第05讲固定收益证券及其定价

1、2006-10-261第五讲 固定收益证券定价什么是利率如何给固定收益债券定价？固定收益债券与利率有何关系？如何测度固定收益证券价格对利率的敏感性？如何用利率树定价企业债券？2006-10-262目录n现金流的未来值和现值n固定收益证券的收益率或利率n货币和资本市场的主要固定收益证券n影响债券价格运动的因素n固定收益证券的利率敏感性尺度：久期和凸性n固定收益证券定价n零息债券即期利率的期限结构n用利率树定价企业债券2006-10-263参考书n本讲义的Excel 注解nSundaresan：固定收入证券市场及其衍生产品，第2版，第4章。北京大学出版社。nBrigham 等: 财务管理，第11版

2、，第9章。2006-10-264未来值FV（Future Value）n单期支付n假定你投资 $1,000，期限1年，年利率 5%。1年后该投资的价值有多少？n利息 = $1,000(.05) = $50n1年后价值 = 本金 + 利息 = $1,000 + $50 = $1,0502006-10-265未来值n单期支付nFV = PV(1 + i)nnFV = $1,000(1+.05)1 = $1,0502006-10-266未来值n单期支付n假定你的投资期限是2年，1次还本付息。到期后你投资的价值将是多少?nFV = $1000(1.05)(1.05) nFV = $1000(1.05)

3、2 = $1,102.502006-10-267未来值n多期支付n该现金流在第三年后的未来值是多少?2006-10-268未来值n多期支付2006-10-269现值Present Valuen单期支付n假定你1年后需要$10,000资金。如果当前利率是7%，你今天需要到银行存多少钱？n现值 = 10,000/(1.07)1 = 9,345.792006-10-2610现值n多期支付n下面现金流的现值是多少?2006-10-2611现值n多期支付2006-10-2612普通年金普通年金Ordinary AnnuityPMTPMTPMT0123i%PMTPMT0123i%PMT先付年金先付年金An

4、nuity Due普通年金与先付年金2006-10-26133年期$100年金，在利率为10%时，其未来值是多少?100100100012310% 110 121FV= 3312006-10-2614年金未来值公式nn期年金，在利率为i时，其未来值可用下面的公式得出：= PMT(1+i)n-1i= 100(1+0.10)3-10.10= 3312006-10-2615用电子数据表计算年金未来值n使用 Excel的FV 函数：n = FV(Rate, Nper, Pmt, Pv)n = FV(0.10, 3, -100, 0) = 331.002006-10-2616普通年金的现值是多少?100

5、100100012310%90.9182.64 75.13248.69 = PV2006-10-2617年金现值公式nn期年金，在利率为i时，其现值可用下面的公式得出：= PMT1 - 1(1+i)ni= 1001 - 1(1+0.10)30.10= 248.692006-10-2618用电子数据表计算年金现值n使用 PV 函数公式：n = PV(Rate, Nper, Pmt, Fv)n = PV(0.10, 3, 100, 0) = -248.69年金现值（年金的资本化价值）n甲60岁时获得1笔年金。只要她活着，一家机构每年年终就必须支付给她10,000元。若甲要出售该年金，该年金的价格是

6、多少？n这要求将该笔年金资本化。该年金的资本化价值是多少，取决于：甲的预期寿命，贴现率，即当前的市场利率。n假定甲的预期寿命是75岁，贴现率是6%，该年金的资本化价值是：nPV=10000/(1+0.06)1+10000/(1+0.06)2+10000/(1+0.06)15n我们可以用年金现值公式来计算该年金的资本化价值。该公式如下：iiVn)1 (11AP年金现值n计算得：PV=10000*1-1/(1.06)15/0.06=97,122元n若甲为一人瑞，最终将活到100岁，则该年金的资本化价值将是： PV=10000*1-1/(1.06)40/0.06=150,463元n购买该年金的人的净

