六章节单变量微分学ppt课件

1、第六章 单变量微分学郇中丹2019-2019学年第一学期根本内容 0 微积分的创建 1 导数和微分的定义 2 求导规那么 3 区间上的可导函数(中值定理) 4 不定式 5 Taylor公式 6 用导数研讨函数 7 割线法和切线法(Newton方法)0 微积分的创建 Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)Isaac Newton (1642-1727) 1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生), 数学指点教师Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙

2、3年)获学士学位. 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. 1665年11月发明“正流数法(微分法)，1666年5月发明“反流数法(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论，建立了微积分根本定理。Isaac Newton (II) 1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. Newton有关流数的著作到他身后才发表(

3、1736).Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) 1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资历(出于嫉妒,该校教师回绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他回绝了后者). 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔走,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下任务的才干，他不停地读着、写着和思索着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比普通人的都小。Leibniz (II) 1666其称作“中学生随笔的中立志要发明出“普通方法和普适言语，其中一切推理都简化为计算，除了能够的现实错

4、误外，只会有计算错误，为此他创建了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四那么运算和开方的计算机。由于其才干而被种种琐事困扰。 1672-1673恳求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。 1675年发现了微积分根本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的开展而成为一种强有力而又容易运用的工具。Leibniz (III) Leibniz建立微积分的根本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原意是差的, Differential),微分,求导和积分的符号. 建立了四那么运算的求导规那么

5、. 1673年引入函数的术语。 提出：不能像卫道士那样：只需知识而没有判别。1.导数和微分的定义 微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 延续与导数和导数的解释微分和导数概念的意义 (I) 微分的概念源自试图刻划在一个“小时间间隔或空间上的变化量。 导数的概念源自刻划某种景象在一个时辰或位置的变化率，典型的例子有：在一个时辰的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何了解导数一直是个有挑战性的问题。 微分与导数的概念是亲密联络着的，所涉及的范围和对其意义的了解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。微分和导数概念的意义 (II) 导数的物理背景

6、: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面确实定和曲面的曲率等等。 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。 由方导游数到梯度再到普通意义上的导数。函数增量与微分和导数 设在a的一个邻域上有定义. 增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量. 微分定义: 假设cR使得D(x)cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处

7、可微. 导数定义: 假设cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a). 小结: 假设在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.延续与导数和导数的解释 可微与延续: 假设在a处可微,那么在a处延续. 左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-). 导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等. 切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线: y=(a)+(a)(x-a). 导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(

8、a,(a)的切线的斜率. 导数(a)的物了解释: 假设(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程, (a)为在时辰a的瞬时速度. 习题十八 (I) 1. 用定义计算以下函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 假设x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 假设x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x). 2. 证明: 假设(0)存在, 那么n(1/n)- (0)(0) (n). 反过来成立吗？ 3. 设(0)=0且(0)存在.计算数列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的极

9、限.计算数列极限: (1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2); (2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).习题十八 (II) 4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 假设 (0)存在, 那么(0)=0. 5. 证明：函数在x=0点可微的充分必要条件是(x)=(0)+g(x)x, 其中g在x=0点延续. 6. 求以下曲线在给定点的切线方程: (1) y=x2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x, P(1,1); (3) y=ex+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P(

10、p/6,1/2). 假设 2 求导规那么 复合函数求导的链式法那么 反函数求导公式 一阶微分方式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数 双曲函数求导公式 高阶导数和高阶微分复合函数求导的链式法那么 定理定理: 设设 在在a点可微点可微,g在在 (a)点可微点可微,那么那么h=g在在a点可微点可微, 并且并且h (a)= g ( (a)(a). 证明证明: 记记a= (a), b= g ( (a). 那么那么 (1) D (x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0), (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=0). 因此因此, Dh(

