第五章网格生成与坐标变换ppt课件

1、计算流体动力学计算流体动力学Computational fluid mechanics机械与动力工程学院机械与动力工程学院凌祥凌祥第五章第五章 网格生成与坐标变换网格生成与坐标变换l 方程的普通变换l 度量和雅可比行列式l 再论适宜CFD运用的控制方程l 注释l 拉伸(紧缩)网格l 贴体坐标系:椭圆型网格生成l 自顺应网格l 网格生成的进展l 有限体积网格生成的进展方程的普通变换( , , )x y t( , , )x y t( ) t思索二维非定常流场,其自变量为x, y和t.我们要将物理平面中的自变量(x, y, t)变换成计算平面中的一组新自变量(, , ),用方程目前这个变换是以普通方

2、式写出来的.对于实践运用必需用详细的解析关系给出.(5-1a)(5-1b)(5-1c)方程的普通变换求导的链式法那么,有,()() ()() ()() ()ytytytytxxxx,()() ()() ()()()x yx yx yx ytttt 在上述表达式中添加下标是为了强调求偏导数的过程中哪些变量坚持不变(5-2)方程的普通变换在延续性方程,动量方程和能量方程中,未知函数是以导数方式出现,并且要将方程从(x, y, t)空间变换到(, , )空间.根据求导的链式法那么,有()()()()xxx()()()()yyy()()()()()()tttt(5-3)(5-4)(5-5)方程的普通变

3、换思索第二章推导的粘性流动控制.可以看到方程的粘性项中包含二阶导数,这些二阶导数导数也要变换.在式(5-3)中,令()()()()Axxx22222222()()()()()()()()()()()()Axxxxxxxxxxx 那么有(5-6)方程的普通变换B和C是一个复合导数,它们包含了关于(x, y, t)中的某一个自变量和(, , )中另一个自变量的导数,因此还需求进一步推导.由(5-2)规那么得2222()()()()()Bxxxx 2222()()()()()Cxxxx (5-7)(5-8)方程的普通变换用式(5-7)和式(5-8)替代式(5-6)中B和C所代表的项,并重新陈列各项的

4、顺序,得到2222222222222()()()()()()()()2()()()xxxxxxx 式(5-9)中利用关于和的一阶偏导数,和二阶偏导数和混合导数乘以不同的度量给出了关于X的二阶偏导数.(5-9)方程的普通变换接下来,推导关于y的二阶偏导数.令()()()()Dyyy从式(5-2),有22222222()()()()()()()()()()()()Dyyyyyyyyyyy 2Ey 其中和2Fy (5-10)方程的普通变换利用式(5-4),有222()()()()()Eyyy 222()()()()()Fyyy (5-11)(5-12)式(5-11)和式(5-12)代回式(5-10)

5、,并重新陈列各项的顺序,得到2222222222222()()()()()()()()2()()()yyyyyyy (5-13)方程的普通变换式(5-13)利用关于和的一阶偏导数,二阶偏导数和混合偏导数乘以不同的度量,给出了关于y的二阶偏导数.再接下来,推导二阶混合偏导数,即22222()()()()()()()()()()()()()Dx yxyxxyyx yyxx yyx 其中出现了与式(5-6)中B和C含义一样的项.(5-14)方程的普通变换用式(5-7)和式(5-8)替代式(5-14)中的这两项,并重新陈列各项的顺序,得到22222222()()()()()()()()()()()()

6、()()()x yx yx yxyxyxyxy (5-15)式(5-15)利用关于和的一阶偏导数,二阶偏导数和混合偏导数乘以不同的度量,给出了 关于x和y的二阶混合偏导数.方程的普通变换例5-1 拉普拉斯方程22220 xy将方程(5-16)从(x, y)变换到(, ),其中= (x, y), = (x, y)(5-16)方程的普通变换利用式(5-9)和式(5-13),得2222222222222222222222()()2()()()()()()()()()()()2()()()()()()()()()0 xxxxxxyyyyyy 方程的普通变换将上式合并同类项,最终得到2222222222

