高三数学第一学期期末试题(附答案)

1、高三数学第一学期期末试sina + sin = 2s in a + C o S-_- K 2 2C Ca + a BCOSa + cos = 2cos COS-K 2 2Sina-Sin = 2cosx + sin_-K 2 2COSa - CoSP = -2 s in a + S in _- K 2 2一、选择题：(本大题共12道小题，每小题5分，共60分)1. 在等差数列%中，S15 =90.则丸等于A. 3 B 4 C. 6 D 122. 如果 f(x + ) = f(-x)且 f(x) = f(-x),则 f(x)可以是A sin2x B COSX C. SinlXl D ISinXl

2、3题设：平而a、Y直线X m满足：a丄 , la=m, I=L ln结论：B 丄m丄丄那么由题设可以推出的正确结论是A.和 B. C.和 D.和4. 从1、2、3, 100这100个数中任取两个数相乘，如果乘积是3的倍数，则不同的取法有A CM；?B. CMb+CccD CKX) 2 C7 15. 若复数Z满足lz+2il+lz-2il=4,记lz+1+il的最大值和最小值分别为M, m则二等于()mA. 2 B.禹C. 1UD.26. 过抛物线y2=4x的焦点F做直线与抛物线交于P, Q两点，当此直线绕英焦点F施转 时，弦PQ中点的轨迹方程为()A. y2 =2(x -1) B. y2 =

3、2x -1 C. y2 =X -1 D. y=y-*7. 设复数z1 = 1 + 3i, z? =3+i,则arg么)等于()ZTA. iB.巴c.兰D.兰23468. 将长为2cm,宽为HCm的长方形纸片围成一个容器(不考虑底而及粘接处)，立放于 桌面上，下面四个方案中，容积最大的是A.直三棱柱B.直四棱柱C.高为兀的圆柱D.髙为2兀的圆柱9.椭圆(XF4+(Y+ 6r 1的一条准线为x7,ITr则随圆的离心率等于A. 12D.-410.在正方体ABCD-AlBlCIDI中,EF为异而直线AlD和AC的公垂线,则直线EF与BD的关系是A.异而 B.平行C.相交且垂直D.相交但不垂直11（理）

4、在极坐标系中，点P（2,-）到直线psin（-） = 1的距离等于6 6A. 2B. 1 C 5D 1 + J5（文）自点（-L 4）作圆x2 + y2-4x-6y = 12 = 0的切线，则切线长为A. 5B.厉CI6D312. 某工厂8年来某种产品总产: c与时间t （年）的函数关系如图，下列四种说法：前 三年中，产量增长的速度越来越慢：前三年中，产量增长的速度越来越快：第三年后， 这种产品停止生产；第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（）C.与D.与二. 填空题：（本大题共四道小题每小题4分共16分）13. 已知曲线C与曲线x2+2y = 2 = 0关于直线x-y=0对称，则曲线C

5、的焦点坐标为U14. 若（ + -y展开式中的第5项为常数项，PlIJn=OX15. 现有三个电阻，串联后的电阻为R并联后的电阻为r,令R = t-r,则（的取值范围是1352n-l 一 + 一 + 一 + +2n 4n 8n2n n三、解答题：(本大题共六道小题，1721小题每题12分，22题14分共74分)17.已知复数;乙满足2 + 4为纯虚数z-4(1)求Izl；(2)若arg(z + 4) = -,求318. 某厂生产一种产品，使用的两种原料的价格随月份发生波动，生产每一件产品所需这两 种原料的资金R (元)，P2 (元)与月份t的关系式为：PI =200 + 30sin(-t +

6、-), P. =300-30sint (t12, tN)636预计每件产品的其它费用为100元，且保持每件产品的利润总为50元。(1) 求每月产品的出厂单价匕与月份t的关系式，并求出Ps的最大最小值。(2) 若产品出厂后一个月才上市出售，且商店利润为10%,求该产品的市场价格匕与月份 t的关系式。19. 已知数列aj 中，a1 =y , Sn =n2 -an (n N)乙(1)求a?, 心的值。(2) 推测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明所得的结论。(3) 求 Iim Snx20. (文科做、，理科做、)设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底而的圆心，底面半径为10cm, C是SB上一