7、利润是：150463-97122=53341年金现值推导iiCPViiCiiiiiCiiiCPVxaaPVoraPVaaaaPVaaaaaPVxiaiCiCiCiCiCPVnnnnnnnnn3213232)(1111)1 ()(111,)1 ()1 (11)1 ()(111)1 () i1 ()1 (11)(111)1 (r1r)r1 () r1 ()2() 1 ()2(rrrrr:r) 1 (rrrr)1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1即：得：同乘对上式右端的分子分母后：和替代得：用得两边乘上式变为：设2006-10-2621简单利率（单利）n在借贷总期限内的利息总收入与各期资本之和

8、的比率，即单利。n100元本金，期限3年利息收入18元单利=18元/（100元*3）=6%n100元本金期限0.25年利息总收入2.5元单利=2.5元/（100元*0.25）=10%2006-10-2622复利n各期应得利息被自动追加为本金的利率。n100元本金，期限3年，复利6%，3年内全部利息收入为：第一年： 100*6%=6第二年： (100+6)*6%=6.36第三年： (100+6+6.36)*6%=6.74三年总和=6+6.36+6.74=19.1n三年后本息=100+19.1=191.1n或：100(1+0.6)3=191.12006-10-2623有效利率n与名义利率相对。n名

9、义利率是按照确定期限计算的利率，未考虑该期限内的实际付息次数。如名义年利率是按整年计算而不考虑年内复利的利率，n有效利率是按照实际付息间隔期计算的复利，考虑了期限内的利息支付次数。11年内复周期数年内复周期数名义利率有效利率2006-10-2624例：2006-10-2625连续复利公式推导连续复利公式推导0,yPdtdPoryPdtdP设：P(t)=随时间变化的资金总量dP / dt =资金总量随时间变化的速度，与资金当前数目P(0)成正比，y=比例系数，则有：2006-10-2626连续复利公式推导连续复利公式推导-续续yPdtdPcytPln,cPlnytPdPydtdPPydt得：两端

10、积分：1分离变量后得：两边取指数：yt)(cyt)t (PlncytPlneP) t (P,ePPeee0有：注意到：2006-10-2627到期收益率n到期收益率是按照复利计算的债务工具的利率。n从数学上说，到期收益率是使债务未来付款的现值与债务当前市场价格相等的贴现率。2006-10-2628等额分期付款债务的YTMn即每年按月偿还固定金额的债务，不动产抵押贷款和消费贷款一般采取这种形式。每月付款中包含本金和利息两个部分。随着时间的推移，付款中的利息部分越来越少（因为计息本金越来越少），本金部分越来越多。公式：niFPiFPiFPiFPLoan111132 FP=每期付款，i=到期收益率2

11、006-10-2629例. 用Excel的RATE函数计算住宅抵押贷款的YTM2006-10-2630息票债务的YTMn息票债务是利息按年或半年、1月偿付，本金在债务到期时偿付的债券、贷款或存款。公式：nnBiFiCiCiCiCP1111132 其中：PB = 债券价格，C = 每年的息票付款，F =债券面值，i = 到期收益率，n = 债券到期年限 2006-10-2631息票债券的YTM-续n息票债券的每期付款可以看作是单笔零息债券。n用零息债券的即期利率分别对各期付款贴现，加总后得到该息票债券的现值，或者说该息票债券的价格。n最后根据息票债券的未来现金流，期限，已得出的价格，就可以计算出

12、该息票债券的YTM。2006-10-2632债券描述：剩余期限两年，息票率6%，零息利率分别是4.15%，4.25%，4.4%，4.6%。该债券的价格：026706. 1940448. 0028104. 0028765. 002939. 0)2/046.1 (03. 1)2/044.1 (03. 0)2/0425.1 (03. 0)2/0415.1 (03. 04321432143214321%)843. 51 (03. 1%)843. 51 (03. 0%)843. 51 (03. 0%)843. 51 (03. 0)1 (03. 1)1 (03. 0)1 (03. 0)1 (03. 0)1