7、2222222()()() ()() 2()() ()()()() 0 xyxyxxyyxyxy (5-17)调查方程式(5-16)和式(5-17).前者是物理平面(x, y)上的拉普拉斯方程,后者是计算平面(, )上经过变换的拉普拉斯方程.度量和雅可比行列式在式(5-3)到式(5-15)各式中,涉及网格几何性质的项,如 ,称为度量.在许多运用中,运用逆变换式(5-1ac) 的逆变换更方便./,/,/yxy ( , , )( , , )( )xxyytt (5-18a)(5-18b)(5-18c)在式(5-18ac)中, 和是自变量.度量和雅可比行列式为了用逆变换式计算方程中的度量,需求建立度

8、量 等与逆度量 等的关系式.思索流动控制方程中的一个未知函数,例如速度的x分量u.令 ,由变换式(5-18a)式(5-18b),即 和 ,u的全微分为/,/xy/,/xy( , )uu x y( , )xx ( , )yy uududxdyxy(5-19)度量和雅可比行列式由方程(5-19),有uuxuyxy 和uuxuyxy (5-20)(5-21)度量和雅可比行列式式(5-20)和式(5-21)可以看作是两个未知数 和 的方程组,用克莱姆法那么.从方程组式 (5-20)和式(5-21)中解出 ,得到/ux/uy/uxuyuyuxyxy(5-22a)度量和雅可比行列式在方程 (5-22)中,

9、分母上的行列式称为雅可比行列式,记作( , )( , )xyx yJxy (5-22b)因此,将式(5-22)分子上的行列式展开,可以写成下面的方式度量和雅可比行列式1()()()()uuyuyxJ/uyxuxuuxyyxy(5-23a)回到方程组式(5-20)和式(5-21),解出或1()()()()uuxuxyJ(5-23b)度量和雅可比行列式为了可以进展普通性的讨论,将方程式(5-23a)和式(5-23b)写成更普通的方式1()()()()1()()()()yyxJxxyJ和(5-24a)(5-24b)度量和雅可比行列式思索二维的直接变换( , )( , )x yx y(5-25a)(5

10、-25b)对比式(5-25ab)与式(5-1ac),会发现从前面讨论中省略了=t.由于这里讨论只对空间度量感兴趣,所以忽略了时间的变换.度量和雅可比行列式根据全微分表达式,从式(5-25a)和式(5-25b)可以得到ddxdyxyddxdyxy或者用矩阵方式表示ddxxyddyxy(5-26a)(5-26b)(5-27)度量和雅可比行列式如今思索逆变换(,)(,)xxyy 进展全微分,得xxdxddyydydd或者矩阵方式表示xxdxddyyyd(5-28a)(5-28b)(5-29a)(5-29b)(5-30)度量和雅可比行列式从式(5-30)解出右边的列向量,也就是用式中2x2系数矩阵的逆

11、矩阵去乘,得到1xxddxdyydy比较式(5-27)和式(5-31),得到1xxxyyyxy(5-31)(5-32)度量和雅可比行列式根据计算逆矩阵的规范法那么,式(5-32)可写为yxyxxyxxxyyy(5-33)度量和雅可比行列式思索式(5-33)分母上的行列式.由于行列式转置后,其直不变,我们有xxxyJyyxy(5-34)度量和雅可比行列式由式(5-22a)给出的J的定义可以看出,式(5-34)中的行列式正好就是变换的雅可比行列式J.将式(5-34)代入到式(5-33),得到1yxxyyxJxy(5-35)度量和雅可比行列式比较等式(5-35)中两个矩阵的对应元素,就得到用逆度量表

12、示的直接度量的关系式,即1111yxJyxJxyJxyJ (5-36a)(5-36b)(5-36c)(5-36d)右那么公式给出直接度量与逆度量之间的关系式.度量和雅可比行列式把式(5-36a)和式(5-36b)代入到式(5-3)中,得到1()()()()1()()()()yyxJxxyJ这两个等式与逆度量给出的变换式(5-24a)和式(5-24b)完全一样,阐明结果与前面的分析是一致的.再论适宜CFD运用的控制方程在2.10节,方程(2-93)给出了流动控制方程的强守恒方式.对于空间二维的非定常流,假设没有源项,那么方程化为0UFGtxy(5-37)简明起见,只思索空间二维x, y的情形,而

