易见他们分别是停车角°的函数，且有W=-W-sin°1L=Csin°+Ccos°L2W1L=(C+Ccot°)cos°0L2W1L=Ccos°12W现在按照图7所示，计算一下每辆车占据的停车场面积S（°）.考虑最佳排列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积2Lo-L，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为WL，另外，它所占的通道的面积为WR。考虑到通道对面（也就是图4的下部）也可以有类似的一排车

9、位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：C2cos0CCCCcos0W二+1_WW_22sin02sin0S（0）=WL+1WR=CC+门2WL2sin0我们的目标就是求出S°）的最小值。C5.5C3.8将1米，2米，米，CW二2.5米代人（l）式，可得S（0）=12.5+6875-gm0sin0sin0，S1.625-6.875cos0sin201.62513cos0二所以当6.87555，即0min（0）=19.18亚七土平方米。q76.33。时，'°）达到最小，且需要说明的是，当00时车位与车道平行，此时每辆车都得采用平行泊车的方式进

10、入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。上述对车位的局部分析表明，当停车位与通道夹角076.33。时，可以使每单位车辆占据停车场的面积达到最小。4.2 一般车型停车位最佳角度的求解表2一般车型车辆停车角度规型长车宽车lCwC1C2CCOS00面积小32326407856。1轿车.0.0.3.8.28.20小415276064152型车.8.8.1.6.8.4362.99大121311057.59。5型车2.0.52.3.32.50.5365.59通过4.1的结果类推可得，当停车位与通道夹角0-64.

11、15。时，可以使每单位小型车占据停车场的面积达到最小，且最小值为22.99平方米；当停车位与通道夹角0-刃.59时，可以使每单位大型车占据停车场的面积达到最小，且最小值为55.59平方米。4.3 小轿车停车场地的分配由于停车场是一个3°°*1°°m2的长方形区域，由以上分析可知，如果保持一排车位方向一致，且与单向通道的夹角为7856°，可使单位车辆占据的面积最小,此时宽度为R的单向通道分别提供给其两边的停车位使用。在通道两边都各安排一排小轿车车位时，考虑到路线的单行性质，通道两边的停车位角度0应该相对，如图8所示。图8汽车场规划图对每一排停车位

12、，其一边为通道，另一边则可以是另一排停车位或者是停车场的边缘。所以停车排数Pc最多只能是通道数PI的两倍，即：PC<2Pp（2）如果按照一排停车位，一条通道，一排停车位这样三排一组的形式加以组合，依次排列，确实也可以达到Pc二2Pi。即（2）式中的等号是可以成立的。此时,车位数可以达到停车位位置的最大值，排列情况同样可以见图7。100米宽的停车场的一边可以当作足够长的边来看待，将300米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的短边平行。在理想情况下，根据4.1讨论可知，最佳设计下的车位长度为：L=Csin0+1Ccos0=3.3sin78.56°+1.4cos78.56&#

13、176;=3.512（米）L2W停车场通道宽度为：R=C-Ccos0=4-2cos78.56=3.603（米）12所以，理想情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度X约为：X=2L+R=10.627（米）则100米宽的停车场能够考虑设计9组这样的车位，现在在考虑从出入口到最里面靠墙这一段与横向垂直通道R'的情况，即有一组里面有一排车位数是完整的，也就是说其余的8组以及剩下一组的两排车位数是一样缺少出入口通道R'所占的数目。显然，横向通道R'=6.1米较合理，而理想条件下相邻车尾末端的2.8L=沁2.857m距离是°sin0。但是由于靠近两边墙时会有一

14、部分空间无法利用，设其边长为a，则。=0-656m所以，其余的8组以及靠墙剩下一组的两排车位的车位数应有（300-0.656*2-6.1*2）=1002857个，而最后靠墙一排的车位数应有（300-0.656*2）（300-0.656*2-3）=105=1032857个,而有门一排的车位数是2.857个,即总共的车位数sum=100*8*2+105+103=1808个。4.4 一般车型停车场地的分配小52500.30.3459(s-5.7818)0.3459(s-2.89型车.156.8909.184.0645459s49t大13700.20.2558(s-7.8178)0.2558(s-3.