13、 (03. 1)1 (03. 0)1 (03. 0)1 (03. 06 .0267. 1YTMYTMYTMYTMYTMYTMYTMYTM债券的到期收益率：2006-10-2633用Yield函数计算付息债券的到期收益率2006-10-2634发达市场主要货币市场证券n货币市场证券货币市场证券:n到期时间在一年以内n用于企业和政府的短期融资n一般被企业、金融机构和政府机构用短期资金购买n为投资者提供流动性2006-10-2635发达市场主要货币市场证券n国库券国库券Treasury billsn商业票据商业票据Commercial papern可转让存单可转让存单Negotiable certi

14、ficates of deposit (NCDs)n回购协议回购协议Repurchase agreementsn银行承兑银行承兑Bankers acceptances发达市场的主要资本市场债券n国债n中央政府发行的债券，有主权风险，即国家拒付债务的风险。n抵押债券mortgage bondsn以公司的一定资产做偿债担保的债券。公司破产，债券持有人可以通过强行出售这些资产来实现自己对公司的要求权（债权）。n信用债券debenturesn无担保债券，债券持有人没有针对公司特定财产的留置权（扣押然后自行处置的权利）。债权人的要求权仅仅受公司未充当担保品的财产保护。信用强的公司通常发行这种债券。信用弱

15、的公司在担保品用完时也高利发行这种债券。n次级信用债券subordinated debenturesn债券持有人对公司财产要求权的级别，在公司破产时，低于或次于高级债务senior debt（如银行贷款和其他短期债务）。n开发债券development bonds和污染控制债券pollution control bandsn发达国家的地方政府为发展工业增加就业和控制污染而发行的债券。如美国州政府的产业开发署发行开发债券，然后将所筹的资金转贷给一家企业，让其扩大生产以便增加就业。地方政府的污染控制署发行债券，然后将资金转贷给电厂或汽车制造厂，以便让其控制污染。这类债券一般免税。n已保险市政债券n

16、美国市政府发行的由保险公司做保证人的债券。市政府违约时，保险公司负责偿还债权人本息。因为风险较低，所以这类债券的利率较低。2006-10-2637证券价值的含义n账面价值n证券在资产负债表上的价值n清算价值n公司破产时，证券的出售价格。n市场价值n证券在市场上交易时的价格。n经济价值n又称内在价值，是用适当贴现率对债券未来现金流进行贴现时，所得的现值。经济价值高于市场价值，说明在该投资者看来，该证券的市价被低估。反之，经济价值低于市场价值，该证券的市价被高估。2006-10-2638证券定值n马克思说：n证券的“市场价值，会随着它们有权索取的收益的大小和可靠程度而发生变化”n这种证券的市场价值

17、部分地有投机的性质，因为它不是由现实的收入决定的，而是由预期得到的、预先计算的收入决定的”；n如果“现实资本的增值率不变，或年收益已经由法律规定，并且有充分保证，那么，这种证券的价格的涨落就和利率成反比”。n“在货币市场紧迫时，这种证券的价格会双重跌落；第一，因为利率提高，第二，因为有大量证券投入市场，以便变为现实货币”。-资本论，卷3，530页。n这段话说明了包括股票在内的证券的定价要素，以及投资证券的风险。n决定证券价格的因素：n证券的预期收益流，n收益的稳定性或风险，n市场利率。2006-10-2639债券价格的运动n债券价格应该反映一定要求回报率下未来现金流的现值:n无风险利率和风险溢

18、价的上升，将导致债券价格的下降。- - - ),()(RPRfkfPfb2006-10-2640债券价格的运动(续)n影响无风险利率的因素n通胀预期n经济增长n货币供给n预算赤字 - ),(DEFMSECONINFfRf2006-10-2641债券价格的运动(续)n影响无风险利率的因素(续)n通胀预期的影响n预期通胀率上升，将导致债券的要求回报率提高n通胀指数与下列指数密切相关n消费物价指数n生产品价格指数n能源价格n汇率2006-10-2642债券价格的运动(续)n影响无风险利率的因素(续)n经济增长的影响n强劲的经济增长对要求回报率施加向上的压力n对债券价格产生立即影响的未来经济条件的信号