7、点。 求证：AC与平而SOB不垂直； 若ZAOB=60 , C是SB的中点，AC与底面所成的角为45 ,求O到平面SAB的距离; 在的条件下，求二而角O-SB-A的大小。21. 已知椭圆 + = l(ab0)(m0, n0)有共同的焦点F-设P为椭圆和a tr双曲线的交点。 求IPFll lPF21的值： 当b=n时，求证：PFl丄PF2。22设 Oal,函数f(x) = Ioga - , g(x) = l + loga(x-l),设 f(x)和 g(x)的定义域的公X + 3共部分为D,求当nnuD, f(x)在m,n(m 3 分z-4Ini -1所以lzl=4因为lzl=4,所以=16(2

8、)设z + 4 = 兀.兀COS +1 sin ，则Z =匕I 33丿+ 21ri(rO)212分即 r=4 所以z = -2 + 2ii18. 依题意= 650+ 3OCOS/Sin-I + -Sln-I-t+ -3丿6 + g + L + ak. = I-=k ,3 k k+1k+1由 k+ =(k + 1)- a如即 Sk + ak+ =(k + l)ak+,得Sk _1k2+2k(k + l)(k + 2)说明当n=k+l时结论也成立。由可知，对于一切neN都有知=一!一n(n +1)10分(3) VSn = J- +J- + J- + L + ! = I- 1n 1.2233.4 n

9、(n + l)/. Iiln Sn = 1 nx12分(20)5(1) 证明：假如AC丄平而SBO QSO丄底面AOB,平而SBo丄底而AOB,交线为BO,做AD丄Bo于D,则AD丄平而SBo又AC丄平而SBOACAD这与 ADAC=A 矛盾，因而假使不成立，即AC与平而SBO不垂直4分(2) 作CK丄OB于K,连AK. ACQ平而SBO丄底而AOBACK丄底而AOB,则ZCAK是AC与底而AOB所成的角ZCAK=45。又C是SB的中 点，CK/7SO CK =丄 SO, BK =丄 B0,2 2在RtACK中CK = KA = AOSin60 = 53 , SO=103 设 G 为 AB 中

10、点，连接 OG、SG 则 AB丄GO, AB丄SG, AB丄平面SGO,平面SAB丄平而SGO,过O作OM丄SG于M,则OM丄平 而SAB在 RtSGO 中，点OM = So GO =215SG点到平而的距离为2 JE9分 过O作ON丄SB于N,连接MN, 则ZONM为二而角OSBA的平而角, 在 RtSB O 中，ON=OSOB=5,SB在 RtONM 中，Sin ZONM = - = ON 512分二而角 OSBA 为 arcsin =21.解：(1)设点 P(x, y)为曲线交lPFII=r1 IPF2l=r2 ZF1PF2 = 则 rl + r2 = 2a Irl - r2 = 2m

11、3分3 -2得申2 =a2 -m2即 IPFII PF21 = a2-m26 分(2)方法 1：由2+2 得：r12 +j =2a2 +2m2, 8分而Qa -b2 =m2 +n2 b = n.a2 =2n2 +m210分 r12 + r; =2a2 +2nr =2(2n2 +m2) + 2m2 =4(nr +n2) = 4c2 PF1IPF212 分方法2：用kplj kp1 =1也可证明；方法 3：在 PFiF2 中，(2c)2 =r12 +r; -212 cosA 2 Z 2 A2 a2-c2 b24) -4r1r COS- COS =22 r1r2 rr24c2 =(r -r2)2 -4rr2 sin2 O e m2 -C2 n2sir- =2r2 r1r210分2 IVb 2b212分当 Xb 时 tg- = l = 90 即 PF1IPF222解：可以求得f(x)的左义域为xlxv-3或X 3, g(x)的定义域为xIX 1D=xlx33分X 36又f(x) - Iogil =UOgil(I- )x + 3X + 3令t = l-亠，贝肛在D上是增函数x + 30al是，f(x)在D上是减函数，g(x)在D上也是减函数。Qm,nuD.f(x), g(x