13、不是三维x, y, z的情形.但以下的分析可直接推行到三维.再论适宜CFD运用的控制方程问题:在计算平面(, )中,方程(5-37)还能写成守恒方式么?也就是说,变换后的方程还能写成1110UFGt(5-38)这样的方式么?再论适宜CFD运用的控制方程首先,按照导数的变换式(5-3)和(5-4),对方程(5-37)中的变量进展变换,得()()()()0UFFGGtxxyy用式(5-22a)定义的雅可比行列式J乘以方程(5-39)得(5-39)()()()()()()()() 0UFFGGJJJJJtxxyy(5-40)再论适宜CFD运用的控制方程暂时放下方程(5-40),先思索将 的导数展开,

14、即(/)JFx(/)()()JFxFJFJxx整理后,得到(/)()()()FJFxJFJxx(5-41)(5-42)再论适宜CFD运用的控制方程同样,思索 对的导数,整理得(/)JFx(/)()()()FJFxJFJxx(5-43)用同样的方法展开 和 并整理,得(/)JGy(/)JGy(/)()()()GJGyJGJyy(5-44)(/)()()()GJGyJGJyy(5-45)再论适宜CFD运用的控制方程将式(5-42)式(5-45)代回到方程(5-40)并合并同类项,得()()()()()() 0UJJFJGJFJGtxyxyFJJGJJxxyy(5-46)再论适宜CFD运用的控制方程

15、但发现,式(5-46)最后两项中用括号括起的部分等于零,其实,将式(5-36ad)代入到这些项中,就会得到2222()()()()0()()()()0yyyyJJxxxxxxJJyy 再论适宜CFD运用的控制方程于是,方程(5-46)可以写成1110UFGt其中111UJUFJFJGxyGJFJGxy(5-48a)(5-48b)(5-48c)(5-47)再论适宜CFD运用的控制方程假设将式(5-36ad)代入 和 的表达式(5-48b)和式(5-48c),可以得到1F1G11yxFJFJGFGxyyxGJFJGFGxy (5-49a)(5-49b)其中 和 是用逆度量表示的.1F1G注释对于实

16、践的问题和实践的几何外形,情况往往是:要么由于流动问题本身的特性(例如,流过平板的粘性流,壁面附近需求密集分布大量的网格点)要么由于边境的外形(例如,需求建立贴体曲线坐标系的弯曲物面)需求经过网格变换物理平面中的非均匀网格变换成计算平面中的均匀往格.有限体积法不需求这样变换,它可以直接处置物理平面中的非均匀网格.拉伸(紧缩)网格例5-2 思索图5-4所示的物理平面和计算平面.假设研讨的是流过平板的粘性流.在平板的外表附近,速度迅速变化,如物理平面左边画出的速度剖面所示.拉伸(紧缩)网格为了计算这种流动在平板附近的细节,在y方向上需求运用细的网格,而在远离物面的地方,网格可以粗一些,如图5-4a

17、.在计算平面上应建立均匀网格,如图5-4b,调查可以发现,在物理平面中,网格被拉伸了.拉伸(紧缩)网格这种被拉伸的网格,可以用一个简单的解析变换就能完成(1)1xIn yxye(5-50a)(5-50b)(5-51a)(5-51b)逆变换是拉伸(紧缩)网格在物理平面中,x一直是同一个值.在计算平面中,也一直不变,所以在x方向上,网格并没有被拉伸.程度线就不是这样了,计算平面中的程度线是均匀分布的,一直不变,然而在物理平面中,相应的y值发生了变化,对求导dyeddye d或者用有限增量替代 和 ,近似地得到ye(5-52)dyd拉伸(紧缩)网格例5-3 调查流动控制方程在物理平面和计算平面发生了