19、来自n就业nGDPn零售额n工业生产n消费者信心2006-10-2643债券价格的运动(续)n影响无风险利率的因素(续)n货币供给的影响n如果对可贷资金的需求没有同时增加，则货币供给的增长将对利率产生向下的压力n在高通胀环境下，货币供给增加可能会引起对可贷资金需求的增加，从而给利率施加上升的压力n政府预算赤字的影响n预算赤字增加给利率带来上升的压力2006-10-2644债券价格的运动(续)n影响信用(违约)风险溢价的因素n企业和地方政府债券信用风险的一般水平，会随经济增长而变化：n强劲的经济增长趋于改善企业的现金流量，降低企业对债务违约的概率- )(ECONfRP2006-10-2645债券

20、价格的运动(续)n影响债券价格因素的总结n因为其他因素也在变化，所以，以上各种因素对债券价格的精确影响，难以确定n特定债券特征的影响n可赎回条款等债券的特殊条款，也对债券价格的变化产生影响 - ),(),(DEFMSECONINFfRRPRfPffb2006-10-2646债券价格的运动(续)n债券市场的效率n在一个有效的市场上，债券价格应该充分反映所有可以得到的信息n一般而言，债券价格应该反映公开发布的信息n债券价格不会反映只有企业管理层才知道的信息债券价格不会反映只有企业管理层才知道的信息2006-10-2647债券的利率敏感性尺度n久期n凸性2006-10-2648综合的债券利率敏感性尺

21、度久期durationn久期是价值和时间加权的期限尺度，用来测量生息资产作为现金流入的时间和付息债务作为现金流出的时间n久期测量承诺的未来现金支付（现金付出或收入）的货币加权平均期限。n久期是测量债券价格利率敏感性的综合指标久期是测量债券价格利率敏感性的综合指标，其中包含了债券到期日和息票金额大小等因素。n久期也可以被理解为债券对市场利率的价格弹性。2006-10-2649综合的债券利率敏感性尺度久期duration(2)n基本关系：n久期反映了市场利率变动与所引起的债券价格变动之间的关系。n较长的债券久期，表明债券价格对利率更大的敏感性。n影响久期的因素包括n到期收益率n债券期限n债券息票率

22、的大小（利息支付速度）2006-10-2650作为将未来付款作为现金收回所需加权平均时间的久期n1tttn1tttYTM) (1CFYTM) (1CF *t D久期是将未来现金流收回所需的“货币加权平均时间”2006-10-2651作为将未来付款作为现金收回所需加权平均时间的久期-续NNNDDDDPrCNPrCPrCD321221)1/()()1/()2()1/() 1 (2006-10-26521234=2*356(=4/5）7=1*6年数现金流利率为6%时1元人民币的现值各期资金现值债券价格人民币的期限权数各期资金作为现值回流的期限0￥1,1121800.943475.47170.070.

23、072800.890071.19970.060.133800.839667.16950.060.184800.792163.36750.060.235800.747359.78070.050.276800.705056.39680.050.30710800.6651718.2620.654.52总额￥1,112D=5.74年久期的计算2006-10-2653rDrrDrrDPPrrPPDurationM111D被称为麦考利久期，DM=D/(1+r)是已经标准化的修正久期.作为债券价格的利率弹性（敏感性）的久期久期也是价格对利率敏感性指标，即债券价格的利率弹性。2006-10-2654久期与证券

24、价格的敏感性Pi D- MPPi) (1i D- P我们可以用下面的公式计算债券价格的利率敏感性：2006-10-2655久期与债券价格敏感性n债券描述n期限：15年n息票率：10%n到期收益率：7%n当前价格： $1,273.24n预期到期收益率变动：7%nYTM变动后的债券价格：$1,080.61.n债券的修正久期：8.56n求债券的价格弹性和利率敏感性53.0%7%7%924.273, 1$24.273, 1$61.080, 1$ in change percent in change percentkPpe1 . 8%71%7%924.273, 1$24.273, 1$61.080,