11、x)= b D (x)+b1(D (x) D (x)=b aDx + b a1(Dx) Dx + b1(a Dx+a1(Dx) Dx) (aDx+a1(Dx) Dx)= b aDx + g(Dx) Dx, 其中其中g(Dx)=b a1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx) Dx) (a+a1(Dx)满足满足g(0)=0. 所以所以, h (a)= b a = g ( (a)(a). #反函数求导公式 定理定理: 设设C(I), g是是 在在 (I)上的反函数上的反函数,这里这里I是是区间区间. 假设假设 在在a点可微且点可微且 (a) 0, 那么那么g在在b= (a)可微可微,并且并且g (

12、b)=1/ (a)=1/ (g(b). 证明证明: 由由 在在 (I)上有反函数上有反函数, 在在I上严厉单调上严厉单调,因因此此, g C( (I). 只需证明只需证明g (b)存在就够了存在就够了.而这由而这由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/( (g(y)- (g(b)和和复合函数的极限性质就得到结论复合函数的极限性质就得到结论.#一阶微分方式的不变性 这是复合函数求导的链式法那么的另外一种说法: 设的微分是d(x). 假设x=g(t)有微分dx=dg(t), 那么d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x). 这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用

13、,同类的公式在高阶导数时不再成立.求导运算的算术性质 设何g在a点可微, cR. 那么+g, c, g在a点可微, 假设g(a)0, /g在a点也可微. 并且 (+g)(a)= (a)+g(a); (c)(a)= c (a); (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); (/g)(a)= (a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2. 证明: 极限性质和导数定义的运用.#初等函数求导公式 根本初等函数求导公式: (c)=0; (x)=1; 由归纳法： (xn)=nxn-1; (exp x)=exp x;由链式法那么,(ax)= ax ln a;反函数求导规那么:(ln x)=1/x;(lo

14、ga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u). (sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (tan x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函数求导规那么: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x|sqrtx2-1

15、); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).双曲函数 双曲函数定义: sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x, sech x, csch x. 反双曲函数: arsh x=ln(x+sqrt(1+x2); arch x = ln(x+sqrt(x2-1); arth x=1/2 ln(1+x)/1-x); arcth x=1/2 ln(1-x)/1+x); arsec x=ln(1+sqrt(1-x2)/x), 0 x1; arcsch x= ln(1+sqrt(1+x2)/|x|). 双曲函数求导公式 双曲函

16、数求导公式: (sh x)=ch x; (ch x)= sh x; (th x)=sech2 x; (cth x)=-csch2 x; (sec x)=-th x sech x; (csch x)=-cth x csch x. 反双曲函数求导公式: (arsh x)=1/sqrt1+x2; (arch x)=1/sqrtx2-1; (arth x)=1/(1-x2); (arcth x)=1/(1-x2); (arsech x) =-1/(xsqrt1-x2) (0 xb0); (37) y=a2arcsin(x/a)+xsqrt(a2-x2); (38) y=a2ln|x+sqrt(a2+x

17、2)|+xsqrt(a2+x2); (39) y=e(x2)(x2+2x+2); (40) y=ln(arccos(1/sqrt(x).高阶导数 定义: 设在(a,b)上处处可微, 就定义了(a,b)上的一个函数, 这个函数叫做的导函数; 假设也有导数,其导函数叫做的二阶导函数, 记做; (x)叫做在点x的二阶导数; 依此类推. 的n阶导数记做(n), Dn或dn/dxn.商定: (0)=. Leibniz公式: 设u,v有n阶导数, 那么有公式: 证明: 对n做归纳法: n=0时成立. 然后由n=k成立推出n=k+1, 与二项式定理的证明类似。#nkknkknnvuCuv0)()()(高阶微

18、分 定义: 设在(a,b)上处处可微,d2(x)=(d(x)dx叫做的二阶微分.普通 d(n+1)(x)=d(dn(x)=(d(n)(x)dx=(n)(x)dxn 注: 高阶微分没有情势不变性, 有关讨论参看教材90-92页.记号 F. D. Bruno公式: 设和g都有n阶导数. 那么h=g的n阶导数满足下面的公式:niinjniNnjjnjxgxgfnxh11)(|)(|)(!)()(!)(习题二十 (I) 1. 证明Leibniz公式. 2. 证明Bruno公式。 3. 计算以下函数的n阶导数: (1) y=1/(1-x2); (2)y=(1+x)/(1-x)(1/3); (3)y=si

