立体几何中的向量方法

1、立体几何中的向量方法教学案例设计与反思立体几何中的向量方法 的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何问题，其一般方法是：先利用空间向量表示空间中点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系 ; 进行空间向量运算 ; 由向量运算所得结果解释几何结论。此核心内容，就是整个教学过程中所涉及到的 “三步曲”。“三步曲” 的给出，与平面向量在平面几何中的运用有类似的地方，是通过对比而得到的一种方法，也是平面向量的一种扩展。本节内容的学习目标是利用向量的相关知识， 表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系 ; 用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） ; 用向量

2、方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。教学重点：理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法。教学难点：建立立体图形与空间向量之间的联系， 把立体几何问题转化为向量问题。一、向量方法的基础知识向量方法的综合运用， 是在空间向量相关知识的基础上展开的。 这些知识包括：向量的概念、向量的加减运算、 向量的数乘运算、 向量数量积（内积）运算、向量平行（垂直）充要条件、向量基本定理、向量坐标表示及坐标运算等等。而向量在立体几何中的运用， 还必须利用空间向量决定空间点、 直线、平面在空间中的位置。在这些相应知识的前提下， 我们归纳给出了以下几个有关

3、直线、 平面位置关系的结论：设直线 l ，m的方向向量分别为 a， b ，平面，的法向量分别为 u， r ，则线线平行l | ma | bakb， kR线线垂直lmabab0线面平行l |auauo线面垂直la |uaku，Rk面面平行|u | rukr， kR面面垂直urur0线线夹角l， 的夹角为(0), cos| ab |m| a | b |2线面夹角l， 的夹角为(0), cos| au | a | u |2面面夹角， 的夹角为(0), cos| ur | u | r |2注意：（ 1）这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。 （ 2）这里的线线夹角、线

4、面夹角、面面夹角都是按照相关1定义给出的，即 0。二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可2以用其平面角 的大小来定义，它的取值范围为 0， 具体取arccos | ur |，还是 arccos | u r | 应结合具体问题而定。| u| r | u | r |二、向量方法的基本应用例 1、一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（平面与平面垂直的判定定理）已经：直线 l和平面， ，其中 l，l，求证：.证明：设直线 l 的方向向量为 a, 平面，的法向量分别为u，r （建立立体几何问题与向量之间的联系） 。因为 l，所以 a|r，即 a= k r( k R ) （把立体几何问题转化

5、为空间向量问题）,ua u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题又l，），所以 a所以 k u r=0u r（把空间向量的结果转化为几何结论）。所以平面与平面互相垂直。本例题的证明，是应用了以上： 两个平面垂直的充要条件是这两个平面的法向量也互相垂直 的这个结论。例 2、如图 60 的二面角的棱上有 A、 B 两点，直线 AC、 BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.。已知 AB4， AC6， BD 8，求 CD 的长。解：化为向量问题根据向量的加法法则，CDCAABBD进行向量运算| CD |2CD 2(CAABBD)2CA2AB2BD 22CAAB2CABD2 ABBD1

6、64回到图形问题所以|CD|2 41（点析：本题包含两个方面的知识点：通过向量的加减法运算，把图形问题向量化 ; 向量模的运算方法，结果向量的数量积运算律进行向量运算，最后求得图形中线段的长度）。例 3、在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD，PD=DC，点 E 是 PC的中点，作 EF PB交 PB于点 F.(1) 求证： PA| 平面 EDB;2(2) 求证： PB 平面 EFD;(3) 求二面角 C-PB-D 的大小。引导： (1)侧棱 PD底面 ABCD，则 PD AD, PD CD, 底面 ABCD是正方形，则 ADCD，又 PD=DC，这告诉我

7、们，“三条线段两两垂直且彼此相等” 。这个条件对我们解决问题将起到什么作用呢？ （合适建立空间直角坐标系表示向量， 考虑本题使用坐标化方法）(2) 在上面建立的空间直角坐标系中，引导学生写出点 P，A，B， C，D， E 的坐标，并写出向量 PA,PB等的坐标。( 初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题 中条件建立适当坐标系的能力。 )(3) 从“要证 PA| 平面 EDB”入手，考虑直线与平面平行的判定条件，则需要考虑直线 PA与平面 EDB内哪条直线平行？从而引导学生发现 G点，进而写出向量 EG的坐标，由 PA=kEG证得 PA|EG

8、, 进而证明 PA| 平面 EDB.( 运用直线与平面平行的判定定理， 需证明 PA与平面 EDB内一直线平行， 找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力 ; 证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解。 )(4) 从“要证 PB 平面 EFD”出发，考虑直线与平面垂直的判定条件，引导讨论：应证明 PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？( 运用直线与平面垂直的判定定理， 需证明 PB与平面 EFD内两相交直线垂直。找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力 ; 证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为 0”的几何意义的认识。 )在讨论的基础上，引导学生

9、写出主要的证明过程。(5) 从“计算二面角 C-PB-D的大小”出发，引导学生如何找出相应的平面角，让学生思考：哪个角是二面角 C-PB-D 的平面角？用向量方法怎么计算它的大小？( 计算二面角的大小，要先找出它的平面角，转而计算平面角的大小。计算角的大小时，向量是非常有力的工具。 解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握。 )让学生思考：点 F 的坐标对计算是否重要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？通过确定点F 的坐标过程，进一步考虑并表达通过cosEFDFEFD计|FE |FD |算 EFD 的过程。三、向量方法的基本要求通过前面三个例子的应用，我们可概括出立体几何中的方法包含三种

10、方法：综合法、向量法、坐标法，并且这三种方法又各有侧重，同时也可以交叉运用，各有特点又互相联系： 综合法是数学 2 中常用的方法， 具备丰富的空间想象能力和严格的空间逻辑推理能力 ; 向量法是运用向量的加、减、数乘运算等方法，利用平行向量、 垂直向量的充要条件来表示直线与直线、 直线与平面、 平面与平面3的位置关系的一种方法 ; 坐标法是在向量法的基础上，利用向量的坐标表示，通过向量的坐标运算来解释平行向量、 垂直向量之间的关系以及向量夹角、 模的大小等。每一种方法都按照“三步曲”来解决问题：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题 ; 进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等） ; 根据运算结果的几何意义来解释相关问题。例 3 的解法，我们可以看到，将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，对于求解一些夹角问题变得更为简单。 而坐标方法与向量方法的结合， 建立坐标系的选择起到关键的作用。课后反思1、新课程倡导以“主动参与，乐于探究，交流合作”为主要特征的学习方式，这是广大教师课堂教学所要积极探索的方法。在本节课的教学中， 我力图尝试指导学生使用