15、90型车1.26.9089.14.0337558s848t小32500.30.3501(s-5.7124)0.3501(s-2.85轿车格.514.8562.2.0818501s型M4t总共的车位数小型车0.0645t(1.0377s-2.9999)大型车0.0337t(0.7674s-2.9997)小轿车0.0818t(1.0503s-2.9999)通过4.3的结果类推可得，此时s*tm2的停车场能够考虑设计小型车车位数为0.064空(1.0377s-2.9999)个；$*tm2的停车场能够考虑设计大型车车位数为0.0337t(0.7674s-2.9997)个5、模型检验5.1效度评价模型对

16、停车场车位的效度评价利用基于模糊合成的层次分析法的数学模型：G=R(U,U，U)t12nU=RAiii其中G为效度评估的总体评估，人为准则层成对比较矩阵的特征向量，U为准则层第i个因素的模糊综合评价向量。5.1.1建立评价体系目标层准则层因素层停车场的效度评价安全性停车行为对其他车辆的行驶影响车辆拐弯的难度对紧急情况的处理灵活性进出停车场的顺畅程度便停车场中的车主平均步彳丁距离便捷性人车分离的程度停车场内道路顺畅程度效率性泊车位的使用率停车场内的空间利用率平均每个空车位被补缺所需要的时间泊车位的强烈波动的情况次数基于停车场的安全性主要是指：车辆在停车场行驶过程中，由停车场的特征赋予车辆的避险性

17、能；以及车辆在停放过程中，避免被其他车辆挂擦以及避免被盗的性能。安全性是驾驶人员对停车场服务水平的基本要求,也是停车场营运者得基本要求，他们都希望停放车辆的安全性高和出现紧急情况时有良好的出入停车场的环境，还希望停车行为对正在行使车辆的安全性的影响最小,不会形成恶性的循环,以致严重影响动态的停车取车，等等。因此，安全性是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。基于停车场的方便性主要是指：车辆进入和驶出停车场所需的时间和行驶的路程最小，乘车的人员和停车场管理人员到达停车场相应位置最快，等等。方便性是对于人和车两者的流动而言的,停车者都希望从停车场到目的地的步行状况良好,步行的距离越短越好，都希望停

18、车场内部通畅性良好,驾驶员出入停车场都比较容易,则该停车场被使用的可能性就越大。另外，基于停车场的特殊性，追求最高的方便性，很多驾驶员都喜欢在安全性能高的前提下，选则距离停车场出口最近的停车位。停车场营运者，也希望，停车场的方便性尽可能高，提高停车场的效度。因此，方便性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。基于停车场的效率性主要是指：有效的利用能源、时间和空间资源的能力,在停车场中,停车集中指数的增加,均衡的泊位利用,停车时间的减少,停车时间的合理这些因素直接影响停车场服务水平的好坏。并且合理的收费-停车时间的利用可以使短时的停车和长时间的停车自动地分离开来,对改善停车场的服务水平大有帮助

19、。驾驶人员希望停车场具有尽可能高的效率性，追求效率最大化，尽可能多的节省时间，等等；停车场营运者也希望停车场具有最大的效率，来达到停车场的最佳运作状态，提高停车场的稳定性和适用性等等。停车位的波动情况是指在停车场的使用率不会出现强烈波动。因此，效率性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。5.1.2成对比较矩阵和一致性检验可通过检验最大特征根是否等于n来判断矩阵A的一致性。具体方法如下:1)计算一致性指标：CI=maxn一1上式九max为矩阵A的最大特征根，n为矩阵A的阶数。苴中九计算步骤为：其中max计算判断矩阵A每行元素的积:b二肝a,i=1,2,，niijj=1计算b（1,2，.，n）