25、1$的相对变化的百分比变化利率敏感性kPP%12.1702. 056. 8 *-DUR%yP实际价格变化：-15.13%-0.15129 -0.15129 用久期计算价格的利率敏感性久期公式推导2Nn322211)y1 (C)n(dydP)y1 (C)2(dydP)y1 (C)1(dydPn322211nn3322111111111rCrCrC)r(CPrCrCrCrCPnMDyD)1 (P1)y1 (C)n()y1 (C)2()y1 (C) 1()y1 (1P1dydPnn22111nn3221)y1 (C)n()y1 (C)2()y1 (C)1(dydP对上式各项分别求一阶导数：加总：等式

26、两边同除以P：2006-10-2658用Excel函数Duration，MDURATION计算久期2006-10-2659问题n2005年金融联考题n假定：市场上的利率期限结构平坦，市场年利率均为10%（按一年计息一次计算）。n一个债券基金经理可选择A、B两种债券投资。两种债券的面值都是1000元，剩余期限都是3年，付息频率都是每年1次。A债券的息票率为8%，B债券的息票率为10%。n基金经理预期所购证券的持有期为一年，并预测市场利率期限结构今后会平行向下移动。不考虑其他因素，请问对该投资经理而言，哪种债券是较好的选择？n标准答案：计算两个债券的久期（6分）；分析（2分）2006-10-266

27、0问题-续n我的答案n答案答案1：两种债券都买。对基金经理而言，这是最好的选择。相对来说，预测1年后的利率要容易些。如果自己预测与市场预测的差距不大，选择变得不重要。如果自己的预测与市场的差别很大，自己预测错误的概率很大。为保险起见，最好两种都买，不然基金经理会问：为什么不能两种都买？（最现实的答案）（最现实的答案）n答案答案2：如果两债券的到期收益率都一样，购买息票率为8%的A债券。因为，其他条件相同，息票率较低的债券久期较长，因而在利率如预期下降时，其价格上升的幅度较大。（最符合出题者意图的答案）（最符合出题者意图的答案）n这样，还需要计算久期吗？2006-10-2661凸性n债券价格曲线

28、的弯曲程度或非线性程度。久期测量价格相对于利率的变动或敏感性，凸性测量这种变动的加速度或敏感性本身的变化。n凸性=债券价格对利率的二阶导数/2倍的债券价格ntttyCttyPD1222)1 ()()1 (121凸性2006-10-2662凸性推导该公式的二阶导数为：nnnrrPnrrPrPP121222ntttntttyCttyPDPyCttyyP122212222)1 ()()1 (1212)1 ()()1 (1凸性得到凸性的数值：倍的将上式除以债券价格：nn332211111rCrCrCrCP泰勒扩展式：2006-10-2663凸性公式推导-续2nn221nn-n)y1 (C)n(1)n(

29、dyPd)y1 (C)n(dydP) i1 (Ci)(1CP二阶导数：一阶导数：函数：债券价格：nn332211111rCrCrCrCP2006-10-2664凸性公式推导-续2nn22nN2n222222212222112211212)y1 (C)nn()y1 (C)n)(1n(dyPd)y1 (2)C2()y1 (C)2)(3(dyPd)y1 (1)C1 ()y1 (C)1)(2(dyPdnt 1tt2222)y1 (C) tt ()y1 (1dyPd对上述价格公式的每一项分别求二阶导数：加总后得：2006-10-2665凸性公式推导-续nt 1tt2222)y1 (C) tt ()y1 (1dyPd已知债券价格的二阶导数为：对上式两端同除以2倍的债券价格P，得到凸性：ntntPP1tt221tt222)y1 (C) tt ()y1 (1212)y1 (C) tt ()y1 (1D凸性测度的，是债券价格的线性变化（近似变化）与实际变化的差。因为这一差额始终为正，所以，凸性始终为正。2006-10-2666凸性与债券价格变化n由凸性导致的债券价格百分比变化可表示如下：债券价格变化率