2022年高考数学必刷压轴题专题42抛物线过焦点的弦含解析

1、专题42抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若代Xi,yi),B(x2,y。，风为弦AB的倾斜角.贝U2(1) XiX2=4，yiy2=p2.(2)|AF=-一P，|BF|=-p(其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧).1 cos0C1十cosa2p(3)弦长|AB=xi+x2+p=2-.sina(4)-+-=2.IAF|bfp(5)以弦AB为直径的圆与准线相切.【典型题示例】例i已知抛物线C:y22pxp0的焦点F到其准线的距离为4,圆22M:x2yi,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则AP4BQ的最小值为.【答案

2、】I3【分析】易知p4,圆心M(2,0)即为焦点F,故AP4BQAF4BF5,再利用抛物线的定义，进一步车专化为AP4BQxA4xB5,利用xAxB4、基本不等式即可【解析】易知p4,圆心M(2,0)即为焦点F所以AP4BQAFI4BFiAF4BF5根据抛物线的定义AFxA-xA2,BFxB-xB222所以AP4BQxA24xB25xA4xB52又xaxb44Xa4一所以AP4BQxA4xB52JxA4xB5I3,当且仅当xA4xB,即时xbi等号成立，此时直线l的方程是y2J5x4拒所以AP4BQ的最小值为13.例2已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物

3、线C交于A,B两点，抛物线C的准线上一点M-1,1)满足MA-MB=0,则IAB|=A.34B.42C.5D.6【答案】C【分析】将MAMB=0直接代入坐标形式，列出关于A,B中点坐标的方程，再利用斜MAMB=0率布列一方程，得到关于A,B中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是,转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单【解析】易知p=2设A(xi,yi),B(X2,y2),则xiX2=1,yiy2=4,MA(x11,y11),MB(x21,y21)MA-MB=0(Xi1)(x21)(%1)(y21)0,化简得Xix2ViV211设A、B中点坐标为(x°,y

4、76;),则x0y0一2又由直线的斜率公式得kkAB也一y27一冬,ky-Xx2y红yy2y0%144即y。22(x01)V。x01一一3由、解得x°-2ABxx2p2x0p5,答案选C.点评:本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁例3过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，若|AF|=2|BF|,则|AB等于()A.4B.9C.5D.62DC,【解析】由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A,B在准线上的射影分别为作BE!ADTE,设

5、Ibf=m直线i的倾斜角为e,则ab=3m由抛物线的定义知IAD=|AF=2m,IBC=IBF=mAIAE1所以cos9=.-=,IAB3sin29=9.一22p9又y=4x,知2P=4,故利用弦长公式1AB=S=2.【巩固训练】1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则4OAB勺面积为（）A.3?4B.63C.329D.4P,2.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.抛物线C的准线方程为y=-1B.线段PQ

6、的长度最小为4C.点M的坐标可能为（3,2）d.Op-Oq=-3恒成立3 .已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点，分别过A,B作准线l的垂线，垂足分别为P,Q若|AF=3|BF,则|PQ=.114 .已知抛物线C的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于AB两点，若2,则符AFBF合条件的抛物线C的一个方程为.255 .过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若AB，AFBF,则112AF=.6 .过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若|AF|3,则|BF|【答案与提示】1.【答案】D【解析一】由已知得焦点坐标为f10,因此直线AB的方程为y

7、=3x-3,即4x-4/y3=0.与抛物线方程联立，化简得4y2123y9=0,故|yAyB|=(yA+yB)4yAyB=6.1 13-9因此Soab=/IOFIyAyB|=2*4*6=4.2p【解析二】由2p=3,及|AB=sina一2p3一信1AB=Sj?V=sin230。=12.3原点到直线AB的距离d=|OFsin30=o41139故Saob=2|AE|,d=2><12xo=4.2 .【答案】BCD【解析】因为焦点F到准线的距离为2,所以抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,A错误.当线段PQ垂直于x轴时长度最小，此时|PQ=4,B正确.y=4x,设Rx1,y1

8、),Qx2,y2),直线PQ勺方程为x=m什1.联立得方程组消去x并整x=my+1.理,得y2-4my-4=0,A=16ni+16>0,则y1+y2=4m,所以x+x2=my+y2)+2=4n2+2,所以M2m2+1,2m.当m=1时，可得M(3,2),C正确.可得y1y2=4,x1x2=(my+1)(my+1)=而丫旷2+m(y1+y2)+1=1,所以OpOqtx1x2+y1y2=-3,D正确.故选BCD.3 .【答案】峥3【解析】F(1,0),不妨设A在第一象限，A(x1,y。，B(x2,y。，由|AF=3|BF|得yi=3y2设lab：y=k（x-1）与抛物线方程联立得,24ky4y4k=0,yi+y2=k结合解得y2=一|PQ=|yi-y2|=|-3y2-y2|=-4y2=8m'.334 .【答案】满足焦准距为1即可，如y22x.【解析】由公式1AF122-r,2得一2,解得p1,满足焦准距为1即可，如y2x等.,25m+n一12【解析一】设AF=mBF=n,则有1,12-JmnPp=155,解得m或m（舍）.64BFpp2一，11【解析二】抛物线y2x的焦点坐标为（万,0）,准线方程