2017年中考数学压轴题练习正方形问题解析版

1、1如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK,恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P,连接NP,设正方形BEFG的边长为x,正方形DMNK的边长为y.(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)当NPF的面积为32时，求x的值；(3)以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由.解析：(1)二.正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD，/E=/F=90O,AE/MC,MC/NKAE/NK,.KNA=/EAFNKKAyy-6KNAs*EAF，.二"EA&quo

2、t;=芮,即6-，y=x+6(0vxW6)(2)由(1)知NK=AE,.1.AN=AFFPAF.正方形DMNK,.AP/NM,.下才=京=1FP=PM,S>amnp=Sanpf=32二S正方形dmnk=2Samnp=64y=8,x=2(3)连接PG,延长FG交AD于点H,则GHXAD口一H_工_卫易知：AP=2,AH=x,PH=2-x,HG=6;PG=AP+GF=2+x当两圆外切时yy在R9GHP中，PH2+HG2=PG2,即(2x)2+62=(2+x)2解得：x=33病(舍去)或x=-3+3V3当两圆内切时yy在RtGHP中，PH2+HG2=PG2,即(2x)2+62=(2x)2方程无

3、解所以，当x=3«3时，两圆相切2已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点巳射线AF与射线CD交于点F,/EAF=45。，连接EF.(1)如图1,当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围；(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心，以BE为半径的。E和以F为圆心，以FD为半径的。F之间的位置关系;(4)如图2,当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G.问：EGF与EF

4、A能否相似?若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由.图2AD解析：(1)猜想：EF=BE+DF证明：将ADF绕点A顺时针旋转90°,得ABF',易知点F'、B、E在同一直线上(如.图1).AF'=AF/FAE=/1+/3=/2+/3=90°45°=45°=/EAF又AE=AE,.AF'EAFE.EF=FE=BE+BF=BE+DF(2)在RtAEFC中，EC2+FC2=EF2EC=1-x,FC=1-y,EF=x+y(1x)2+(1y)2=(x+y)21-xy=i+x(0vxv1)(3)当点E在点B、C之间时，由(1

5、)知EF=BE+DF,故此时。E与。F外切;当点E在点C时，DF=0,OF不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕点A顺时针旋转90°,得ABF'(如图2)则AF'=AF,/1=/2,BF'=DF,/F'AF=90°FAE=/EAF=45°又AE=AE,.AF'EZAFE.EF=EF=BE-BF=BEDF此时。E与。F内切(4)EGF与4EFA能够相似，只要当/此时CE=CFx1x+1EFG=综上所述，当点E在线段BC上时，OE与。F外切；当点E在BC延长线上时，OE与。F内切在RtCFE中，CE2+CF2=EF2设BE=

6、x,DF=y,由(3)知EF=x-yx1-y=x+1(x>1)-(x-1)2+(1+y)2=(xy)2由CE=CF,得x1=1+y,即x-1=1+化简得x2-2x-1=0,解得x=1*(舍去)，x2=1+V2.EGF与AEFA能够相似，此时BE的长为1+收已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形BEFG

7、,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形BEFG的边EF与AC交于点M,连接BD,B'M,DM.是否存在这样的t,使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)问的平移过程中，设正方形BEFG与4ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.解析：(1)如图，设正方形BEFG的边长为x备用图图在RtABME中,oooo1B'M2=B'E2+ME2=22+(2-万t).EF/AB,MECsABCMEECAB=BC，ME4-t在RtADHB中,B'D2=DH2+B，图2H2=32+(t

8、-2)2=t1ME=2-万t过M作MNXDH于点N则BE=FG=BG=x,.AB=3,BC=6,AG=AB-BG=3-x.GF/BE,AGFAABCAGGF1AB=BC，即解得x=2,即BE=2(2)存在满足条件的t,理由如下:如图，过D作DHLBC于点H则BH=AD=2,DH=AB=3由题意得：BB=HE=t,HB'=|t2|,EC=4-t1则MN=HE=t,NH=ME=2.DN=DHNH=3(22t)=2t+1ooo_5o在RtDMN中，DM2=DN2+MN2=4t2+t+1(i)若/DBM=90°,贝UDM2=B'M2+B'D22075_q即4t2+t+

9、1=(4t22t+8)+(t24t+13),解得t=(ii)若/B'M也90°,则B'D2=B'M2+DMrr.2.12c,e当3wtW2时，如图2即t4t+13=(4t2t+8)+(4t+t+1),斛信t=3+aJ17,t2=3177,-0<t<4,t=-3+17(iii)若/B'D阵90°,则B'M2=B'D2+DM2rJ2cc2“52，一即4t2-2t+8=(t2-4t+13)+(4t2+t+1),此万程无解20综上所述，当t=或一3+历时，B'DM是直角三角形12时，S=4t12S=8t2+t3cg

10、2c,立S=-8t+2t-315S=2t+24(3)当0WtW万,4当3wtw2时，10图当2wt<3时，10当gwtW4时，提示：当点F落在CD上时，如图FE=2,EC=4-t,DH=3,HC=4FEDH由FECDHC，得玩=记234即4_t=4，t=3当点G落在AC上时，点G也在DH上(即DH与AC的交点)图t=2当点G落在CD上时，如图GB'=2,B'F6tGBDH由GB'CsDHC,得前=证2310即6t=4，t=3当点E与点C重合日t=4图4当0<t<3时，如图1MF=t,FN=2t111S=Safmn=2't,2t=4t433PF=t万，FQ=4PF=7t1工43222_S»AFPQ=2(t3)(4t-1)=8t1+312,32.2、S=Safmn一Safpq=4t一(8t-t+3)=10当2<t<y时，如图111B'M=万B'(=2(6-t)=3-2t1228t+t3图11/.GM=2(32t)=2t-1S梯形gmnf=2(2t