3-4 向量空间的基、维数与坐标

1、上一页上一页下一页下一页返返 回回11节向量空间的基、维数节向量空间的基、维数与坐标与坐标一向量空间一向量空间二向量空间的基、维数与坐标二向量空间的基、维数与坐标三基变换与坐标变换三基变换与坐标变换四小结四小结上一页上一页下一页下一页返返 回回2说明说明.,VRV 则则若若;,VVV 则则若若一、向量空间一、向量空间定义定义3.18 3.18 设设 是非空是非空 维向量的集合，若维向量的集合，若 对于对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 为一为一个个向量空间向量空间nVVV集合集合 对于加法及乘数两种对于加法及乘数两种运算封闭是运算封闭是指指V上一页

2、上一页下一页下一页返返 回回33 3 ,.R维维向向量量的的全全体体是是一一个个向向量量空空间间例例1 13 33,33. R因因为为任任意意两两个个 维维向向量量之之和和仍仍然然是是 维维向向量量 数数乘乘 维维向向量量仍仍然然是是 维维向向量量，它它们们都都属属于于.nnR类类似似地地， 维维向向量量的的全全体体，也也是是一一个个向向量量空空间间上一页上一页下一页下一页返返 回回4例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.T1220,nnVxxxxxR解解.V 是向量空间是向量空间1的任意两个元素的任意两个元素因为对于因为对于1V TT220,0,nnaabb ,V

3、1 T221 0,nnababV 有有T210,.naaV 上一页上一页下一页下一页返返 回回5例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.T2221,nnVxxxxxR解解T2222,2,2.naaV 则则.V 不是向量空间不是向量空间2T221,naaV 因因为为若若对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭. .上一页上一页下一页下一页返返 回回6那末，向量组那末，向量组 就称为向量空间的就称为向量空间的r, 21V一组基一组基， 称为向量空间称为向量空间 的的维数维数，并称，并称 为为 维维向量空间向量空间VrVr二、向量空间的基、维

4、数与坐标二、向量空间的基、维数与坐标定义定义3.193.19 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 且满足且满足r,21 V,rV （1） 线性无关；线性无关；12,r 12,r （2） 中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示线性表示.V上一页上一页下一页下一页返返 回回711221,rrrVx R （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量维向量空间，因此它没有基空间，因此它没有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为r, 21VV （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看

5、作向量组，那末 的基的基就是向量组的极大无关组就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.VVV上一页上一页下一页下一页返返 回回8 若若 是向量空间是向量空间 的一组基，的一组基，12,r V,V 12,rx xx则对则对 存在唯一一组有序数存在唯一一组有序数 使得使得rrxxx 1122， 称为向量称为向量 在基在基 下的下的坐标坐标 12,rx xx 12,r rxxx 12(,).记为记为上一页上一页下一页下一页返返 回回9 特别，若特别，若 是向量空间是向量空间 的一组基，的一组基，12,r V且为单位向量，称且为单位向量，称 为为V 的一组的一组规范基规范基

6、 .12,r r 12,且且 两两正交，则称两两正交，则称 12,r 为为V 的一组的一组正交基正交基；若；若 两两正交两两正交 12,r 上一页上一页下一页下一页返返 回回10 空间的一组规范基为空间的一组规范基为nR12(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)n,向量向量 在此规范基下的坐标为在此规范基下的坐标为12(,.,)na aa 12().na ,a ,.,a1 122.nna a a 因为因为上一页上一页下一页下一页返返 回回11例例 4 设设 123(1, 1,1),(1,2,0),(1,0,3),4(2, 3,7), 证明证明123, 是是 的一组基的一组基3R 并求并求

7、关于基关于基 的坐标的坐标.4 123:,B 解解A TTTT1234(,)111212031037 521011302111 1470052102111上一页上一页下一页下一页返返 回回12所以所以41231( 1)2 因此因此4 在基在基123:,B 下的坐标为下的坐标为B 4()(1, 1,2). 210010101001210052102111A由行阶梯矩阵知由行阶梯矩阵知()3,r A 且且123, 线性无关线性无关,知其为知其为 的一组基的一组基, 进一步将进一步将A变成变成行行最简形：最简形：3R上一页上一页下一页下一页返返 回回13 , a bn设设为为两两个个已已知知的的 维

8、维向向量量，集集合合例例5 5,Vxab R试判断集合试判断集合V是否为向量空间是否为向量空间.111 .,Vxab 是是一一个个向向量量空空间间 因因为为若若解解，bax222 则则有有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ,.a b这这个个向向量量所所生生成成的的空空间间称称为为由由量量向向量量空空间间向向上一页上一页下一页下一页返返 回回141 12 212,m mmVxaaa R12 n,ma aa设设有有 维维向向量量，则则它它们们的的一一切切线线性性组组合合所所成成的的集集合合一般有一般有1212,mma aaL a aa称称为为由由向向量量所所生生成成

9、的的向向量量空空间间，记记为为即即121 12 212, ,| ,mm mmL a aax xaaa R1212,mma aaLa aaL向向量量组组的的极极大大无无关关组组即即为为的的基基；的的秩秩即即为为的的维维数数. .上一页上一页下一页下一页返返 回回15三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换 由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化. .nnnnnnnnnnep ep ep eep ep ep eep ep ep e111 12121212 122221122,. 两组两

10、组基的基的变换变换公式公式表示表示的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性设设12,ne ee12,neee与与是是 维向量空间维向量空间n上一页上一页下一页下一页返返 回回16其矩阵形式为其矩阵形式为：12,ne ee由基由基到基到基12,ne ee的的过渡矩阵过渡矩阵P前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnpppppppeeepee ep （1）P称为称为 上一页上一页下

11、一页下一页返返 回回17设向量设向量 在上述两组基下的坐标分别为在上述两组基下的坐标分别为12(,)nx xx 12(,),nx xx和和即即1 1221 122nnnnx ex ex ex ex ex e 1212(,)nnxxe eex 1212(,)nnxxe eex 上一页上一页下一页下一页返返 回回18将将（1）式代入上面方程得式代入上面方程得1212(,)nnxxxe ee 1112112122221122(,)nnnnnnnnpppxpppxppeepxe 上一页上一页下一页下一页返返 回回19所以有所以有1122nnxxxxPxx 或或11221nnxxxxPxx （2）上式就

12、是在两组基下的上式就是在两组基下的坐标变换公式坐标变换公式.上一页上一页下一页下一页返返 回回20例例6 设设 中的两组基中的两组基： T1T2T3T4(1,2, 1,0)(1, 1,1,1)(1)( 1,2,1,1)( 1, 1,0,1)，； T1T2T3T4(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2)( 2,1,1,2)(1,3,1,2) .，4R 求基求基（1）到基到基（2）的过渡矩阵，并求坐标的过渡矩阵，并求坐标变换公式变换公式. .解解 取取 中的第三组基为规范基中的第三组基为规范基4R1234, 则有则有上一页上一页下一页下一页返返 回回2112341234(,)(,)A 12341234(,)(,)B 其中其中11112121;11100111A 20211113;02111222B 由由112341234(,)(,)A 112341234(,)(,)A B 有有上一页上一页下一页下一页返返 回回22所以过渡矩阵所以过渡矩阵 .通过计算可得通过计算可得:1PA B 1001110101110010P 所以所以10111110000011111P 上一页上一页下一页下一页返返 回回23若若 在基（在基（1）下的坐标为）下的坐标为 ，在，在基（基（2）下的坐标为）下的坐标为 ，则由坐标变，则由坐标变换公式