20、的n次方根i=1,2,，n对向量C=(TC2',Cn)T作归一化处理:c3=i1£ck这里算得的wi就是该层第i个指标对于上一层层次单排序权重的值。由此可以得到矩阵A的最大特征根九max,即._1（AW）maxn3i1i其中W-（31,彎，3n）T,（AWI*表示向量AW的第i个元素。（2）查找对应的平均随机一致性指标RI值阶数n=1,2,，10所对应的RI值，如表4所示。表4110阶判断矩阵的RI值n12345678910RI000.580.91.121.241.361.411.451.49对于更高阶数（即n>10）的RI值的获得办法是：随机生成19及其倒数，从中抽取

21、数字构造500个或者更多的n阶样本矩阵，计算各个矩阵的最大特征根的平均值rmax，然后根据公式RI（rmax-n）/（n-1）来得到RI的值。根据专家评定得到准则层的成对比较矩阵，设两两判断矩阵为：（aa111nA：:a.a丿n1nn/显然A满足Aj>0且j1/aj,i,ji，2,，n。我们把满足以上两个条件的矩阵称为正互反矩阵。当且仅当ajajk役,i,j,k=l,2,，n时，正互反矩阵A称为一致判断矩阵。由准则层各指标之间的重要程度进行两两比较判断，得到其正互反矩阵：'124'A=1/213屮41/31丿i9尺度a的含义尺度aj含义1ci与Cj影响相同37比c的影响稍

22、强5c比c的影响强75比c的影响明显强9ci比Cj的影响绝对强2、4、6、8Ci与cj的影响之比在上述两个相邻等级之间用和法来计算最大特征值和特征向量，以下为步骤：通过MATLAB计算得到其权向量为R=(05584,0.3196,0.1220)T，最大特征值3.0183CI=0.0091CR=0.0176<0.1,通过一致性检验。根据层次分析法原理，要确定每个层次全部要素的相对权重，首先必须对判断矩阵进行一致性检验，若不满足一致性条件，则修改判断矩阵，直到满足为止。如果根据定义来检验矩阵A的一致性，将非常麻烦。现有研究表明，对于正互反矩阵A为一致性的充分必要条件是：其最大的特征根等于其阶

23、数n。而当正互反矩阵A非一致时，必有最大的特征根大于n。3)计算一致性比例:CR=CI当CR<0.10时,认为判断矩阵A的一致性是可接受的，否则应对判断矩阵作适当调整,再进行一致性检验。(4)确定各准则层第i层下的各因素的评判矩阵由专家评判法可得到各评判矩阵：安全性的评判矩阵便捷性的评判矩阵效率性的评判矩阵0.30.40.60.40.1、0.2A=10.20.50.3(0.50.30.2丿0.40.30.3'A=20.30.40.3(0.50.30.2丿0.30.40.3'A=0.50.30.230.40.40.2(0.60.30.1丿4.2.3确定各因素的权向量安全性的

24、成对比较矩阵：132511/3113B=11/2114(1/51/31/41丿应用MATLAB计算得到它的权向量为R广(0-4801,0-2042,0-2421,0-0736)丁，最大特征值：4.0511CI=0.0170，CR=0.0191便捷性的成对比较矩阵：135'B=1/3142(1/51/41丿应用MATLAB计算得到它的权向量为R2=(0-6267,0-2797,0-0936)丁最大特征值:3.0858CI=0.0429CR=0.0825r131/2511/3122B=31/21/2141/51/21/41丿效率性的成对比较矩阵应用MATLAB计算得到它的权向量为R3=(0-4306,0-2536,0-2275,0-0883)丁最大特征值:4.0561CI=0.0187CR=0.02104.2.4模糊合成安全性（U1）的模糊综合评价向量为:U=RtA=(0.4801,0.2042,0.2421,0.0736)111r0.30.60.10.40.40.20.20.50.3k0.50.30.2丿二(0.3109,0.5129,0.1762)便捷性（U2）的模糊综合评价向量为:'0.4U=RtA=(0.6267,0.2797,0.0936)0.3、0.50.30.30.40.30.30