18、哪些变化.为简单起见,假设是定常流,用延续性方程来进展阐明.取定常流的延续性方程(2-25),在笛卡儿坐标系下,为()()0uvxy(5-53)这是物理平面的延续性方程.拉伸(紧缩)网格利用导数的变换式(5-3)和式(5-4),可将这个方程变换到计算平面,变换后的方式为()()()()()()()() 0uuvvxxyy(5-54)方程(5-54)中的度量可从直接变换式(5-50a)和式(5-50b)中求得,即1x0y0 x11yy(5-55)拉伸(紧缩)网格将式(5-55)中的这些度量代入式(5-54),得到()1()01uvy(5-56)由式(5-50b), .因此,方程(5-56)变为1

19、ye()1()0uve()()0uve或者(5-57)拉伸(紧缩)网格例5-4 为了做进一步的论述,我们重作上面的推导过程,但这次是从逆变换式(5-51a)和式(5-51b)入手.回到方程(5-53),利用导数的逆变换式(5-24a)和式(5-24b),有1()()1()()()()()() 0uyuyvxvxJJ(5-58)拉伸(紧缩)网格方程(5-58)中的逆度量可从逆变换式(5-51a)和式(5-51b)中求得,结果是1x0 x0yye(5-59)将式(5-59)代回式(5-58),得到()()0uve(5-60)拉伸(紧缩)网格例5-5 如今思索更复杂的网格拉伸变换,研讨绕钝体底部的超

20、声速粘性流.此时,网格在x方向和y方向都要进展拉伸.图5-5给出了物理平面和计算平面.根据变换00sinh()xxxAA(5-61)拉伸(紧缩)网格流动物理平面计算平面图5-5 均匀网格与紧缩网格的比较拉伸(紧缩)网格进展x方向(流向)的拉伸,其中0000sinh()1(1)121(1)xxxxAxexIne(5-62)(5-63)式(5-61)中, 是物理平面发生最大聚集的点在计算平面中相应的位置. 是常数,控制向 点聚集的程度, 越大,聚集得就越密集.0 x0 x拉伸(紧缩)网格网格沿y方向的横向拉伸,需求把物理平面分成:底部后面和底部的上方上下两部分.利用变换(1)/(1)(1)/(1)

21、(1)(1)(21)(1)cyyceye (5-64)进展y方向的拉伸,其中1log1yyc而 和 都是常数,对于刚刚分出的两个部分,这些常数取值是不同的y贴体坐标系:椭圆型网格生成思索流过图5-6a所示的扩张管道的流动.曲线de是管道上壁,直线f g是中心线.对于这种流动,物理平面中用矩形网格是不行的,在图5-6b中画曲线网格,使边境de和中心线f g都成为坐标线,曲线网格完全贴着边境.图5-6 简单的贴体坐标系贴体坐标系:椭圆型网格生成曲线网格(图5-6a)变换成矩形网格(图5-6b)用下述方法:令 是图5-6a中上外表de的纵坐标那么下述变换将生成(, )平面内的矩形网格( )syf x

22、sxyy( )syf x其中(5-65)(5-66)贴体坐标系:椭圆型网格生成例如,思索物理平面的d点, .将这点坐标代入式(5-66),得()dsdyyyx()1()dsddssdyyxyyx在计算平面中d点位于 上,思索物理平面c点,此时1d()cscyyyx()1()csccsscyyxyyx在计算平面中,c点也位于 上,与计算平面中点d的坐标值一样.1c贴体坐标系:椭圆型网格生成更复杂的例子,如图5-7所示它是围绕机翼的流动设计的.图5-7 椭圆方法生成的贴体网格贴体坐标系:椭圆型网格生成问题:那种变换能将图5-7a的曲线网格变换成图5-7b计算平面中的均匀网格?方法:把物理平面的网格

23、用笛卡尔坐标表示,沿着内边境1,物理坐标知,同样外边境2的物理坐标知,这就暗示存在一个边值问题,求解椭圆型偏微分方程需求沿着包围区域的边境在每一点上给定边境条件.贴体坐标系:椭圆型网格生成最简单的椭圆方程是L a p l a c e方程2222222200 xyxy(5-67)(5-68)贴体坐标系:椭圆型网格生成在方程5-67)和(5-68)中,和是因变量,x和y是自变量.将两组变量对调一下,写出逆方程,使x和y变成因变量,结果是22222222222020 xxxyyy (5-69)(5-70)贴体坐标系:椭圆型网格生成其中2222()()()()()()()()xyxxyyxy贴体坐标系