19、n2 x; (4) y=xn/(1-x); (5) y=sin3 x; (6) y=ex sin x; (7) y=xn/(x2-1); (8) y=ex(cos x+sin x); (9) y=xn/(x+1)2(x+2)2); (10) y=1/sqrt(1+x2). 4. 证明y=arcsin x和y=arccosx满足(1-x2)y- xy=0. 5. 证明 y=(x+sqrt(1+x2)m满足(1+x2)y+xy = m2 y.习题二十 (II) 6. 证明. 切比雪夫多项式Tn(x)=1/2(n-1)cos(n arccos x)满足(1-x2)y-xy+n2 y=0. 7. 设y

20、=(x)有反函数并且满足y+(y)3=0. 证明的反函数g满足g=1, 并由此给出的一个例子. 8. 求以下函数的指定阶数的微分,其中u,v都有用到的各阶导数: (1) y=u2, 求d10y; (2) y=arctan(u/v), 求d2y; (3) y=eu,求d4y; (4) y=ln u,求d3y. 9. 设在x=0点延续且(2x)-(x)/xl (x0). 证明在x=0点可微, 且(0)=l. 10. 证明: (f(x)-b)/(x-a)A(xa)当且仅当(e(f(x)-eb)/(x-a)Aeb(xa).3区间上的可导函数(中值定理) 有关函数一点行为的定义 导数对函数一点行为的刻划

21、 中值定理的意义及其逻辑 中值定理证明及其简单推论 例子 Lagrange中值定理的一些推论 三个不等式 参变量函数求导定理导数对函数一点行为的刻划 定义: 设a是定义的内点. U是a的邻域 在a点增: xU, xa, 那么(x)-(a)(x-a)0; 在a点减: xU, xa, 那么(x)-(a)(x-a)0; 在a点不减: xU, 那么(x)-(a)(x-a)0; 在a点不增: xU, xa, 那么(x)-(a)(x-a)0; a点是的部分严厉最大值点: xU, xa, (x)(a); a点是的部分最大值点: xU, (x)(a); a点是的部分最小值点: xU, (x)(a).导数对函数

22、一点行为的刻划 (a)充分条件: 假设(a)0, 那么在a点增; (Darboux引理) 假设(a)0, 那么在a点减; (Darboux引理) 假设xU, xa, (x)(x-a)0, 那么a部分严厉最小值点; 必要条件: 设(a)存在. 假设在a点不减, 那么 (a)0; 假设在a点不增, 那么 (a)0; 假设a是的极值点, 那么(a)=0. (Fermat引理)中值定理的意义及其逻辑 中值定理要讨论的问题: 用导数得到函数值差的表达式, 利用导数的性质研讨值差以得到有关函数的信息。 中值(Lagrange)定理: 假设Ca,b, 且在(a,b)上点点可微, 那么c(a,b),使得(b)

23、-(a)=(c)(b-a). # 其证明是基于Fermat引理. 逻辑顺序: Rolle定理(b)=(a), c(a,b),使得(c)=0)Cauchy中值定理(,gCa,b都在(a,b)上点点可微,且x (a,b),g(x)0,那么c(a,b),使得(b)-(a)/(g(b)-g(a)=(c)/g(c) Lagrange中值定理. 附带地得到导函数的介值性质和延续点的特点.中值定理的证明及其简单推论 Rolle定理的证明定理的证明: 在在(a,b)上必有极值上必有极值.# Cauchy定理的证明定理的证明: h(x)=(g(b)-g(a) (x)-( (b)- (a)g(x), 那么那么h

24、Ca,b 在在(a,b)上点点可微上点点可微,且且h(a)=h(b)=g(b) (a)- (b)g(a).# Lagrange定理的证明定理的证明: 在在Cauchy定理中取定理中取g(x)=x就可以了就可以了.# Darboux定理定理: 设设 在在(a,b)上可微上可微. 那么那么 (a,b)是区间是区间. 因此因此 在在(a,b)上的延续点只能是第二类上的延续点只能是第二类延续点延续点. 证明证明: (1) 证明零点定理证明零点定理; (2) 由由Lagrange定理第定理第一类延续点必为延续点一类延续点必为延续点. #例子 例例1. 设设 (0)=0,而当而当x 0时时, (x)=x2

25、 cos(1/x). 因因此此 (0)=0,而当而当x 0时时, (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在在x=0点的左右极限都不存在点的左右极限都不存在. 例例2. (x)=2sqrt(|x|). 假设假设x 0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0+)=+ , (0-)=- (实实践上践上,也是也是 在在x=0点左右点左右“导数导数). 例例3. (x)=3x(1/3). 假设假设x 0, (x)=x(-2/3). (0+)= (0-)= + (实践上实践上,也是也是 在在x=0点的点的“导导数数). 在例在例2-3的情形的情形, 称称 在在x=0点有点有 (左左

26、,右右)导数导数.Lagrange中值定理的一些推论 1. 假设x(a,b), (x)=0,那么是(a,b)上的常值函数. 2. 设在(a,b)上可微. 那么在(a,b)上不减的充分必要条件是x(a,b), (x)0. 3.假设x(a,b),(x)0,那么在(a,b)上是严厉增的. 4.设在(a,b)上可微. 那么在(a,b)上严厉增的充分必要条件是x(a,b), (x)0, 并且在(a,b)的子区间上不为常数. 推论4的证明: 必要性: 由推论3得到(x)0, 严厉增给出后一部分.充分性: (x)0给出不减,在(a,b)的子区间上不为常数给出严厉.#三个不等式 Young不等式不等式:设设a

27、,b0, a+b=1.那么那么 x 0,x ax+b. Young不等式的变形不等式的变形: aa bb aa+bb. (x=a/b Hlder不等式不等式: 设设ui, vi0, i=1,n. 那么那么 Minkovski不等式不等式: 设设p1, ai, bi0, i=1,n. 那那么么niiniiniiivuvu11111pnipipnipipnipiibaba111111参变量函数求导定理 定理定理:设设j(t),y(t)在在a,b上可微且上可微且 t a,b, j (t) 0. 那么由那么由x=j(t)和和y=y(t)可得可得j(a),j(b)上的函数上的函数y= (x). 即即 =

28、y j-1. 特别特别 (j(t)=y (t)/j (t). 这个定理为研讨参数曲线和参变量函数求导提这个定理为研讨参数曲线和参变量函数求导提供了工具供了工具. 证明证明: 链式法那么的推论链式法那么的推论.# 推论推论: 参变量函数二阶导数的公式参变量函数二阶导数的公式. (j(t)=(y (t)j (t)-j (t)y (t)/(j (t)3.习题二十一 (I) 1. 设(x)=xm(1-x)n,其中m, n为正整数. 证明: c(0,1)使得m/n=c/(1-c). 2. 证明: 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根. 3. 证明: ex= ax2+bx+c的

29、根不超越三个. 4. 设Ca,b在(a,b)上有n阶导数, 并且在a,b上有(按重数计)n+1个零点. 证明: (n)在a,b上至少有一个零点. 5. 证明: 一个有(按重数计)n+1个零点的次数不超越n的多项式必为零多项式.习题二十一 (II) 6.设在(a,b)上可微 (其中a可以是-,b可以是+).证明:假设(a+)=(b-),那么c(a,b)使得(c) =0. 7. 设在(a,b)上可微. 证明的两个零点之间必有+的零点. 8.证明:Legendre(勒让德)多项式Pn(x)=1/(2n n!)(x2-1)n(n)在-1,1内有n个零点. 9. 证明: Chebyshev-Laguer