24、:椭圆型网格生成图5-8画出了计算平面,再次强调沿着一切四条边境限1,2,3和4,(x, y)的值都知,这是求解椭圆偏微分方程适定问题的根底.图5-8计算平面(标出了边境条件并画出了一个内点)贴体坐标系:椭圆型网格生成流动控制方程中的度量可以用有限差分计算,在(不论是物理平面还是计算平面)标志为(i, j)的网格点处,可以写出度量计算公式为1,1,1,1,()ijiji jijijxxx这样计算出来的度量值将被代入到变换后的流动控制方程中.贴体坐标系:椭圆型网格生成适用的绕机翼型网格见图5-9,它就是用上述椭圆型网格生成的.图5-9 围绕M i l e y翼型的网格贴体坐标系:椭圆型网格生成图

25、5-10给出了翼型附近网格的细节.图5-10 图5-9中贴体网格的一小部分,显示了翼型附近网格分布的细节自顺应网格应该将大量的,密集的网格点分布在流场变量存在大的梯度的那部分流动区域内,从而改良CFD计算的数值精度.这样做不仅是由于密网格可以减小截断误差,更是由于要捕捉流动特性,梯度大的地方就需求更多的网格点.图5-11给出的流过平板的粘性流,可用来定性地阐明这个问题.自顺应网格图5-11 在边境层内需求集中大量的网格点自顺应网格自顺应网格是可以自动向流场中大梯度区域聚集的网格,它利用求解的流场特征确定网格点在物理平面中的位置.自顺应网格的优点是:当网格数量固定时,可以提高计算精度给定精度时,

26、可以减少的网格点来到达这一精度.自顺应网格自顺应网格的一个简单的例子是C o r d a求解绕后台阶的粘性超声流时所用的网格,其中的坐标变换为1(/)1(/)BxbgxCycgy (5-71)(5-72)式中,g是流场中的原始变量,如p, 或 T.自顺应网格图5-12自顺应网格原理表示图()ttx()tx11()()NNtttxxxtt自顺应网格(图5-12a)在物理平面中,t时辰N和N+1点的位置用黑色的圆点表示,两点之间的x方向间隔 ,其中上标t时辰.t时辰N点的x坐标 ,依赖于1,2点之间的 ,2,3点之间的 ,也就是说tNx()txxx1()tNtNixx(5-73)t+ t时辰N和N

27、+1点的新位置在图(5-12a)中用十字形记号标出,图中同时还标出了 x的新值 . t+ t时辰N点的x坐标为()ttx1()ttNttNixx(5-74)自顺应网格自顺应网格可以用N点和N+1点的x坐标的相应改动量除以时间增量 t来表示时间度量, 即,(/)xt ,()tttNNxxxtt ttNx(5-75a)式中, 和 分别由(5-74)和式(5-73)给出.tNx,()tttMMyyytt (5-75b)自顺应网格其中, 和 由类似式(5-73)和式(5-74)的表达式给出,即ttMytMy11()()tMtMittMttMiyyyy自顺应网格回到普通的逆变换式(5-18ac).先调查

28、式(5-18a),即( , , )xx ,()()()xxxdxddd (5-18a)写出全微分,有(5-76)方程中x的变化量d x由, 和的变化量d , d 和d 表示.假设这些变换是关于时间的,坚持x和y不变,方程(5-76)可以写成自顺应网格01,()()()()()()()x yx yx yx yxxxxtttt ,(/)x yxt(5-77)在方程(5-77中),由于x一直坚持不变,所以 恒等于零不失普通性地,设式(5-18c)中的t=t ()的方式给出,那么在式(5-77)中 代入这些值,式(5-77)变为自顺应网格,(/)1x yt,()()()()()x yx yxxxtt (5-78)自顺应网格如今思索方程(5-18b),即( ,)yy ,()()()yyydyddd 01,()()()()()()()x yx yx yx yxyyytttt (5-18b)于是(5-79)从这个结果可有(5-80),()()()()()x yx yyyytt 或(5-81)自顺应网格式(5-78)和式(5-81)中都有度量 和 .将两式联立,用克莱姆