30、re(切比雪夫-拉盖尔)多项式Ln(x)=ex(xne(-x)(n)有n个不同的零点.习题二十一 (III) 10. 证明: Chebyshev-Hermite (切比雪夫-厄尔米特)多项式Ln(x)=(-1)n/n!e(x2/2)(e(-x2/2)(n)有n个不同的零点. 11. 证明: (1) |sin x-sin y|x-y|; (2) |cos x-cos y|x-y|; (3) |arctan x-arctan y|x-y|; (4) |arccot x- arccot y|x-y|. 12. 设C(a,b)且在(a,c)(c,b)上可导. 证明: 假设, 那么(c)=A. 13.

31、设在(a,b)上可导, 并且在(a,b)单调. 证明C(a,b). 14. 设在(a, b)上可导并且有界. 证明在(a, b )上一致延续.习题二十一 (IV) 15. 设在(a, +)上可导且(x) (x+). 证明在(a, +)上不一致延续. 16.证明(x)=xlnx在(0,+)上不一致延续.而g(x)=sqrt(x) ln x在(0, +)上一致延续. 17. 设(x)-(0)= x(x(x), 其中0 x(x)0), (0)=0，对于a0, x(x)在(0,a)上不延续. 18. 定义(x)=arctan(1+x)/(1-x) (x1), (1)=0. 证明在x=1点有极限, 但是

32、在x=1点的两个单侧导数都不存在. 请给出他的解释. 19.设Ca-h, a+h在(a-h, a+h)上可导(h0).证明:(1) $q(0,1)(a+h)-(a-h)=(a+q h)+(a-q h) h; (2)$q (0,1), (a+h)+(a-h)-2(a)=(a+ qh)-(a- qh) h2.习题二十一 (V) 20. 设Ca, b在(a, b)上可导. 证明: 假设不是一次多项式, 那么$c(a,b), 使得|(c)|(b)-(a)|/(b-a). 21. 设在a, b上有二阶导数且(b)=(a)=0. 证明: $c(a,b)使得|(c)|4|(b)-(a)|/(b-a)2. 2

33、2. 设Ca, b在(a, b)上可导. 证明: (1)$c(a,b)使得2c(b)-(a)=(b2-a2) (c); (2)假设a 0, $c(a,b)使得(b)-(a)=c(c) ln(b/a). 23. 设Ca, b在(a, b)上可导(ab0). 证明: c(a,b), )()()()(1cf ccfbfafbaab习题二十一 (VI) 24.证明恒等式:(1)|x|1,2arctan x+arcsin2x/(1 +x2)=psgn(x);(2)|x|1/2,3arccosx-arcos(3x-4x3) =p. 25. 设在(a, +)上可导并且f(x)0 (x+). 证明: f(x)

34、 /x0 (x+). . 26. 设x=acos3t, y=a sin3t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切线为坐标轴所截线段有定常. 27. 对于曳物线: x=aln (tan t/2)+cos t, y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切点到切线与x轴的交点的间隔为定值.习题二十一 (VII) 28. 证明：双纽线r2=a2cos 2q的向径与切线间的夹角等于向径极角的两倍加p/2. 29. 证明以下不等式：(1) 当x0时, ex1+x; (2) 当x0时, x-x2/2ln x0时, x-x3/6sin x0时, (1+1/x)xe0, d0,使使得当得当0a-xd时时, | (x)/g (x)-l|e. 由恒等式由恒等式, 其中其中a-dx0 x0, (ln x)/ xa 0, (x+); 5. 1/x2-1/tan2 x 2/3, (x0); 6. xxx-1 1, (x0). 假设 x2 x3习题二十二 (I) 1.推行上下极限的概念到函数的情形. 这里仅讨论xa-的情形其他情形留给学生本人去做.假设0, 在(a-,a)上有定义. 定义在a_的上极限为 ,下极限为 证明: (1) ; (2) 是 存在的充要条件; (3) 对于(